Лекции по Въведение в статистиката



Дата03.02.2017
Размер276.76 Kb.

Чернова на лекции по Въведение в статистиката

Павлина Йорданова pavlina_kj@abv.bg




Тема 11. Статистическа проверка на хипотези. 2-критерий на Пирсън.

Критерий на Колмогоров – Смирнов.1

Статистическите хипотези представляват заключения, които са направени на базата на данни от извадката и могат да бъдат преведени на езика на разпределението на наблюдаваните величини. За разпределението на вектора на извадката (x1, x2, …, xn), което може да зависи от неизвестен параметър q, се въвежда сборно понятие - функция на правдоподобие. Ще я означаваме с



L( x1, x2, …, x n /q ).

Ако разпределението на извадката е дискретно



L( x1, x 2, …, x n /q ) = Р( x1 = x1, x2 = x2…, xn = xn /q ).

Ако е непрекъснато L( x1, x 2, …, x n /q ) съвпада със съвместната плътност на x1, x2, …, xn.

Когато наблюденията, които попадат в извадката са независими едно от друго, извадката се нарича проста. В този случай многомерното разпределение е произведение от съответните едномерни разпределения, т.е. в дискретния случай

L( x1, x 2, …, x n /q ) = Р( x1 = x1 /q )Р( x2 = x2/q )… Р( xn = xn /q ),

а в непрекъснатия



L( x1, x 2, …, x n /q ) = Рx1 ( x1 /q ) Рx2 ( x2/q )… Рxn ( xn /q ).
11.1 Основни сведения

Нека разполагаме с n на брой наблюдения X1, X2, …, Xn, върху една и съща величина (метриран признак) . Под хипотеза в статистиката се разбира твърдение, чиято истинност се съдържа по някакъв начин в типа или в параметрите на разпределението на извадката. Така всяка хипотеза е еквивалентна на предположение за закона на разпределение на случайния вектор (1, 2, …, n). Както вече знаем, в статистиката този закон се описва с функцията на правдоподобие. Задачата за проверка на хипотези започва с формулиране на две хипотези, такива че да имаме основание да смятаме, че точно едната от тях е вярна. Основната, проверявана хипотеза се нарича нулева и формално се означава с



Н0 : L ( x1, x 2, …, x n ) = L0 ( x1, x 2, …, x n ).

Когато тя не е вярна, е вярна някоя друга хипотеза, която ще наричаме алтернативна и ще

означаваме с

Н1 : L ( x1, x 2, …, x n ) = L1 ( x1, x 2, …, x n ).

Ако хипотезите се отнасят до типа на разпределението на наблюдаваната величина те се наричат непараметрични. Ако се отнасят до параметри на известен тип разпределение те се наричат параметрични.

Вероятността на събитието „Да отхвърлим нулевата хипотеза”, когато тя е вярна, т.е.

P ( “Да отхвърлим Н0“ / “Н0 е вярна “)

се нарича риск за грешка от първи род.



Ниво на съгласие (ниво на значимост) се нарича максималната вероятност, с която сме съгласни да допуснем грешка от първи род. Обикновено се означава с . Както всяка вероятност, [0, 1]. Определянето й не е математическа задача. Избира се обикновено между 0.01 и 0.05, в

зависимост от естеството на изследването.

Вероятността на събитието „Да отхвърлим алтернативната хипотеза”, когато тя е вярна, т.е.

P ( “Да не отхвърлим Н0“ / “Н1 е вярна “)

се означава с и се нарича риск за грешка от втори род, [0, 1].

Величината 1 - = P( “Да отхвърлим Н0“ / “Н1 е вярна“) се нарича мощност на критерия.

За да опишем как се прави извод да означим с  множеството от всички възможни значения на вектора на извадката X1, X2, …, Xn. При зададено ниво на съгласие , търсим подмножество W на , наречено критична област за нулевата хипотеза, такова че ако извадката попадне в W отхвърляме Н0, иначе нямаме основание да отхвърлим Н0. Това значи, че събитието “Да отхвърлим Н0”, съвпада със събитието “(1, 2, …, n) W и съответно “Н0 е вярна” е същото като “(1, 2, …, n ) W”. Множеството W удовлетворява условието

( 1 ) P(“(1, 2, …, n)  W” / “Н0 е вярна”)  .

Така построена, критичната област не е единствена. Коя от всички критични области с ниво на съгласие да изберем? Естествено е да предпочетем тази, при която се получава най-малък риск за грешка от втори род . От монотонността на вероятностната мярка, получаваме, че колкото намаляваме грешката от първи род, толкова повече критичната област за нулевата хипотеза намалява, а това значи, че в по-малко случаи извадката ще й принадлежи. Т.е. ставаме по-малко взискателни към удовлетвореността на нулевата хипотеза. По същата причина, обаче нараства грешката от втори род и изследователят статистик трябва да избере подходящо . Един добър изход от този порочен кръг е при избрано и , да определим обема на извадката, така че да получим риск за грешка от втори род, най-много .

Задачата за построяването на най-добра критична област при съответна проверка на хипотези е обект на математическата статистика. Тук ние ще използваме само готови резултати.

За проверка на една и съща хипотеза често има различни критерии. На практика често за една и съща проверка на хипотези се прилагат няколко критерии и в зависимост от получените резултати се прави извод.



Въпроси:

1. Дефинирайте понятията: критична област, ниво на доверие, мощност на критерия.

2. Какво се случва с критичната област, грешката от втори и мощността на критерия, когато
грешката от първи род намалява? Защо?

3. Какво значи, от математическа гледна точка, да проверим статистическа хипотеза? Каква е математическата постановка на задачата?

4. Дайте примери на задачи, които изискват статистическа проверка на хипотези. Формулирайте хипотезите и определете вида им.

Задачи за упражнение:

Задача 1: Млекопреработвателна фирма решава да произвежда и пакетира краве масло. За целта закупува машина, която го пакетира. След началото на производствената дейност, контролните органи решават да проверят дали са спазени изискванията по пакетирането. По случаен начин избират 100 пакетчета и проверяват техните маси. Средната маса от извадката е 121 гр. Формулирайте хипотезите, чиято проверка ще ни покаже дали средната маса на всички произведени пакетчета е 125гр. или трябва да пренастроим машината? Определете вида на хипотезите.

Задача 2: Фирма прозводител на хлебна пшеница решава да провери ефективността на два вида торове върху добивите от пшеница. За целта се засяват 2 дка., от които половината се торят с тор А, а другата половина с тор В. Цените на изразходваните торове са съответно 12 лв. и 12,80 лв. От пшеницата, торена с тор А са добити 300 кг. при стандартно отклонение 0,3 кг. на м2, а от тази, торена с тор В - 350 кг., при стандартно отклонение 0,7 кг. на м2. Каква проверка на хипотези ще предложите на производителите за да решат кой тип тор е за предпочитане? Определете вида на хипотезите.

Задача 3: Главният готвач на кухня в ресторант твърди, че не повече от 1% от приготвените в кухнята стоки са с нестандартно тегло. Управителят на ресторанта се съмнява в това и подлага на проверка 100 продукта, чрез случаен избор с връщане. Оказва се, че Х бр. са нестандартни. Каква проверка на хипотези ще предложите на управителя на ресторанта, за да постъпи коректно, без да обиди своя персонал? Определете вида на хипотезите.
11.2 2-критерий на Пирсън2
Вече се запознахме с графичните методи p-p plot и q-q plot за определяне на типа на разпределението на наблюдаваната величина. Те, обаче са приблизителни. Най-популярният количествен метод за проверка на типа на разпределението на наблюдаваната величина е 2-критерият на Пирсън. Прилага се, както при дискретен така и при непрекъснат метриран признак.

Първо ще разгледаме случая, когато разполагаме с интервален ред на разпределение, построен по измерените значения на признака, който наблюдаваме. Нека разполагаме с извадка от n независими наблюдения върху случайната величина с разпределение F. Данните да са групирани и разположени в затворен статистически ред на разпределение, с десни краища на интервалите а1, …, ак. Означаваме с f1, f2, …, fк съответните емпирични честоти в тези групи, а теоретичните с



np1 := P( < a1 ),

( 2 ) , за m = 2, …, k,

npk := 1- P( < ak).

Да припомним, че от свойствата на вероятностната мярка, сумата от вероятностите на събития, образуващи пълна група беше единица. По тази причина винаги



( 3 )

Проверяваме хипотезата



Н0 : F( x ) = F0( x ), т.е. L ( x1, x 2, …, x n ) =

където във функцията на разпределение F0 участват r на брой неизвестни параметъра, оценени от

извадката, срещу алтернативата

Н1 : F( x ) F0( x ), т.е. L ( x1, x 2, …, x n )

с ниво на съгласие .

Като мярка за близостта между разпределението на извадката и теоретичното разпределение служи разликата между наблюдаваните, емпирични и теоретичните честоти и по-точно величината



Ако нулевата хипотеза е вярна, тази случайна величина ще е близо до нулата и ще има асимптотично 2 разпределение с k-1-r степени на свобода. В случая, когато нулевата хипотеза гласи, че извадката е от стандартно нормално разпределена съвкупност дори ще има точно 2 разпределение. Доказателството на това твърдение е обект на Математическата статистика и може да бъде намерено в [3].

Ако алтернативната хипотеза е вярна тази величина ще е строго по-голяма от нула.

Т.е. критичната област за нулевата хипотеза има вида:



където С се определя от условието - рискът за грешка от първи род да е , т.е. С е 1- квантилът на 2 разпределението с k-1-r степени на свобода.

Както при всяка проверка на хипотези, след като определим критичната област за нулевата хипотеза, ако векторът на извадката попадне в тази критична област за нулевата хипотеза, отхвърляме тази хипотеза. Иначе нямаме основание да я отхвърлим. Може да се случи за две различни разпределения да получим, че извадката е от техния тип. В този случай, по-точен е критерият, който има по-голяма мощност.

Фиг. 23 и фиг. 24 илюстрират връзката между рискът за грешка от първи род и критичната област на нулевата хипотеза.



Фиг. 23.



Фиг. 24.


За да можем да прожим 2 критерия трябва величините npm да не бъдат прекалено малки. Те трябва да са по-големи или равни на 5. Ако това условие е нарушено обединяваме съответната група с по-малобройната от съседните и така прилагаме критерия на Пирсън. Да отбележим обаче, че при пресмятане на неизместените оценки на числовите характеристики на извадката, претеглените формули изискват равна ширина на интервалите. Ето защо тези характеристики се пресмятат преди да обединим интервали и по възможност от негрупирани данни.

Когато реда на разпределение е степенен и нулевата хипотеза предполага някакво конкретно дискретно разпределение, подходът е аналогичен, но с а1, …, ак, означаваме значенията на признака, по които е извършена групировката. f1, f2, …, fк отново са съответните емпирични честоти, а теоретичните честоти са

( 4 ) npi := nP( = ai ), за i = 1,…, k.

При определянето на квантилите е удобно да се използват готови таблици (ако има такива). За целта е необходимо преди да приложим проверката на хипотези, да стандартизираме извадката. Така е подходено в първия пример след тази тема.



С какво може да ни бъде полезен Excel в случая:

Можем да използваме основно две функции в Excel при проверка на този тип хипотези.

1. Функцията CHIINV(1-alpha; k r - 1) връща C. Т.е. ако стойността, която връща тази функция е по-голяма от емпиричната характеристика, значи извадката не е в критичната област за нулевата хипотеза и нямаме основание да я отхвърлим. В този случай приемаме нулевата хипотеза. Обратно: ако стойността, която връща функцията CHIINV е по-малка от пресметната емпирична характеристика, значи извадката е в критичната област за нулевата хипотеза. В този случай отхвърляме нулевата хипотеза и приемаме алтернативната. Т.е. разпределението на извадката не съвпада с тестваното разпределение.

2. Функцията CHIDIST(; k r - 1) връща където ~2(k-r-1). Т.е. ако стойността, която връща тази функция е по-голяма от риска за грешка от първи род, който сме си избрали, значи извадката не е в критичната област за нулевата хипотеза и нямаме основание да я отхвърлим. В този случай приемаме нулевата хипотеза. Обратно: ако стойността, която връща функцията CHIDIST(; k-r-1) е по-малка от риска за грешка от първи род, който сме си избрали, значи извадката е в критичната област за нулевата хипотеза. В този случай отхвърляме нулевата хипотеза и приемаме алтернативната. Т.е. разпределението на извадката не съвпада с тестваното разпределение.
Въпроси:

1. Кога е удобно да използваме p-p plot и кога q-q plot?

2. Вярно ли е, че “Колкото интервалите са по-тесни толкова разгледаните методи са по-точни”. Защо?

3. За какво се използва 2 критерия на Пирсън?

4. Защо С е 1- квантилът на 2 разпределението с k-1-r степени на свобода?
Примери:

Пример 1. Извършени са 100 наблюдения над случайна величина . При групировката са получени следните десни краища на интервалите

0.1493, 0.3526, 0.5559, 0.7592, 0.9624, 1.1657, 1.3690, 1.5723

и съответните абсолютни честоти: 5, 16, 18, 13, 17, 14, 10, 7.

С риск за грешка от първи род

а) 0.05;

б) 0.01

да се провери хипотезата за експоненциалност на резпределението на наблюдаваната величина.



Решение:

а) По тези данни получаваме, че = 0.8496.

При експоненциалното разпределение параметърът е реципрочен на средното, т.е. в случая той е

За тестваното разпределение е в сила равенството





,

където а1, …, ак са десните краища на интервалите. Левият квай на първия интервал е нула. Геометричната интерпретация на рi е дадена на следващата фигура.



Фиг. 25.



= 36.9836,

С0.05 = 12.5916 и С0.01 = 16.8119,

Т.е. и при двата риска за грешка от първи род получаваме, че извадката е в критичната област за нулевата хипотеза, т.е. отхвърляме нулевата хипотеза.



Пример 2: По данните от табл. 11, като използвате 2 критерия, проверете хипотезата, че разпределението на извадката е нормално, с риск за грешка от първи род

а) 0.05;



б) 0.01.

Табл. 11.

Интервали

fi

аic

(aic)

npi

(fi -npi)2\(npi)

До 22,5

7

-1,841

0,032810779

4,823184565

0,982447463

Над 22,5 до 31,5

11

-1,332

0,091430094

8,617039291

0,658985244

Над 31,5 до 40,5

14

-0,823

0,205253997

16,73211366

0,446114891

Над 40,5 до 49,5

20

-0,314

0,376760519

25,21145883

1,077260278

Над 49,5 до 58,5

23

0,195

0,577303526

29,479822

1,424299413

Над 58,5 до 67,5

31

0,704

0,759283613

26,75107279

0,674865736

Над 67,5 до 76,5

26

1,213

0,88743509

18,83826705

2,722671818

Над 76,5 до 85,5

15

1,722

0,957465241

16,54704181

0,144638442

Общо:

147

х

x

147

8,131283286

Решение: а) За да използваме таблиците за стандартното нормално разпределение първо трябва да центрираме и нормираме извадката, т.е. вместо с ще работим с

.

Нормалното разпределение има два параметъра, които в случая са неизвестни, т.е. r = 2.

Техните оценки от извадката са съответно:

и

Центрираме краищата на интервалите и получаваме третата колона в Табл.11, където за i = 1,…, k сме използвали следното означение .

С помощта функцията NORMSDIST(х) определяме (aic) и попълваме четвъртата колонка на същата таблица. Вече сме готови да намерим теоретичните честоти в съответните интервали

i = 2, …, 7.

Освен това 1c) = np1 и 1-8c) = np8. Попълваме петата колонка от табл. 11.

Ако има много голяма разлика между, току що определените теоретични честоти и емпирични честоти fi, не е логично да продължаваме проверката тъй като е очевидно, че ще стигнем до отхвърляне на нулевата хипотеза. Ако втората и петата колони си приличат, можем да продължим с проверката. Преминаваме към изчисляването на емпиричната характеристика на критерия

Да построим критичната област за нулевата хипотеза. За целта определяме константата С0.05. Тя е 0,95 квантилът на 2 разпределението с 8-1-2 = 5 степени на свобода и едностранна критична област. Използваме "=CHIINV(0.05;5)" в Excel и получаваме С0.05 = 11,07. Т.е. критичната област за нулевата хипотеза е



От стойността на емпиричната характеристика виждаме, че извадката не е в критичната об-ласт за нулевата хипотеза, значи нямаме основание да отхвърлим нулевата хипотеза, т.е. извадката е от наблюдения над нормално разпределена случайна величина и отклоненията на емпиричните честоти от теоретичните честоти се дължат на случайни, кратковременно действащи фактори.

б) До определянето на критичната област за нулевата хипотеза решението на задачата е същото и съответно емпиричната характеристика има същата стойност. В случая, константата С0.01 е 0,99 квантилът на 2 разпределението с 8-1-2 = 5 степени на свобода и едностранна критична област. С0.01 = 15,09 и критичната област за нулевата хипотеза е

Т.е. и този път извадката не е в критичната област за нулевата хипотеза и принадлежи на нормално

разпределена съвкупност.

Пример 3: В цех има 10 шивашки машини. Всеки ден в определено време се записва броя на повредените машини. Проведени са 200 наблюдения, данните са групирани и резултатите са дадени в първите две колони Табл. 12. Като използвате 2 критерия, проверете хипотезата, че разпределението на извадката е поасоново с риск за грешка от първи род

а) 0.05;

б) 0.01.

Решение: а) С ниво на съгласие проверяваме хипотезата

Н0 : F( x ) =

срещу алтернативата



Н1 : F( x ) .

Табл. 12.

Брой повредени машини ai

Брой дни fi

aifi

npi

npi (об.)

(fi -npi(об.) )2\(npi(об.) )

0

41

0

33,06

33,06

1,91

1

62

62

59,51

59,51

0,10

2

45

90

53,56

53,56

1,37

3

22

66

32,13

32,13

3,20

4

16

64

14,46

14,46

0,16

5

8

40

5,21

7,28

6,20

6

4

24

1,56

7

2

14

0,40

8

0

0

0,09

9

0

0

0,02

10

0

0

0,00

Общо:

200

360

200,00

200,00

12,94

Както вече знаем параметърът на Поасоновото разпределение е равен на математическото му очакване, а средното аритметично е ефективна оценка за математическото очакване. Ето защо в тази задача е логично да използваме вместо параметъра , неговата оценка



Т.е. през наблюдаваните дни средно на ден са били повредени 1,8 шевни машини.

От дефиницията за ред на разпределение на поасоново разпределена случайна величина определяме теоретичните честоти на съответните значения. Получаваме, че за i = 0,…, 10

Попълваме четвъртата колона на Табл. 12. Проверяваме сумата в тази колонка трябва да е приблизително 200. Получената разлика се дължи на закръглянията. Между, определените теоретични честоти и емпиричните честоти fi има известна прилика, значи е логично да продължим проверката.

За да спазим изискването, във всяка група теоретичните честоти npi  5, трябва да обединим данните от последните шест интервала.

Преминаваме към изчисляването на емпиричната характеристика на критерия. С (об.) в таблицата сме отразили, че работим с данните за обединените последни шест интервала. Получаваме Междинните изчисления може да видите в табл. 12.

Във функцията на разпределение F0 участва един неизвестен параметър, оценен от извадката, т.е. r = 1.

Да построим критичната област за нулевата хипотеза. За целта определяме константата С0.05.

Тя е 0,95 квантилът на 2 разпределението с 6-1-1 = 4 степени на свобода и едностранна критична област. Използваме "= CHIINV(0.05;4)" в Excel и получаваме С0.05 = 9,49. Т.е. критичната

област за нулевата хипотеза е

От стойността на емпиричната характеристика виждаме, че извадката е в критичната област за нулевата хипотеза, значи отхвърляме нулевата хипотеза, т.е. нямаме основание да смятаме, че извадката е от наблюдения над поасоново разпределена случайна величина и отклоненията в теоретичните честоти се дължат на системно действащи фактори.

б) До определянето на критичната област за нулевата хипотеза решението на задачата е същото и съответно емпиричната характеристика има същата стойност. В случая константата С0.01 е 0,99 квантилът на 2 разпределението с 6-1-1 = 4 степени на свобода и едностранна критична област. С0.01 = 13,28 и критичната област за нулевата хипотеза е



Този път емпиричната характеристика е по-малка от теоретичната и извадката не е в критичната област за нулевата хипотеза. Трябва да заключим, че тя принадлежи на поасоново разпределена съвкупност. Да отбележим, че в тази подточка мощността на критерия е по-малка.

Работа на изследователя е да прецени кое ще избере: по-малка мощност или по-малка грешка от първи род.
11.3. Критерий на Колмогоров

Нека разполагаме с извадка от n независими наблюдения над случайната величина , с неизвестна непрекъсната функция на разпределение F. Интересуваме се от вида на F. Освен 2-критерия на Пирсън в случая можем да използваме и следния критерий на Колмогоров.

Проверяваме хипотезата

Н0 : F( x ) = F0( x ), т.е. L ( x1, x 2, …, x n ) =

където във функцията на разпределение F0 участват r на брой неизвестни параметъра, оценени по данни от извадката, срещу алтернативата



Н1 : F( x ) F0( x ), т.е. L ( x1, x 2, …, x n )

с ниво на съгласие .

При достатъчно голям обем на извадката критичната област за нулевата хипотеза има вида

където константата С е 1 - квантилът на функцията на разпределение на Колмогоров, която е табулирана в Табл. 12.



Поради стъпаловидната форма на графиката на емпиричната функция на разпределение и непрекъснатостта на теоретичната функция на разпределение, (виж фиг. 26.) тези две графики се отдалечават най-много в моментите на скок на Fn. По тази причина можем да запишем критичната област за нулевата хипотеза още като


Фиг. 26.



Табл. 12.

z

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,2

0,000000

0,000000

0,000000

0,000000

0,000000

0,000000

0,000000

0,000000

0,000001

0,000004

0,3

0,000009

0,000021

0,000046

0,000091

0,000171

0,000303

0,000511

0,000826

0,001285

0,001929

0,4

0,002808

0,003972

0,005476

0,007377

0,009730

0,012589

0,016005

0,020022

0,024682

0,030017

0,5

0,036055

0,042814

0,050306

0,058534

0,067497

0,077183

0,087577

0,098656

0,113094

0,122760

0,6

0,135718

0,149229

0,163255

0,177752

0,192677

0,207987

0,223637

0,239582

0,255780

0,272188

0,7

0,288765

0,305471

0,322265

0,339114

0,355981

0,372833

0,389640

0,406372

0,423002

0,439505

0,8

0,455858

0,472039

0,488028

0,503809

0,519365

0,534682

0,549745

0,564545

0,579071

0,593315

0,9

0,607269

0,620928

0,634285

0,647337

0,660081

0,672515

0,684636

0,696445

0,707941

0,719126

1,0

0,730000

0,740566

0,750825

0,760781

0,770436

0,779794

0,788860

0,797637

0,806130

0,814343

1,1

0,822282

0,829951

0,837356

0,844502

0,851395

0,858040

0,864443

0,870610

0,876546

0,882258

1,2

0,887750

0,893030

0,898102

0,902973

0,907648

0,912134

0,916435

0,920557

0,924506

0,928288

1,3

0,931908

0,935371

0,938682

0,941847

0,944871

0,947758

0,950514

0,953144

0,955651

0,958041

1,4

0,960318

0,962487

0,964551

0,966515

0,968383

0,970159

0,971846

0,973448

0,974969

0,976413

1,5

0,977782

0,978090

0,980310

0,981475

0,982579

0,983623

0,984610

0,985544

0,986427

0,987261

1,6

0,988048

0,988791

0,989492

0,990154

0,990777

0,991364

0,991917

0,992438

0,992928

0,993389

1,7

0,993823

0,994230

0,994612

0,994972

0,995309

0,995625

0,995922

0,996200

0,996460

0,996704

1,8

0,996932

0,997146

0,997346

0,997533

0,997707

0,997870

0,998023

0,998165

0,998297

0,998421

1,9

0,998536

0,998644

0,998744

0,998837

0,998924

0,999004

0,999079

0,999149

0,999213

0,999273

2,0

0,999329

0,999381

0,999429

0,999473

0,999514

0,999553

0,999588

0,999620

0,999651

0,999679

2,1

0,999705

0,999728

0,999750

0,999771

0,999790

0,999807

0,999823

0,999837

0,999851

0,999863

2,2

0,999874

0,999886

0,999895

0,999904

0,999912

0,999920

0,999927

0,999933

0,999939

0,999944

2,3

0,999949

0,999954

0,999958

0,999961

0,999965

0,999968

0,999971

0,999974

0,999976

0,999978

2,4

0,999980

0,999982

0,999984

0,999985

0,999987

0,999988

0,999989

0,999990

0,999991

0,999992




1 Основните идеи на изложената в тази тема теория, принадлежат най-вече на Джърси Неймън и Егон Пирсън.


2 Виж §9 на стр.318 от Боян Димитров и Николай Янев, Вероятности и статистика, София, Унив. Издателство “Климент Охридски”, 1990.

3 Cramer H., Mathematical Methods of Statistics, Prienceton, 1946.


Последна редакция 02.2.2017 г.


База данных защищена авторским правом ©obuch.info 2016
отнасят до администрацията

    Начална страница