Глава 11. Oптимални рискови портфейли

 

11.1   Диверсификация и риск на портфейла 

Разглежда се портфейл, който съдържа акции само на компания С₁. Кои са източниците на риск за този портфейл?

а) Съществува рискът от общите икономически условия: икономическия цикъл, ниво на инфлация, лихвени равнища, обменни курсове.

Нито един от тези макроикономически фактори не може да се прогнозира със сигурност, а те влияят върху нормата на възвращаемост на портфейла.

б) Специфични за фирмата въздействия: например удачни кадрови, технологични промени.

Тези промени не засягат другите фирми в икономиката. Диверсификацията означава включване в портфейл на акции на други фирми, така че портфейлния риск да намалее. Но колкото и акции на нови фирми да се включват, не може да се елиминира макроикономическото влияние върху всички видове акции. Когато целият риск е специфичен за фирмите, диверсификацията може да намали риска до много ниски нива с увеличаване броя на видовете акции n в портфейла.

Когато всички фирми са засегнати от общи източници на риск, той не може да бъде намален фиг.11.1. 

 Рискът, който остава след диверсификацията, се нарича пазарен риск. Той е систематичен риск и не може да се намали с диверсификация.

 

11.2. Портфейли от два рискови актива 

Създаването на портфейл с много рискови активи следва принципите за съставяне на портфейл с два рискови актива. Приема се, че Х₁ и Х₂ са обема средства инвестирани в съответни акции на компании С₁ и С₂. Нормата на възвращаемост на този портфейл е:

където R₁,R₂ е възвращаемостта от акциите на компании C₁ и C₂ ,

Средната стойност на възвращаемостта на портфейла се изчислява аналогично:

Дисперсията на портфейла с двата актива е:

където ₁ и ₂ са дисперсиите (рисковете) на възвращаемостите на акциите на фирмите С₁ и С₂,

Рискът на портфейла, изразен чрез дисперсията _p ² не е претеглена сума, като Е(R_p), а зависи от стойността на ковариацията Cov,

и

,

където Р_сц е вероятността за едновременното съществуване на R₁ и R₂. Дисперсията на портфейла може да се запише по следния начин:

т.е. дисперсията е претеглена сума на отделните ковариации на съставящите.

Ако Cov е отрицателна, то риска на портфейла_p ² намалява. Дори Cov да е положителна, стандартното отклонение _p е по-малко от претегленото стандартно отклонение на съставящите активи, освен в частния случай когато ковариацията има стойност Cov=+1. Това означава че между доходностите на двата актива има пълна положителна корелация. При този случай се получава:

,

където e коефициент на корелация.

Съответно рискът на портфейла е

,

Само при абсолютна корелация се изпълнява равенството

В общия случай на е валидно неравенството _p <Х₁₁+Х₂₂.

Извод: Портфейли съдържащи активи, между които няма абсолютна корелация притежават по-добри възможности за поддържане на добро съотношение риск – възвращаемост за портфейла, отколкото съотношението, което имат отделните ценни книжа.

Колкото по слаба е корелацията между активите, толкова по-голямо е увеличението на ефективността на портфейла.

 

Въпрос: Колко е възможният най малък рискът _p , който даден портфейл може да има?

Отговор: Рискът на портфейла се изчислява по формулата .

При , рискът е

Следователно _pе равно на абсолютната стойност от разликата

Ако се изберат такива обеми от инвестиции

то рискът на портфейла ще се получи

т.е при удачно избрани Х₁ и Х₂ то риска на портфейла _p може да се сведе до нула.

 

Табл. 11.1 Свойства на акции влизащи в портфейла.

	С1	С2
E(R)	Е(R1)=8%=E1	E(R1)=13%=E2
	1=12%	2=20%
72 Cov=(r1,r2)
0,30=

p
		Cov= - 240	Cov=0	Cov=72	Cov=240
X1	X2
0	1,0	20%	20	20	20
0,25	0,75	1,2	15,30	16,16	18
0,50	0,50	4	11,66	13,11	16
0,75	0,25	4	10,30	11,53	14
1,0	0	12	12	12	12
минимално р		0	10,29	11,45
Х1 за минималното р		0,63	0,74	0,82

Тъй като след заместване рискът_p на портфейла ще се влияе само от Х₂, то

Търси се минимума на риска_p от Х₂ или min[_p ²( X₂ )]. Следователно се определя първата производна на _p по променливата X₂ или

Следователно другата компонента е равна на .

Стойността на стандартното отклонение на този портфейл е:

Стандартното отклонение на портфейла _min = 11,45% е по-малко от стандартното отклонение на отделните активи ₁=12% и ₂=20%. Това е свойството на диверсификацията вследствие от съставянето на портфейла. Начупената линия като триъгълник показва потенциала за диверсификация при . Тогава рискът _p може да стане 0.

Стойностите на активите за този портфейл с минимален риск са:

Доходността на портфейла Е_р е функция на Х₁ и Х₂ и се изчислява както следва :

При отчитане условието за обема на общата инвестиция Х₁ + Х₂ =1, то след заместването Х₂=1- Х₁ в израза за Е_р се получава зависимостта Е_р(Х₁), която е показана на фиг,11.3.

А
налогично след заместване на Х₂=1-Х₁ в изразът за риска на портфейла _p се получава зависимостта_p (Х₁) . Следователно се разполага с две графики (зависимости) ,i=1,2.

От графиката може да се изрази Х₁ като функция от Е_р:

Следователноили след заместване на Х₁ с Х₁= Е_р^-1(Е_р) се получава зависимостта:

или .

На фиг.11.4 е начертана графиката Е_р(_p) с определените изходни данни.

 

Фиг. 11.4. Зависимостта Е_р (_p) при различни стойности на 

Съгласно табл.11.3 се получават стойностите Е_р (_p) както следва. 

Табл.11.3 Резултати от изчисляване на зависимостите Е_р(_p)

p
Ер	Х1
13 -	0	20	20	20	20
11,75 -	0,25	12	15,30	16,6	18
10,50 -	0,50	4	11,66	13,11	16
9,25 -	0,75	4	10,30	11,53	14
8 -	1,0	12	12	12	12

 Изчислението на доходността на портфейла е :

Е_р =8X₁+13X₂=8X₁+13(1 – X₁)= - 5X₁+13.

При

Изводи: въпреки, че средната възвращаемост на портфейл е средно претеглена сума от съставящите го активи

то риска _p , изразен чрез стандартното отклонение на нормата на възвращаемост не е претеглена сума. Рискът на портфейла се определя като сума от отделните стандартни отклонения ₁ и ₂ и зависи от корелацията между Е₁ и Е₂. Това позволява да се получи портфейл, чиито риск _p е по-малък от ₁ и ₂.

Коя точка да се изберем от графиката Е_р(_p) за да определим единствен ефективен портфейл вече зависи от личните предпочитания на инвеститора. Този единствен портфейл може да се определи като пресечна точка на функцията на полезност на инвеститора с ефективната граница на областта Е_р (p). 

 

11.3. Оптимален рисков портфейл с два рискови и един безрисков актив 

Разглежда се случая за анализиране на характеристиките на портфейл, който ще съдържа безрисков актив с доход 5% и два рискови актива. На фиг.11.5 са представени три вида портфейли:

• 
  т. А е портфейл съдържащ само рискови активи;
  
• 
  портфейлите, които съдържат комбинация между безрисков актив р и рисковите активи, представящи т.А, лежат на правата pА.
  

Наклонът на линията pА е:

Приемаме характеристиките на портфейла в т.А да има средна доходност и риск както следва:

 

Е(R_А)=8,9%, _A=11,45%

Следователно наклонът на линията pА е:

Приемаме, че в портфейл В са инвестирани X₁ = 30% и Х₂ = 70%. Характеристиките на портфейла В са:

Следователно наклонът на линията pВ ще бъде

Тъй като наклонът S_B e по-голям от S_A , то портфейлът представен от т.В е за предпочитане пред този на т.А.

Очевидно най-голям ще е наклонът на допирателната към кривата. Тя ще се допира в т.С. Тази точка т.С е най-добрата комбинация за портфейл съдържащ само рискови активи.

Ако се включват рискови и безрискови активи в портфейла, то той ще бъде представен като точка от линията pС.

Намирането на числовите характеристики на т.С може да стане чрез изчисления с компютър. Но тя може да бъде намерена и аналитично чрез прилагане на следния подход.

Търси се максимална стойност на наклона S, като се изменя Х₁ или

или .

Решението на тази задача се намира, като се определи аналитичния израз на първата производна на S спрямо Х₁ и този израз се приравни на нула, или

При решаване на това уравнение спрямо Х₁ се доказва така, че оптималната стойност Х₁^opt е: