корелация съответно на Пирсън и Чупров

При анализа на коефициента на Пирсън трябва да се взема под внимание, че

За да се сравнява с 0 и 1, вместо самия коефициент на Пирсън е по-удачно да се използва частното му с максималната му стойност.

Y X	Y1	Y2	Общо:
X1	a	b	a+b
X2	c	d	c+d
Общо:	a+c	b+d	n

В този случай коефициентът

се нарича четириклетъчен коефициент на взаимосвързаност (контингенция) на Пирсън.

използваме, че има вградена функция CHITEST( || f_ij || ; |||| ) за пресмятане на

Р( 2((k - 1)(s - 1)) > ).

Нека всеки от т експерти Х₁, …, Х_т подреждат n обекти Y₁, …,Y_n според степента на притежаване на дадено качество, т.е. експертите поставят различни рангове на тези обекти.

Тъй като сумите от ранговете са n на брой и тяхната обща сума е , то средната сума

от ранговете е . Разглеждаме индивидуалните отклонения на сумите от ранговете от тяхното средно, повдигаме тези отклонения на квадрат, сумираме ги и получаваме

Експерти	Обекти			Общо:
	Y1	…	Yn
X1	r11	…	r1n
…	…	…	…	…
Xm	rm1	…	rmn
Сума от ранговете:	rY1	…	rYn

, , …,,,

разбъркани по съответния начин. Тъй като

то сумата от квадратите на тези отклонения ще е и това е максималната стойност на S. При хаотично разположение на мненията на експертите S = 0, когато m е четно или n е нечетно. Като коефициент за съгласуваност между мненията на експертите се използва величината

В случаите когато единия признак е дихотомен, а другият е метриран или значенията му са отразени чрез рангове, за измерване на силата на зависимостта между наблюдаваните признаци се използват така наречените Бисериални коефициенти.

В случаите, когато не знаем дали разпределението на единиците по метрирания признак е нормално се прилага Точково-бисериалния коефициент на Пирсън. Нека значенията на дихотомния признак са Х₁ и Х₀. Броят на единиците, при които значението на дихотомния признак е Х₁ да е n₁ и броят на тези, за които е Х₀ да е n_0. Да означим с n броя на всички наблюдения, т.е. n = n₁ + n₀. Средното аритметично, определено от данните за измерените значения на метрирания признак при единиците, при които значението на дихотомния признак е Х₁ да означим с , по аналогичен начин въвеждаме . Стандартното отклонение на всички измервания на метрирания признак да е S_Х. Точково-бисериалният коефициент има вида

(4)

Като използваме същите означения, ако разпределението на метрирания признак е нормално се използва Бисериалния коефициент

където y е ординатата от графиката на плътността на нормалното разпределение, съответстваща на

абсциса, която съвпада с - квантила на стандартното нормално разпределение.

Ако вместо метриран признак имаме признак измерен на рангова скала, със средни рангове съответно и , се използва описания по-долу Рангово-бисериален коефициент.

Да предположим, че всички статистически единици са подредени низходящо според ранговете си и самите рангове са написани в две колонки по значенията на дихотомния признак. Съответствие за i - тия ранг от първата колонка в случая ще наричаме броят на единиците, които във втората колонка имат рангове по-малки от него. Сумата от всички съответствия да означим с P. По аналогичен начин сумата от всички инверсии ще бележим с Q. Тогава максималната стойност на сумата от съответствията е n₁. n₀. Като мярка за зависимостта между двата признака се използва отношението на разликата между съответствията и инверсиите и максималния брой съответствия, т.е.



Примерни ситуации и решения:

Пример 1: С цел да се определи силата на зависимостта между нивото на обслужване в хотелите в курортен комплекс “Х” и натовареността им са направени наблюдения в 10 такива еднотипни хотела. От независим експерт хотелите са степенувани според нивото на обслужване и така са получени ранговете по този признак. По аналогичен начин са получени и ранговете по признака “натовареност”. Данните са дадени в първите три колонки на следващата таблица. Оценете корелационния коефициент между тези два признака.

Решение: Вече познаваме два коефициента на корелация, които са подходящи за използване в случая, когато и двата признака са представени на рангови скали. Ще решим задачата първо чрез корелационния коефициент на Пирсън.

Ако използваме корелационния коефициент на Кендал, получаваме

Хотел №	Рангове според нивото на обслужване	Рангове според натовареността	Междинни изчисления
			Разлики между ранговете	Квадрати на разликите
1	1	2	-1	1
2	2	3	-1	1
3	3	1	2	4
4	4	6	-2	4
5	5	4	1	1
6	6	5	1	1
7	7	8	-1	1
8	8	10	-2	4
9	9	7	2	4
10	10	9	1	1
Общо:	х	х	х	22

Хотел №	Рангове според нивото на обслужване.	Рангове според натовареността	Междинни изчисления
			рi	qi	рi + qi
1	1	2	8	1	9
2	2	3	7	1	8
3	3	1	7	0	7
4	4	6	4	2	6
5	5	4	5	0	5
6	6	5	4	0	4
7	7	8	2	1	3
8	8	10	0	2	2
9	9	7	1	0	0
10	10	9	-	-	-
Общо:	х	Х	38	7	44

• 
  17 човека са отбелязали отговор а) на въпрос А и отговор а) на въпрос В, като може да са отбелязали още отговори на тези въпроси,
  
• 
  12 човека са отбелязали отговор а) на въпрос А и отговор б) на въпрос В и т.н.
  

В А	а	б	в	г	д	Общо:
а	17	12	10	5	1	45
б	10	23	14	13	3	62
в	5	7	5	12	6	35
г	5	22	12	14	4	57
Общо:	37	64	41	44	14	200

Резултатите са дадни в Табл. 30.

В А	а	б	в	г	д	Общо:
а	8.325	14.40	9.225	9.90	3.15	45
б	11.470	19.84	12.71	13.64	4.34	62
в	6.475	11.20	7.175	7.70	2.45	35
г	10.545	18.24	11.685	12.54	3.99	57
Общо:	37.00	64.00	41.00	44.00	14.00	200

В А	a	б	в	г	д	Общо:
а	9.0397	0.4000	0.0651	2.4253	1.4675	13.398
б	0.1884	0.5033	0.1309	0.0300	0.4137	1.266
в	0.3360	1.5750	0.6593	2.4013	5.1439	10.116
г	2.9158	0.7751	0.0085	0.1700	0.0000	3.869
Общо:	12.4799	3.2534	0.8638	5.0266	7.0251	28.649

и за коефициентите на Пирсън и Чупров получаваме съответно

Сравняваме с

и получаваме, че имаме слаба взаимосвързаност между отговорите на разглежданите въпроси.

Пример 3: С цел изучаване влиянието на пола на работника върху съвестното изпълнение на служебните задължения са анкетирани 300 случайно избрани човека. Тестовете са обработени и резултатите са дадени в табл. 32.

Табл. 32.

пол	Закъснява за работа		Общо:
	да	не
м	60	100	160
ж	40	100	140
Общо:	100	200	300

Максимелната стойност на този коефициент е 0,71. Т.е. според данните от извадката влиянието на пола е много слабо, почти незначително.

Пол	Средна месечна работна заплата в ст. лв.											Общо:	ni
м	4	4.2	4.5	4.2	3.7	5.2	6.4	4.3	4	4.8	5.7	51	11	4.64
ж	3	3.3	3.7	4.5	4.5	3.6	4.1	6.3	7			40	9	4.44
Общо:												91	20	x

Тогава

Това означава, че влиянието на пола на ръководителя върху средната работна заплата във фирмата е много слабо, почти незначително.

Тогава

Пол	Размер на брутната печалба в х.лв.
м	65.7	33.9	54.0	79.5	67.7	54.7	41.4	86.0	43.0	73.0	71.1	32.3	59.3
	80.5	46.8	68.6	63.5	72.5	81.1	71.4	53.2	76.6	29.1	85.7	59.3	44.6
	74.5	34.5	57.5	55.1	78.5	71.2	65.0	68.2	78.1	78.1	66.8	18.0	59.3
	59.1	23.5	68.8	53.1	74.7	64.5	75.9	78.4	75.0	58.0	54.2	47.6	60.2
	54.6	27.4	70.6	35.0	26.7	51.0	78.4	72.6	62.1	56.5	28.2	34.4	71.7
ж	44.9	36.5	61.5	45.5	52.7	22.6	74.7	58.3	32.9	77.4	73.9	35.8	42.6
	67.3	41.3	64.1	44.5	68.7	31	56.1	47.3	40.7	58.1	55.5	50.3	60.3
	51.6	85.8	57.2	47	64.6	67.5	44.3	64.3	13.5	63.3	66.2	21.7	64.8
	62.7	79.7	51.6	57.1	29.8	67.8	59.6	48.9	70.8	25.9	61.8	27.3	33.1
	83.6	65.2	37	70.2	73.4	56.7	69.2	61.6	69.3	20.9	63.2	64.7	55.2
	40.4	37.8	17.7	13.9	46.5	25.2	45.5	75.8	43.3	14.0	61.8	46.0	44.9
	39.4	33.4	63.4	59.9

От стойността на корелационния коефициент можем да направим извода, че влиянието на пола на ръководителя върху брутната печалба на фирмата е слабо.

Пазар	Рангове														Общо	Средни
проучен					5		7	8	9		11	12	13	14	79	9,875
непроучен	1	2	3	4		6				10					26	4,333
Общо:															105	x

Този коефициент показва, че маркетинга оказва силно влияние на върху печалбата на фирмата.

1. За какво служи корелационния анализ?

2. В какъв интервал се изменят корелационните коефициенти? Какъв извод можем да направим за наблюдаваните признаци, когато корелационният коефициент е близо до 1? А до -1?

3. За какви съвкупности е вярно, че когато корелационният коефициент е 0 значи имаме независимост на разглежданите признаци?

4. Кога пресмятаме коефициент на детерминация?

5. Какво измерва коефициентът на корелация на Браве?

6. Може ли при функционална зависимост между данните да получим корелационен коефициент на Браве различен от 1?

7. Какви са логическите съображения на базата, на които е построен корелационния коефициент на Спирмън?

8. Какви са логическите съображения, по които е построен корелационният коефициент на Кендал?

9. Кога се използва корелационния коефициент на Пирсън?

10. Кога се използва точково-бисериалния коефициент на Пирсън?

11. Кога се използва рангово-бисериалния коефициент на корелация?