Лекции Ст н. с. І дтн Тодор Стоилов Съдържание

 

3.1. Ценни книги и портфейли 

В портфейла може да се включат различни видове ценни книжа. В термина “ценна книга” се влага по-широк смисъл. В частност в практиката се разглеждат само възможните и достъпни ценни книги. Изборът от групи на потенциални кандидати от ценни книги, които да се използуват за формирането на портфейла не е проста задача. Ако информацията и изчисленията бяха общо достъпни, всички възможни алтернативи за портфейлите щяха да бъдат достъпни. Тъй като това не е така, ползите от използуване на по-голямо множество от ценни книги трябва да бъдат балансирани и разпределяни срещу заплащане.

Инвеститорът ще избира портфейл, включващ по една или повече от N ценни книги. Броят може да е малък N=10 или голям N=10 000, в зависимост от ползите при ограничаване или обратно с голям брой книги селектирани при малки разходи за обработка на данните от тях.

• 
  При съставянето на портфейла се счита, че ценните книги са напълно делими. В рамките на определен лимит, всеки размер средства може да бъде инвестиран в ценни книги.
  
• 
  Счита се, че реалната норма на възвращаемост на ценните книги не зависи от размера на инвестицията, т.е. от закупения брой ценни книги. Портфейлът може да бъде описан чрез пропорциите, инвестирани по всяка от ценните книги.
  

 

Табл. 3.1 Пропорционално участие на ценните книги в портфейл

 

.

Ako Xi=0 то ценна книга i не е включена в портфейла. Отрицателна стойност на Xi, означава продажба на ценна книга i, вместо нейното закупуване и задържане. В зависимост от ситуацията това може и да не е допустимо. Стойност X>1 oзначава наличие ценни книги, които по обем са повече, отколкото инвеститорът има средства да закупи. Това е възможно в случаите само ако инвеститорът може да намери допълнителни средства чрез даване на заем на някоя ценна книга.

където N е броя на ценните книги в портфейла,

В табл. 3.2 са представени изчисления за портфейла съставен от 6 вида ценни книги, които имат съответната възвращаемост. 

Съгласно табл.3.2 средната норма на възвращаемост на портфейла е 0,18=18%.

 

Табл.3.3 Характеристики на ценните книги чрез данните за разходи и приходи. 

 

3.2. Анализ на предсказанията за характеристиките на индивидуалните ценни книги 

Ако може да се предвиди реалната норма на възвращаемост на отделните ценни книги i=1,N,то лесно може да се предвиди и определи и реалната норма на възвращаемост на всеки допустим портфейл. Но за съжаление такова предвиждане е трудно да се направи. Проблемът е, че трябва да се предвидят и оценят характеристиките на ценни книги i =1,N, които пък се използват за да се прогнозират и оценят характеристиките на портфейлите Е_р и _p.

Оценка и предсказване на средните норми на възвращаемост на всяка ценна книга е необходима за портфейлния анализ. Такава оценка може да се направи директно като “средна” оценка или да се получи като очаквана стойност от индивидуалното вероятностно разпределение на нормата на възвращаемост на ценната книга. Освен предвидена норма на възвращаемост на ценната книга е необходимо да се определи и оцени дисперсията (отклонението) на реалните стойности от предвидените средни стойности. Това също може да се изчисли директно или от вероятностното разпределение на доходността на ценната книга. Следователно за оценка на отделните ценни книги, които ще участвуват в портфейла е необходимо да се определят следните характеристики:

• 
  Е_i – средната стойност на доходността (нормата на възвращаемост), която е очаквана и предсказана норма на възвращаемост на ценните книги i=1,N,
  
• 
  _i – стандартното (квадратично) отклонение на нормата на възвращаемост на ценни книги i=1,N.
  

Една от главните особености на теорията на портфейла е изискването да се отчитат взаимозависимости и взаимосвързаност на характеристиките на ценните книги. Взаимозависимостите между нормите на печалба на ценните книги се определят и измерват чрез т.н. корелационни коефициенти или ковариации.

Проблемът, който се дефинира е : да се определи обхватът и силата, при който нормите на печалби на отделните ценни книги са зависими едни от други. На практика тази оценка се определя от относително прост модел на взаимозависимост на ценните книги. Теорията на портфейла определя двойка стойности на корелационните коефициенти за всяка двойка ценни книги.


Корелация е характеристика, която определя как може да са свързани нормите на възвращаемост на две ценни книги.

 

Фиг.3.1. Видове корелационни зависимости 

На фиг.3.1 са представени основните видове корелационни зависимости: случай а) и б) имат положителна корелационна зависимост между нормите R₁ и R₂. По-голямата норма R₁ на една ценна книга вероятно ще доведе и до по-голяма норма и на другата.

Обратно, случаите г) и д) показват отрицателна корелационна зависимост. Увеличението на R₁ вероятно ще доведе до намаляване на R₂.

Случаите а) и д) са перфектно положително съответно отрицателно корелирани. Корелацията между две норми на възвращаемост на две ценни книги се изразяват с т.н. корелационен коефициент.

• 
  Стойност на корелационния коефициент +1 означава перфектна положителна корелация, случай а).
  

• 
  Стойност на корелационния коефициент 0 означава липса на корелация, случай в).
  

• 
  Стойност на корелационния коефициент -1 означава перфектна отрицателна корелация, случай д).
  

За случая г), коефициента на корелация има стойност между {0, -1}.

Корелационният коефициентът _ij е коефициент на зависимост на нормите R_i и R_j на ценни книги i и j.

Стойността на корелационния коефициент зависи от вероятността (подобието) на всяка двойка норми. Множеството от такива стойности (предсказания) определя взаимното (корелационно) вероятностно разпределение.

Е
дна илюстрация за оценка на корелационните коефициенти е дадена на фиг.3.2. Например съществува вероятност 0,07 възвращаемост на ценна книга i да бъде между 3 и 4% като възвращаемостта на ценна книга k е също между 3 и 4%. Разбира се общата сума на вероятностите трябва да бъде равна на 1.0.

Фиг. 3.2. Оценка на взаимодействията на ценни книги k и j

 Взаимното вероятностно разпределение съдържа информация, необходима за изчисление на средната стойност на нормата на възвращаемост и стандартното отклонение на възвращаемостта на всяка ценна книга. Сумата по колони определя вероятностното разпределение на R_j .

Сумата по редове определя вероятностното разпределение на R_k . Отклонението между реалната възвращаемост и нейната средна стойност може да се изрази като:

d_j = R_j – E_j .

_j

Ако R_j = E_j + 2_j, то d = +2.

Ако R_j = E_j , то d = 0. 

Да разгледаме случая с двете възвращаемости R_j и R_k. Ако изразим отклоненията d_j и d_k,

d_j = R_j – E_j и d_k = R_k – E<sub>k

j k</sub>

и формираме произведението

 

d_j d_k =,

j k

това произведение дава мярка на отклоненията между j и k .

Кoрелационният коефициент е претеглената средна стойност на всички произведения, като теглата са съответните вероятности:

_jk =,

където Pr (d_j,d_k) е вероятността за двойката d_j и d_k.

Aлтернативен запис за _jk в термините на R_j, E _j, R_k, E_k е

_jk = ,

_{j k}

където Pr(R_j,R_k) е вероятността за двойката R_j, R_k.

Корелацията не винаги означава силна причинно-следствена връзка. Тя показва само обхватът при който две възвращаемости са корелирани и се изменят съвместно.

Корелационният коефициент _jk може да се определи не от R_j зависимостите, но от съвместното вероятностното разпределение на две величини. Но в много случаи по-лесно е да се определи корелационния коефициент (взаимозависимостта) на две ценни книги без да се определя тяхното вероятностно разпределение.

В
случаите на перфектна корелация, съществува точна линейна зависимост между приходите от две ценни книги, фиг3.2. Ако корелацията не е перфектна, такава линейна зависимост няма, но за практически приложимите случаи може да се конструира най-добрата вероятностна линейна зависимост, която апроксимира реалната зависимост. 

Фиг. 3.2. Влияние на неточното измерване върху корелационната зависимост

 Например линията АВ най-добре отразява взаимозависимостта между R_j и R_k, фиг.3.2. Неизвестността и отклонението на реалната стойност на R_j от измерваната се оценява от _j. Съответно реалната стойност R_k също се отличава от измерваната съгласно стандартното си отклонение _k. Затова зависимостта между R_j и R_k се определя не от линията АВ , а и от диапазона около АВ. Освен корелационен коефициент, в теорията на портфейла се използува и коефициент на детерминираност D_ij.Той се определя аналогично както параметрите дисперсията V и стандартното отклонение

Връзката между коефициента на детерминираност D_jk и корелационния коефициент _jk е

D_jk = ²_jk , _jk = .

Корелационният коефициент определя взаимодействието между нормите на възвращаемост на две ценни книги. Реда на избор на ценната книга не оказва влияние върху стойността на корелационния коефициент_ij. Следователно:

Koвариацията между нормите на възвращаемост на две ценни книги се дефинира като кoвариацията

Връзката между ковариацията и корелацията е

Тези величини на ценни книги се използват за определяне характеристиките на портфейла.

 

3.4. Средна стойност на възвращаемостта на портфейла

Определение: Средната стойност на възвращаемостта на портфейла е равна на претеглените средни стойности на възвращаемостта на съставящите портфейла ценни книги, като претегляните коефициенти са размера на съответни ценни книги,

E_p =

X_i , размер закупени ценни книги i =1,N ; N – брой ценни книги, включени в портфейла;

Е_i , средна стойност на възвращаемостта на ценни книги.

Съответно реалната възвращаемост за портфейла се изразява с реалните възвращаемости на ценни книги i =1,N претеглени с размера X_i на ценна книга i в портфейла.

 

3.5. Стандартно отклонение на възвращаемостта на портфейла 

За случая N=2, изразът е

където X_i, X_j; _i, j= 1,N е размерът на ценните книги i и j в портфейла,

Корелационните коефициенти _1,1=_2,2 са равни на 1, тъй като възвращаемостта R₁ е перфектно корелирана със самата себе си. Тъй като _1,2= _2,1, корелационният коефициент не зависи от реда на отчитане на ценните книги, то следователно стандартното отклонение на този портфейл е

 

.

Произведението дава стойността на ковариацията С₁₂ между ценни книги 1 и 2. Общата формула може да се запише чрез C_ij като

В таб.3.4 е показано изчислението на стандартното отклонение на възвращаемостта на портфейл с 3 ценни книги, N=3.

 

Случай А показва зададените корелационни коефициентиТрябва да се отбележи, че по диагонала те са 1 и че матрицата е симетрична.

Случай Б показва стойности на ковариационната матрица. Те са определени по формулата C_ij = _ijij . C₂₃=_{23. 2. 3}=0,7. 15. 10 = 105

Стойностите _ij, _i, _j се вземат от таблица А.

На таблица Б отстрани с X_i са отбелязани пропорциите от инвестицията, използвани за закупуване на съответната ценна книга. За случая 0,5 (50%), от инвестицията е вложена в ценна книга 1, Х₁=0,5 съответно 30% в ценна книга 2, Х₂=0,3 и 20% в ценна книга 3, Х₃=0,2. Необходимо е да се спазва условието, че сумата на всички дялове трябва да е равна на цялата инвестиция или

Х₁ +Х₂+Х₃= 1.

Табл. Б показва резултатите от изчисленията на отделните компоненти Х_{I ,} X_j , C_ij:

 

Табл. 3.4 Оценка на стандартното отклонение за портфейл, N=3.

Например стойността на компонентата X₃ X₁ C₃₁= 0,2.0,5.30 =3,0.

Стандартното отклонение на възвращаемостта на портфейла_p е равна на сумата от всички квадратчета на таблицата В

Както се вижда от примера, ако броят на ценна книга N е голям, изчислението на риска _р е трудоемка операция. Съответно при анализа на много портфейли изчисленията рязко се увеличават. Затова за анализ на портфейлите се извеждат процедури за намиране на линията на множеството на ефективните портфейли.