Лекции по Въведение в статистиката

Чернова на лекции по Въведение в статистиката

Павлина Йорданова pavlina_kj@abv.bg

Дисперсионният анализ се прилага, когато се интересуваме от проверката на хипотезата дали влиянието на един или няколко фактор признаци върху друг метриран признак, наречен резултативен, е статистически значимо. В зависимост от броя на фактор признаците имаме еднофакторен, двуфакторен и т.н., многофакторен дисперсионен анализ. По същество това е проверка на хипотези за равенство между средните на две или повече извадки от нормално разпределени и независими съвкупности. Използва се обикновено, когато значенията на фактор признака са повече от две, в противен случай бихме могли да използваме по-кратката проверка на хипотези за равенство между средни на две извадки. Задачата се свежда до проверка на хипотези за равенство между две дисперсии (междугрупова и вътрешногрупова). Методологията му е разработена от Р. Фишер.

Тъй като реализацията му е свързана с много пресмятания, обикновено този анализ се извършва с помощта на компютър. Например със R, Matlab, Statistiсa, Excel, SPSS или др.

Нека наблюдаваме n статистически единици, разпределени според значенията си на признака Х в k групи. Целта ни ще е да отговорим на въпроса дали влиянието на признака Х, върху значенията на метрирания признак Y е статистически значимо. Да предположим, че извадката е от нормално разпределена съвкупност. Резултатите от наблюдението се оформят в следващата таблица..

X	Y	Общо:
X1	y11, y12, …, y1n	n 1
…	…	…
Xk	y11, y12, …, y1n	n k
Общо:		n

Избираме ниво на съгласие . Проверяваме хипотезата

Н₀ : , т.е. отклоненията между средните в различните групи се дължат на случайни, кратко действащи фактори, т.е. влиянието на факторпризнака върху резултативния признак не е статистически значимо.

Н₁ : Някои от са различни, т.е. влиянието на факторпризнака върху резултативната величина е статистически значимо.

Като критерий за проверка на тези хипотези се използва отношението на междугруповата и вътрешногруповата дисперсии. За да ги дефинираме се нуждаем от следните понятия.

я означаваме с SS_В. Т.е Тази девиация има n – k степени на свобода.

Като разделим девиациите на степените им на свобода получаваме оценки за съответните дисперсии.

Вече сме готови да построим критичната област за проверка на нулевата хипотеза. Тя има вида

Случайната величина има F - разпределение с k – 1 степени на свобода на числителя и

Случайната величина има F - разпределение с n - k степени на свобода на числителя и

Последователността

извежда всички необходими характеристики на еднофакторния диспердионен анализ.

1. За какво се използва дисперсионния анализ?

2. В случая, когато оценката на междугруповата дисперсия е по-малка от тази на вътрешногруповата, защо и как се трансформира критичната област?
Задачи за упражнение:

Задача 1: Завод произвежда 3 вида автомобилни гуми. Наблюдавани са 38 от тях. В следващата таблица е даден пробега им в хиляди километри до момента на пълното им износване, поотделно за трите вида. Проверете дали извадките са от нормално разпределени съвкупности (като пренебрегнете факта, че наблюденията са прекалено малко на брой за да получите правилно заключение). С ниво на съгласие , проверете можем ли да твърдим, че вида на гумите е статистически значим за пробега им.

Вид на гумите	Пробег в х.км.
А	4.5, 6.7, 8.8, 7.9, 3.0, 9.4, 6.5, 6.0, 4.4, 7.2, 5.7, 6.1, 8
В	4.4, 6.0, 5.0, 6.4, 3.7, 8.0, 7.9, 3.2, 9.3, 7.5, 6.0, 7.4, 6.3
С	5.4, 6.4, 7.0, 6.8, 5.7, 7.3, 7.7, 3.7, 8.4, 9.7, 7.2, 5.5

Решение: Имаме един неметриран и един метриран признак. Посредством 2-критерия на Пирсън може да се покаже, че разпределенията в подсъвкупностите са нормални. Освен това може да се провери, че подсъвкупностите са независими. Тогава можем да приложим дисперсионния анализ.

= 55,05 х.лв

Образование	Междинни изчисления
	ni
основно	10	44.6	-10.5	109	1093
средно	26	63.0	7.95	63.1	1641
бакалавър	39	55.3	0.25	0.06	2.35
магистър	65	52.6	-2.45	6.02	392
доктор	7	61.8	6.75	45.5	319
Общо:	147	x	x	x	3447

Вътрешногруповата девиация е

и има 147 – 5 = 142 степени на свобода. Тогава

Междугруповата девиация е

и има 5 – 1 = 4 степени на свобода.

Вече сме готови да проверим дали сме в критичната област за нулевата хипотеза. Тъй като междугруповата дисперсия е по-голяма от вътрешногруповата, критичната област има вида

където константата С_0,05 е 1-0,05=0,95 квантилът на F-разпределението с 4 степени на свобода на числителя и 142 степени на свобода на знаменателя, т.е. С_0,05 = 2,37. В нашата задача

и сме в критичната област за нулевата хипотеза, т.е. с риск за грешка 0,05 можем да твърдим, че степента на образованост на управителя на фирмата оказва статистически значимо влияние върху брутната й печалба.