Лекции по Въведение в статистиката
Изтегляне 135.6 Kb.
|
- Навигация на страницата:
- Междинни изчисления
|
Тема 7. Статистическо разсейване, асиметрия, ексцес. Само едно число никога не е достатъчно за описване на действителността. Средните величини са обобщаващи характеристики и не дават информация за разпръснатостта на измерените значения на признака около тях. Вярно е, че значенията на признака са около средната аритметична, но също така е вярно, че много от тях се различават от нея. Отклоненията се измерват с различните измерители на вариация. Колкото вариацията е по-малка, толкова съвкупността е по-еднородна. Ако всички значения на признака са равни вариацията е нула. 7.1. Статистическа вариация. Методи за измерване. Най-често използваните характеристики на разсейването са: размах на разсейването, средно аритметично отклонение, средно квадратично отклонение, дисперсия. Всеки измерител може да бъде определен в абсолютни числа, като наследява мярката на признака, който характеризира или в относителни числа - като процент от средната аритметична величина. Когато сравняваме вариации се използва втория подход.
Дава представа за амплитудата на изменение на признака при отделните единици. При определянето му участват само най-малкото и най-голямото измерено значение на признака, за това е много груб измерител. Прилага се предимно при степенни редове. Абсолютният размер на размаха на разсейването се определя по формулата: R = Xmax - Xmin. Средният размер на размаха на разсейването е наименованата величината, която се определя по формулата 
Средното аритметично отклонение измерва степента на разсейване на отделните наблюдения около средното аритметично, независимо в каква посока са самите отклонения. В абсолютни числа, в зависимост от това дали се пресмята от групирани или от негрупирани данни имаме:
За сравняване се използва неговия относитeлен размер,  ,
който показва каква част е то от средното аритметично.
Представлява осредняване на отклоненията на измерените значения на признака при отделните статистически единици от тяхната средна аритметична по формулата за средна квадратична, т.е.
 ;
Тази величина наследява мярката на разглеждания признак. Относителният размер на стандартното отклонение се намира от
Със средствата на математическата статистика е показано, че когато се работи с малки по обем извадки, по-добра оценка на стандартното отклонение на генералната съвкупност се получава, когато от n в знаменателя извадим единица. Тогава стандартното отклонение
 ;
Това е най-добрия измерител на разсейването на наблюденията около Квадратът на стандартното отклонение се нарича дисперсия. Това е ненаименована величина и има следните свойства: - дисперсията на равни наблюдения е нула.
До сега разгледахме общата дисперсия. Тя измерва вариацията на признака в цялата съвкупност и има n-1 степени на свобода. Ако разделим съвкупността на k подгрупи можем да анализираме междугруповата и вътрешногруповата дисперсия. Виж Дисперсионен анализ в [1]. Въпроси към темата: Защо абсолютният размах на разсейването е твърде груба негова характеристика? Какво измерва стандартното отклонение?
Средният абсолютен размер на размаха на разсейването е 
Относителният размер на размаха на разсейването около средното е 
което е един сравнително широк размах, т.е. екстремалните измерени значения значително се различават от останалите. Абсолютният размер на средното аритметично отклонение е
Съответният относителен размер на средното аритметично отклонение е 
Абсолютният размер на стандартното отклонение е 
Относителният размер на стандартното отклонение е 
Дисперсията е квадрата на абсолютния размер на стандартното отклонение и е 306,12. Сега ще определим съответните характеристики от групирани данни. Табл. 9.
Размахът на разсейването при групирани данни е същият както при негрупирани данни, което е индикатор, че добре сме подбрали интервалите, по които е извършена групировката. От Табл. 9 определяме, че абсолютният размер на средното аритметично отклонение е 
Съответният му относителен размер е 
Абсолютния размер на стандартното отклонение е 
Съответният относителен размер е 
Дисперсията е квадрата на стандартното отклонение и е 301,42. Приблизителните стойности на числовите характеристики на извадката, пресметнати от групирани и негрупирани данни се дължат на сравнително равномерното разпределение на единиците в отделните интервали, по които е извършена групировката.
В зависимост от вида на изходните данни началните моменти се пресмятат по формулите: - при негрупирани данни - при групирани данни Първият начален момент съвпада със средната аритметична, т.е. M1 = s – тия централен момент ще означаваме с ms. Първият централен момент m1 е нула. Вторият, съвпада с дисперсията, т.е. m2 = s2. Третият m3 характеризира асиметрията, а четвъртият, m4 - ексцеса. Фиг.10.  f(x)
0 х Стандартна нормалната крива е графиката на функцията  , x Î R.
Тя съвпада с графиката на плътността на стандартно нормално разпределена случайна величина. На фиг. 10 и фиг. 11 тя е начертана с плътна линия. Лицето на фигурата под нормалната крива и над абсцисната ос е единица. Отклоненията в хоризонтална посока от нормалната крива се наричат – асиметрия. Илюстрирани са на фиг. 10. Първични представи за асиметрията на разпределението на единиците от извадката по групировачния признак получаваме, когато начертаем полигона или хистограмата на разпределението и ги сравним с нормалната крива. Количествено можем да я измерим чрез следните ненаименовани величини:
Различните коефициенти на асиметрия, изчислени по една и съща извадка имат различни стойности, за това при сравнителен анализ трябва да се използва един и същ коефициент. Общото при трите коефициента е, че при симетрични разпределения те са равни на нула. Положителни са, когато имаме дясна асиметрия (виж --- на фиг. 10), а отрицателни при лява (виж -××-××- на фиг. 10). Колкото абсолютната стойност на коефициента на асиметрия е по-голяма, толкова по-несиметрични са двата склона на кривата на разпределението на изследваната съвкупност по този признак. Отклоненията във вертикална посока от нормалната крива се наричат – ексцес (изостреност). Първични представи за ексцеса на разпределението на единиците от извадката по групировачния признак получаваме, когато начертаем полигона или хистограмата на разпределението и ги сравним с нормалната крива. Моментният коефициент на ексцес е един ненаименован количествен измерител на ексцеса и се определя по формулата:  .
Тук имаме -3 за да сравняваме Е с нулата. Когато Е > 0 говорим за положителен ексцес и изостреност над нормалната крива, при Е < 0 имаме отрицателен ексцес и полигона и хистограмата са по-ниски от нормалната крива, иначе имаме нормален ексцес. Различните случаи са илюстрирани на фиг.11. Фиг. 11.  f(x)
0 х Примерни ситуации и решения: Пример 1: По данните от Табл. 8 пресметнахме, че средната аритметична е 27 х.лв., Me = 26,28 х.лв., Mo = 26 х.лв. Намерете средното аритметично и средното квадратично отклонение в абсолютни и относителни числа и пресметнете дисперсията. Определете коефициентите на асиметрия и ексцес. Решение: 
Средното аритметично отклонение е 7,6 х.лв. и е 28,15% от средноаритметичния размер на ДМА. 
Табл. 10. Размер на ДМА на 100 частни зем. стопанства в обл. Х към 31.12.2014г.
 .
Средното квадратично отклонение е 9,798 х. лв. и е 36,3% от средноаритметичния размер на ДМА. Дисперсията е 96 х. лв. За да пресметнем асиметрията и ексцеса ни е необходимо да определим третия и четвъртия централен момент.
 .
 .
 .
т.е. имаме по-ниска от нормалната крива. Задачи за упражнение: Задача 1: По данните от Табл.1. определете коефициентите на асиметрия и ексцес на разпределението на фирмите по признака “Средна брутна печалба за 2014 г.” Пресметнете същите характеристики и по данните от Табл.2. На какво се дължат различията в получените резултати? Задача 2: ІІо данните Табл.3. определете коефициентите на асиметрия и ексцес на разпределението на туристите по признака “Среден месечен разход за нощувки в курортен комплекс Х през 2014 г.”. Определете същите коефициенти от групирани данни. Защо съответните характеристики, пресметнати по двата начина, се различават? С какво може да ни бъде полезен Excel в случая: 1. Функцията AVEDEV(x) връща  .
2. Функцията DEVSQ(x) връща  .
3. Функцията STDEV(x) връща  .
4. Функцията STDEVP(x) връща  .
5. Функцията SKEW(x) връща моментния коефициент на асиметрия. 6. Функцията KURT(x) връща моментния коефициент на ексцес. 7. Виж също Tools -> Data Analysis -> Descriptive Statistics. 1 Петров В., Т. Тодоров. Основи на статистиката. В.Търново, 2000. Последна редакция Каталог: tadmin -> upload -> storage storage -> Литература на факта. Аналитизъм. Интерпретативни стратегии. Въпроси и задачи storage -> Лекция №2 Същност на цифровите изображения Въпрос. Основни положения от теория на сигналите storage -> Лекция 5 система за вторична радиолокация storage -> Толерантност и етничност в медийния дискурс storage -> Ethnicity and tolerance in media discourse revisited Desislava St. Cheshmedzhieva-Stoycheva abstract storage -> Тест №1 Отбележете невярното твърдение за подчертаните думи storage -> Лекции по Въведение в статистиката storage -> Търсене на живот във вселената увод storage -> Еп. Константинови четения – 2010 г някои аспекти на концептуализация на богатството в руски и турски език Изтегляне 135.6 Kb. Сподели с приятели:
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
.
. 
.
,
,
.
