Глава 8. Лихвен процент – основни понятия и резултати

 

8.1. Определящи фактори за нивото на лихвените проценти 

Лихвените проценти и прогнозите за техните бъдещи нива са най-важните изходни данни при вземане на инвестиционни решения. Например, нека инвеститор разполага с 100 000$ в спестяваща сметка. За тях банката плаща променлива лихва, обвързана с краткосрочна еталонна лихва по едномесечните съкровищни бонове. Трябва да се избере дали да се вложат парите в депозит или в рискови активи – акции.

Решението зависи от поведението на лихвените проценти. Прогнозирането им е едно от най-трудните области на приложение в макроикономиката. Фундаменталните фактори, определящи нивото на лихвените проценти е:

1. 
   Предлагането на средства от спестителите, предимно от домакинства за инвеститорски заем.
   
2. 
   Търсене на финансов ресурс от фирми, които ги използват за финансиране на физически активи, машини, съоръжения.
   
3. 
   Нетното предлагане и/или търсене на средства от страна на правителството.
   

 

8.2. Реални и номинални лихвени проценти 

Обясненията по долу са направени върху следния пример. Приема се, че преди една година са внесени 1000$ в срочен едногодишен депозит, който има лихва от 10%. Да допуснем, че процента на инфлация за последната година е i=6%. Стойността на всеки долар се обезценява с 6% годишно по отношение на стоките, които може да се купят с него. Следователно част от дохода от лихвата ще се “изяде” от намаляване на покупателната способност на доларите, които ще се получат в края на годината.

При лихва от 10%, след приспадане на покупателната способност от 6%, нетното увеличение на покупателната способност е около 4%. Тези разсъждения обясняват термините:

• 
  номинален лихвен процент – процентът с който се увеличават нашите пари;
  
• 
  реален лихвен процент; процентът на нарастване на покупателната ни способност;
  

то е в сила равенството

В действителност точното отношение между реалния и номиналния лихвен процент е:

Зависимостта отразява факта, че нарастването на покупателната способност 1 + r, е равно на отношението между нарастъка на средствата 1 + R, към нарастъка на цените, 1 + i за определения период от време. След преобразуване се получава:

а точното изчисление е .

Следователно точната формула дава занижени оценки в сравнение с приблизителната формула. Приблизителната формула е по-точна при ниска инфлация. Инвеститорът трябва да знае, че обикновените депозити предлагат номинална лихва. Реалният лихвен процент изисква познаване на инфлацията.

Реалният лихвен процент е възможно винаги да се изчисли със задна дата. Бъдещият реален лихвен процент обаче е неизвестен и за това инвеститорът трябва да работи със средни стойности на прогнозите си. Тъй като инфлацията е вероятностна (рискова) величина, реалната доходност също се получава вероятностна (рискова), независимо че номиналната лихва е детерминирана (безрискова) величина.

 

8.3. Равновесен реален лихвен процент 

Четири са основните фактори, които определят “реалният” лихвен процент – търсене, предлагане и правителствена политика и намеса на пазара, и инфлацията.

На фиг.8.1 са показани кривата на търсене и кривата на предлагане. Кривата на търсенето е намаляваща при увеличение на лихвения процент. Кривата на предлагането нараства, защото колкото по голям е реалният лихвен процент, толкова по-голямо е предлагането на спестявания от домакинствата. Предполага се, че при по-висока реална лихва домакинствата ще предпочетат да отложат част от днешното потребление за бъдещ период.

Кривата на търсенето намалява отляво-надясно, защото колкото по-нисък е реалният лихвен процент, толкова повече фирмите ще се стремят да инвестират в основен капитал (машини). Съответно колкото са по-ниски реалните лихви върху кредитите, толкова повече проекти ще се разработват от фирмите. Равновесната точка е пресечната на търсене и предлагане.

Правителството, чрез фискалната и монетарна политика може да мести равновесната точка. Например при увеличаване на бюджетния дефицит, това увеличава търсенето на заеми от правителството и изместване на кривата на търсенето на дясно. Това увеличава равновесната стойност на реалния лихвен процент до т. Е’.

Следователно една прогноза за засилено търсене на заеми спрямо миналите очаквания от страна на правителството повишава очакваните бъдещи лихвени проценти.

Irving Fisher (1930) твърди, че номиналния лихвен процент трябва да нараства едно към едно с увеличаването на инфлацията. Ако Е(i) е средната стойност на инфлацията, то уравнението на Fisher e

.

Следователно ако реалните лихвени проценти са стабилни, то нарастването на номиналните лихвени проценти трябва да предсказва по-високи нива на инфлация.

 

Глава 9. Риск и избягване на риск

  

9.1. Постановка на проблема 

Наличието на риск означава, че дадено събитие може да има повече от един изход.

1)     Да вземем например първоначална сума W = $100 000 , предназначена за инвестиране и да допуснем два възможни резултата от инвестирането: благоприятен резултат при който нашето богатство ще нарасне на W=150 000$ и неблагоприятен резултат, при който ще претърпим загуби от 20 000$. Следователно имаме следните два случая:

с вероятност р=0,6 W=150 000$,

вероятност 1 –p=0,4 W=80 000$

 

W₁=150 000$ 

W=100 000$

  W₂=80 000$

Нека да оценим параметрите на този портфейл, който се състои от тези две алтернативи. Оценката на този портфейл е следната.

Е(W)=p.W₁ + (1-p).W₂=0,6.150 000+0,4.80 000=22 000$.

Извод: Средната стойност на печалбата (22 000$) е по-малка от стандартното отклонение (34 292,86$). Следователно тази инвестиция е рискова. Възниква въпросът дали очакваната печалба е достатъчно голяма, за да се поеме този риск?

2)     Разглеждаме една алтернативна инвестиция в съкровищни бонове (държавни ценни книжа), които са безрискови. Едногодишната им лихва е 5%. Следователно 100 000$ могат да донесат печалба от 5000$, която печалба е сигурна и ще се получи без да се поеме риск от инвеститора.

100000$

Очакваната средна стойност на печалбата при В) е 5000$.

Следователно “цената” за рисковата инвестиция е

22 000 – 5000 = 17000$.

Тази рискова премия осигурява ли адекватна компенсация за инвестиционния риск? Отговор дава цялата финансова теория и в частност теорията на портфейла.

 

9.2. Избягване на риска и стойности на полезността 

Теорията на портфейла допуска, че всеки инвеститор приема своя оценка за полезност (преференция) за различните инвестиционни портфейли. Оценката се влияе от очакваната доходност и големината на риска на тези портфейли. По високи стойности на полезността се присвояват на портфейлите с по-привлекателни съотношения риск – възвращаемост. Финансовите инвестиции дефинират функция на полезността от вида:

,

където Е(r) – средната стойност на възвращаемостта за дадения портфейл;

Коефициента 0,005 се прилага за уеднаквяване на мащабите на Е(r) и ² и се изразява в проценти. Уравнението представя такава зависимост, при която полезността се увеличава от висока възвращаемост и намалява от риска на портфейла, мащабиран със стойността А. Така рисковите инвестиции се “глобяват” , при оценка на тяхната полезност. Инвеститорите правят своя избор между алтернативни портфейли чрез избор на по-голяма стойност на полезността .

По-долу е изчислена полезността за двете алтернативи на инвестиране.съгласно изразът за полезност



A) Рисков портфейл с изчислените характеристики Е(r) = 22%; =34%.

Случай 1:Полагаме или допускаме, че инвеститорът има коефициент на риска А=3 . Следователно полезността е:

Това число е по-малко от безрисковия лихвен процент=5%. Следователно инвестиция във рисковия вариант А не е за предпочитане. 

При този случай нивото на полезност е по-висока от безрисковата доходност, което прави портфейла приемлив.

Извод: Субективните свойства (качествата) на инвеститора (А=2или3) влияе силно върху избора на оптимален портфейл.

Съществува област на безразличие, при която портфейли с различни характеристики са еднакво приемливи за инвеститора.

 

Табл. 9.1 Оценка на полезността на портфейла

Очаквана възвращаемост Е(r)	Стандартно отклонение	Полезност равна на Е(r) – 0,005A2
10%	20%	10 – 0,005.4.202=2
15%	25,5%	15 – 0,005.4.25,52=2
20%	30%	20 – 0,005.4.302=2
25%	33,9%	25 – 0,005.4.33,92=2

В третата колона на таблицата е изчислена полезността на отделните инвестиционни алтернативи. Съгласно изчисленията всички тези портфейли са еднакво предпочитани от инвеститор с А=2. Те лежат на кривата на безразличието.

Фиг. 9.1. Крива на безразличие на инвестицията

 

9.3. Портфейлен риск

Разглеждат се случаите на доходност от рискови активи и безрискова инвестиция.

А/ Рискова инвестиция. Рисковата инвестиция е в компания С₁, за която има предвиждане за доходност и вероятностно разпределение на тази доходност както следва от данните в табл9.2. 

Табл.9.2 Доходност на компания С₁

Вероятност	Средна стойност на доходността
Р(s)	R(s)
0,5	25%
0,3	10%
0,2	- 25%

 При така зададени данни за очакваната доходност, компания C₁ има следните характеристики:

• 
  средна стойност на доходността Е₁(r):
  

• 
  дисперсията на доходността (рискът) е:
  

• 
  стандартното отклонение е: .
  

Средната стойност на доходността на този портфейл е:

Рискът на инвестицията в компания С₁ е определен като(С₁)=18,9%. Рискът на инвестицията в ДЦК е: (ДЦК)=0, тъй като ДЦК са безрискови.

Следователно рискът на портфейла е:

(П)=0,5.18,9 + 0,5.0 = 9,45%.

Извод: риска намалява наполовина ако се инвестира в рискови и безрискови активи. Но това е за сметка на намаляване на средната доходност от 10,5 на 7,75%.

 

В/ Добавяне към портфейла на нови рискови акции

Разглеждаме случай, при който в портфейла може да се включат и акции на нова компания С₂, чиито характеристики на доходността са зададени съгласно Табл.9.3 :

При така зададени данни за очакваната доходност то компания C₂ има следните характеристики :

- C₂ има средна стойност на доходността Е(r):

- Дисперсията на доходността (риска) е:

-стандартно отклонение е:

Средната стойност на доходността на този портфейл е:

 

9.4. Ковариация 

Стойността на ковариацията показва доколко доходностите на два рискови актива се променят едновременно. Положителната ковариация означава, че движението на доходността на два актива е еднопосочно.

.

За илюстриране на съдържанието на ковариацията и начинът за нейното определяне е разгледан примера на портфейл, съдържащ два актива на компании С₁ и С₂. Доходността на двата актива, определена чрез вероятностна оценка е дадена съгласно Табл.9.4. 

Средните стойности на доходността за отделните активи е определен на:

Стойността на ковариацията между доходностите на двете компании е:

Cov(1,2)=0,5(25 – 10,5)(1 – 6) + 0,3(10 – 10,5)( - 5 – 6) + 0,2( - 25 – 10,5)x

x(35 – 6)= - 240,5.

Отрицателната ковариация (корелация) показва, че общата дисперсия (стандартно отклонение), съответно риска на портфейл с включени активи на двете компании С₁ и С₂ ще намалее. Един нормиран израз на ковариацията е коефициентът на корелация. Той може да приеме стойности между –1 и +1 и се определя по следния начин:

Колкото по-близо до 1 е коефициента на корелация, толкова по-силна е зависимостта между двата актива.

Дисперсията, (рискът ) на портфейла се определя като сума от претеглени величини от рисковете на отделните активи, така и при отчитане влиянието на ковариацията между отделните активи или

Стойността на риска на този портфейл е _p = 4,83%. Тази стойност е много по-ниска в сравнение с рискът на съставящите го акции на компаниите С₁ и на С₂.

Извод:

• 
  Положителната стойност на ковариацията между активите увеличава общия риск на портфейла.
  

• 
  Отрицателната стойност на ковариацията между активите намалява общия риск на портфейла.
  

• 
  Изборът на активи, свързани отрицателно към риска на портфейла се нарича хеджиране.Това намалява общия риск (_p) на портфейла.
  

 

10.1. Изходни данни 

Нека приемем, че първоначалния портфейл е съставен при обща сума за инвестиране от 300 000$. Тези средства са разпределени както следва:

• 
  в безрисков актив 90 000$,
  
• 
  в рискови активи 210 000$.
  

GM – 66 600$ (46%)

IBM – 113 400% (54%).

Следователно делът на акциите на компаниите в общите рискови инвестиции е:

GM= IBM=

• 
  делът на рисковите активи към общата сума е:
  

• 
  делът на безрискови активи към общата сума е:
  

 Делът на рисков портфейл към цялата инвестиция е:

IBM+GM=0,378+0,322=0,7 или 70%.

Допускаме че общото разпределение на рисковите активи се променя от у=0,7 на у=0,56. Това съответства на промени в стойностите на отделните активи както следва:

• 
  стойност на рисковите активи:
  

Следователно е необходимо размер от 210000$ – 168 000$ = 42 000$ от рисковите активи да се вложат в безрискови активи, като съответна част от акциите на GМ и IBM трябва да се продадат и получените средства трябва да се инвестират в безрискови активи;

• 
  стойността на безрисковите активи става равна на:
  

Следователно към началните 90 000$ трябва да се добавят 42 000$ от рисковите активи.

Акциите на IBM ще станат:

IBM: 0,54.42 000$=22 680$

или IBM акциите в портфейла трябва да се намалят.

Акциите на GM ще станат:

GM=0,46.42 000$=19 320$

или акциите на GM в портфейла трябва да се намалят.

След продажбата, акциите в рисковия портфейл имат относителен дял както следва :

GM:

Вместо да се разглеждат поотделно рисковите акции на IBM и GM, то може те да се счита че тази тяхна комбинация представлява еквивалент на един общ рисков портфейл.

С прехвърлянето на средства към безрисковите активи се променят пропорциите между рисковите и безрискови активи в общия пакет акции на портфейла.

 

10.2. Портфейл с един рисков и един безрисков актив 

Тук е анализирано влиянието на безрисковите активи върху доходността на целия портфейл. Приема се че са зададени следните величини:

• 
  средната норма на възвращаемост на рисковите активи е Е(r_р)=15%;
  
• 
  стандартното отклонение (риск) на рисковите активи е _r=22%;
  
• 
  средната норма на възвращаемост на безрисковите активи (лихва на ДЦК) е r_f=7%.
  

E(r_р) – r_f =15 – 7 = 8%.

Приемат се означенията:

у – обем инвестиция в рискови активи;

1 – у – обем инвестиция в безрискови активи.

Характеристиките на така съставения портфейл са:

а) средна възвращаемост на смесения портфейл;

Е_р=y.E(r_р)+(1 – y).r_f=y.15+(1 – y)7=8y+7

б) стандартно отклонение на портфейл (риска);

_p=у. _r+(1- y).0=y.22.

При измерване на съотношението между рисковите и безрисковите активи, Е_р и _p се изменя по правата в пространството Е_р (_p), фиг.10.1

Е_р=.

Тази права линия пресича ординатната ос в точката Е_р=7,_p =0 и има наклон

S=.

На фиг.10.1 е показано множеството инвестиционни възможности. Линията FP се нарича Линия на Капиталовия Пазар CML. При равномерно делене на рискови и безрискови активи характеристиките на портфейла са:

Тази точка ще лежи по средата на линия FP.

 

10.3. Разпределение на активите и избор на полезност 

Линията на полезността е дефинирана като

където А е коефициент на избягване на риска.

При неутралните към риска инвеститори А=0. Обратно за избягване на риск, инвеститорът избира А голямо число. Следователно нормата на печалба и риска на портфейла са:

Целта на инвеститора е да търси максимума на своята функция на полезността max, като изменя разпределението у. Следователно задачата за намиране на оптималния портфейл е:

Решението на задачата се намира от условието за търсене на максимума на функцията или ,

или Е(r_р) – r_f – 0,005A.2y.=0 ,

или y opt =

За конкретния случай: при А=4.

При инвестиция в рискови активи у=0,41 и 0,59 в безрискови, полученият портфейл ще има доходност и риск както следва:

Рисковата премия на този портфейл е: Е_р – r_f = 10,28 – 7 = 3,28%. Решението на тази задача се получава и графично, фиг.10.2.

Решаването на задачата за намиране на оптимален портфейл се интерпретира графично като търсене на допирната точка между функцията на полезност и линията на капиталов пазар FР. 

• 
  -         определя се линията на капиталовия пазар чрез точките F и P. Разположението на тези точки се намира от характеристиките на безрисковите активи за т.F и рисковите активи за т.Р;
  
• 
  -         намира се допирната точка на линията FР с функцията катосе изчертава при избрана стойност коефициента А.