Лекции по Въведение в статистиката
Изтегляне 50.6 Kb.
|
- Навигация на страницата:
- Гливенко
- Теорема на Поасон
- Централна гранична теорема
|
Тема 8. Основни гранични теореми, използвани в статистиката. На практика много често не можем да наблюдаваме всички статистически единици от генералната съвкупност. В такива случаи можем да направим случайна извадка и да наблюдаваме значенията на признаците само на статистическите единици, които са попаднали в извадката. Така на всеки признак се гледа като на случайна величина, а наблюденията над него представляват реализации на тази случайна величина. Ако извадката е от независими наблюдения, тя се нарича проста. С помощта на статистическите методи можем да обобщаваме данни от представителна извадка за цялата генерална съвкупност, от която е формирана извадката. Вместо да се работи с конкретните закони на разпределение, които могат да бъдат много разнообразни, при големи по обем, прости извадки, често се използват гранични теореми. В тази тема ще разгледаме най-полезните от тях. В Тема 2 видяхме, че функцията на разпределение еднозначно определя закона на разпределение на случайната величина. Възниква въпроса как по данните от извадката да оценим тази функция на разпределение. През първата половина на миналия век, руският математик Гливенко е доказал една от основните теореми на статистиката, според която с нарастването на обема на извадката, емпиричната функция на разпределение, Fn(x) може да апроксимира с произволна точност теоретичната функция на разпределение F(x), т.е.
Двата най-важни, неизвестни параметъра, свързани с изучавания признак са математическото очакване и дисперсията. При построяване на техни оценки, по данни от проста извадка често се използва следната теорема на А. Колмогоров. Теорема. Ако 1, 2, …, n са независими, еднакво разпределени случайни величини с Еi = а, i = 1, 2, …, n, то с нарастването на n случайната величина  се доближава все повече и повече към а. Ако освен това и Di = 2 < , i = 1, 2, …, n, то с нарастването на n случайните величини  и  могат да се доближат с произволна точност до 2.
При построяване на доверителен интервал на относителен дял ще използваме следната теорема на Моавър – Лаплас. Теорема. Ако n е броят на „Успехите” при n независими повторения на един и същи опит с вероятност за „Успех” при един опит p, то при големи n, случайната величина  има приблизително стандартно нормално разпределение.
Пример: Нека n са броевете на шестиците, които са се паднали върху симетричен зар при n подхвърляния. От класическа дефиниция за вероятност, вероятността на събитието да се паднат 6 точки при едно подхвърляне е p =  . На Фиг.12 с все по-тъмен цвят са изобразени функциите на разпределение на величината
 ,
съответно за n = 10, 50, 100 и 1000. С червен цвят е изобразена функцията на разпределение на стандартно нормално разпределена случайна величина. Очевидно, при увеличаване на обема на извадката, биномното разпределение все повече и повече се доближава до нормалното. Фиг.12. 
Теорема на Поасон. Нека n е броят на „Успехите” при n независими повторения на един и същи опит с вероятност за „Успех” при един опит pn и при големи n да имаме, че n.рn клони към . Тогава при увеличаване на броя на опитите, разпределението на n се доближава до Поасоновото разпределение с параметър . Пример: На фиг. 13 с все по-тъмен син цвят са изобразени полигоните на разпределение на Bi(4; 0,5), Bi(5; 0,4), Bi(10; 0,2), Bi(20; 0,1) и Bi(100; 0,02). С червен цвят е изобразена функцията на разпределение на Поасоново разпределена случайна величина, с параметър 2. Очевидно, при увеличаване на обема на извадката и намаляване на вероятността за “Успех” при един опит, биномното разпределение все повече и повече се доближава до Поасоновото. Фиг.13. 
При проверки на хипотези и построяване на доверителни интервали на средното на генералната съвкупност, както и при извеждането на много други статистически методи се използва следващата Централна гранична теорема. Тя е обобщение на Теоремата на Моавър – Лаплас. Теорема. Ако 1, 2, …, n са независими, еднакво разпределени случайни величини с Еi = а и Di = 2 < за i = 1, 2, …, n, то при големи n случайната величина 
има стандартно нормално разпределение. Пример: Нека 1, 2, …, n са броевете на точките, които са се паднали върху симетричен зар при n подхвърляния. На следващата фигура с все по-тъмен цвят са изобразени функциите на разпределение на 
съответно за n = 1, 2, 10 и 100. Очевидно, при увеличаване на обема на извадката, когато съществува дисперсия на наблюдаваната величина, разпределението на средното аритметично все повече и повече се доближава до нормалното разпределение. Фиг.14. 
На практика асимптотичните, теоретични разпределения на много от реално съществуващите случайни величини са нормално разпределени. Често се използват и следните две твърдения: 1. Нека 1, 2, …, n са независими, еднакво нормално разпределени случайни величини с параметри а и 2. Случайната величина 2. Нека 1, 2,…,n са независими, еднакво нормално разпределени случайни величини с параметри а1 и 2. Нека 1, 2,…, m също са независими, еднакво нормално разпределени случайни величини, но с параметри а2 и 2 и редиците 1, 2, …, n и 1, 2, …, m да са независими. Тогава случайната величина Последна редакция Каталог: tadmin -> upload -> storage storage -> Литература на факта. Аналитизъм. Интерпретативни стратегии. Въпроси и задачи storage -> Лекция №2 Същност на цифровите изображения Въпрос. Основни положения от теория на сигналите storage -> Лекция 5 система за вторична радиолокация storage -> Толерантност и етничност в медийния дискурс storage -> Ethnicity and tolerance in media discourse revisited Desislava St. Cheshmedzhieva-Stoycheva abstract storage -> Тест №1 Отбележете невярното твърдение за подчертаните думи storage -> Лекции по Въведение в статистиката storage -> Търсене на живот във вселената увод storage -> Еп. Константинови четения – 2010 г някои аспекти на концептуализация на богатството в руски и турски език Изтегляне 50.6 Kb. Сподели с приятели:
|
където 
и 
има разпределение на Стюдент с n-1 степени на свобода. Накратко n-1 ~ t (n-1).
където 
има разпределение на Фишер с n-1 степени на свобода на числителя и m-1 степени на свобода на знаменателя. Накратко Fn-1,m-1 ~ F (n-1, m-1).