Лекции по Въведение в статистиката

Чернова на лекции по Въведение в статистиката

Павлина Йорданова pavlina_kj@abv.bg

Р() = 1 - р = q.

Случайната величина

която приема стойност 1, когато настъпи “Успех” и 0, когато не настъпи “Успех” се нарича Бернулиева случайна величина с параметър р или индикатор на събитието У.

Свойства: Ако x е Бернулиева случайна величина с параметър р, то

k	0	1	Общо:
P(w: x(w) = k)	p	q	1

1.

2. Ex ^k = р, kÎ R.

3. Dx = pq.
Нека n пъти да се повтаря един и същ опит и резултатите от всеки опит да са независими един от друг. С р означаваме вероятността да се осъществи събитието У, в резултат от провежда-нето на един от тези опити, а с _n броят на сбъдванията на събитието У при всичките n опита, тогава _n е биномно разпределена случайна величина с параметри n и p, накратко _n  Bi(n, p).

Свойства: Ако _n  Bi(n, p).

1. 
   Редът на разпределение на _n е
   

a , при k = 1, 2, … , n, е броят на ненаредените k-елементни подмножества на крайно множество, съдържащо n елемента. По дефиниция

2. Ако m = (n+1)p e цяло число, то случайната величина _n има две моди m и m-1. Ако m не е цяло число, mod _n = [m].

3. Вярно е, че E_n = np, a D_n = np(1-p).

1. Редът на разпределение на  има вида където k = 0, 1, 2, ….

2. mod  = 0, E = , a D =.

Случайната величина , която показва броят на неуспехите до n – тия успех се нарича отрицателно биномно разпределена случайна с вероятност за успех p. Накратко   NBi(n; p).

1. Редът на разпределение на  има вида където k = 0, 1, 2, ….

2. mod  = 0, E = , a D =.

С какво може да ни бъде полезен Excel в случая:

Ако  ~ NBi(n; p) функцията NEGBINOMDIST(k; n; p) пресмята Р(  = k).
Много често се прави избор без връщане на част от елементите на множество. В такъв случай се стига до хипергеометричното разпределение.

Ако разполагаме с a елемента от един вид и с b елемента от друг вид. Условно да ги наречем a бели топки и b черни топки. По случаен начин, без връщане избираме n от тях, където n  a + b. Нека  е броят на извадените елементи от първия вид, т.е. извадените бели топки. Дискретната случайна величина  е хипергеометрично разпределена с параметри n, a и b, накратко   Hi (n; a, b). Възможните значения на  са целите числа в интервала [max(0, n-b), min(n, a)].

1.  има следния ред на разпределение

където k = max(0, n-b), max(0, n-b)+1, … , min(n, a).

2. Нека (с цел улесняване на записа) Ако m e цяло число, то  има две моди m и m-1. Ако m не е цяло число, mod  = [m].

3. Вярно е, че

1. Ако  e цяло число, то  има две моди  и -1. Ако  не е цяло число, mod  = [].