Глава 12. Модел за оценяване на капиталовите активи

Моделът за оценяване на капиталовите активи дава точно алтернативно описание на зависимостта, между риска на отделен актив и средната му възвращаемост. Тази зависимост се използува за:

-         оценяват се активи,още не участвали на пазара.

Моделът се прилага при равновесие на пазара. То се изразяват в допускането, че на пазара се изпълняват следните условия:

1.      Богатството на всеки инвеститор е много по-малко от общото богатство на всички инвеститори.

2.      Всички инвеститори планират за един и същи период от време своите инвестиции, примерно за 1г.

3.      Разглеждат се само финансови инвестиции, не и материални такива като инвестиции или в образованието, науката и т.н.

4.      Инвеститорите нямат търговски разходи за сделките с ценните книги.

5.      Инвеститорите оптимизират по съотношението средна стойност на дохода – дисперсията на доходността на портфейла.

6.      Всички инвеститори имат еднаква информация за свойствата и характеристиките на ценните книги.

При изпълнение на тези условия моделът за оценяване на капиталовите активи доказва, че:

1.      Инвеститорите ще съставят собствените си портфейли, като спазват пропорциите в т.н. “пазарен портфейл” съставен само от рискови активи.

2.      Пазарният портфейл се намира върху ефективната граница Е_р(_p) и е допирната точка на правата линия на капиталовия пазар с ефективната граница на допустимата област на инвеститорските портфейли Е_р(_p) .

 




Фиг. 12.1. Линията на капиталовия пазар

3.      Линията на преференция и избор на отделен инвеститор се задава с уравнението

където A – кoефициент за избягване на риска за съответния инвеститор.

Тази линия определя и рисковата премия върху пазарния портфейл.

4.      Рисковите премии върху отделните активи аналитично се определят като:

където .

Рискова премия на оптималния портфейл се определя като се търси максимума на линията на преференцията на инвеститора

или задачата за търсене на оптималния портфейл става

Определянето на доходността Е(R_i) за портфейл с един рисков и един безрисков актив е съгласно равенството

а рискът е .

След заместване във функцията U задачата за оптимален портфейл става:

,

където оптималната стойност Х₁^opt се намира от условието за търсене на максимум на функцията U(X) или

След обработка се получава

При X₁ = 1 се получава

което означава избор на инвеститорски портфейл, който съдържа само рискови активи.

 

13.1. Обща характеристика

Държавните ценни книжа (ДЦК) са ценни книги емитирани от Министъра на Финансите като представител на държавата, които материализират държавен дълг.

Държавните ценни книги се пускат в обръщение на емисии, като всяка емисия има свои уникални условия като:

• 
  номер на емисията: буквено цифров код, който идентифицира емисията;
  

• 
  дата на емисията; датата, на която държавните ценни книги са пуснати в обръщение и от която почва да тече срокът на емисията;
  

• 
  падеж: датата, на която се извършва изплащането на номиналната стойност на емисията и се погасява задължението на държавата към притежателите на държавни ценни книги;
  

• 
  номинална стойност: стойността, изплащана на падежа на притежателите на държавни ценни книги, която винаги е кратна на 50;
  

• 
  лихвен процент: процентът, с който се олихвява номиналната стойност и лихвите и е гарантиран от държавата;
  

• 
  висока ликвидност; тъй като емисиите на държавните ценни книги са с големи обеми и за тях съществува развит вторичен пазар, където вложителите биха могли, ако пожелаят, да продадат притежаваните държавни ценни книги преди датата на падежа;
  

• 
  висока доходност; тъй като вложението в държавни ценни книги е с по-добра доходност, сравнено с други нискорискови вложения.
  

Според срока на падежа (матуритета) държавните ценни книги са краткосрочни, средносрочни и дългосрочни.

• 
  Краткосрочните държавни ценни книги се наричат съкровищни бонове и се емитират със срок на падежа до една година.
  
• 
  Средносрочните и дългосрочните държавни ценни книги се наричат съкровищни облигации. Средносрочните са държавни ценни книги със срок на изплащане от една до пет години
  
• 
  Дългосрочните са държавни ценни книги със срок на изплащане над пет години.
  

Лихвоносните държавни ценни книги – се емитират по цена, равна или по-голяма от номиналната им, върху който се начислява лихва, съобразно лихвения процент на емисията. Лихвеният процент може да се определи като фиксиран (например 5%) или плаващ, т.е обвързан с измененията на базисен лихвен процент. Най-често лихвения процент на емисиите се равнява на основния лихвен процент (ОЛП) на БНБ плюс (минус) няколко пункта, например (ОЛП+3). Това означава, че размера на лихвата ще се променя съобразно измененията на основния лихвен процент. Лихвата по съкровищни бонове се изплаща еднократно на датата на падежа заедно с номиналната стойност. При съкровищните облигации лихвата се изплаща на всеки шест месеца, считано от датата на емисията, като последната лихва се изплаща заедно с номиналната стойност на датата на падежа.

Сконтовите държавни ценни книги – са тези, които се емитират под номинала и доходът за вложителя се формира само от отстъпката, т.е. от разликата между покупната цена и номиналната стойност, изплащана на падежа. В този случай доходът до падежа е фиксиран, т.е стойността му е предварителни известна и няма да се променя. Сконтовите държавни ценни книги нямат лихвени купони, поради което се обозначават и като ценни книги с нулев купон.

Сконтово – лихвоносните държавни ценни книги се емитират по цена под номиналната, а върху него се начислява лихва съобразно лихвения процент на емисията. При този вид държавни ценни книги доходът се формира от отстъпката от номиналата и от лихвата. Ако лихвеният процент на емисията е плаващ, от една част от дохода ще е предварително известена (отстъпката), а другата част (лихвата) ще зависи от размера на базисния лихвен процент.

 

13.2. Придобиване на държавни ценни книги на първичния пазар 

Гражданите и юридическите лица, които не са първични дилъри, могат да придобиват държавни ценни книги чрез участие в търговете (аукционите) за безналични държавни ценни книги, провеждани от БНБ. Аукционите за съкровищни бонове се провеждат всеки понеделник от месеца, а за съкровищните облигации всеки втори и четвърти петък от месеца.

Не по-късно от три работни дни преди датата на аукциона, Министъра на Финансите чрез БНБ уведомява първичните дилъри за конкретни характеристики на предлаганата емисия: номер, срок, падеж, дати на лихвени плащания, лихвен процент, предлагано количество по номинална стойност. Право да участват с поръчки в аукционите имат първичните дилъри – банки и инвестиционни посредници по смисъла на Закона за ценните книги, фондовите борси и инвестиционните дружества, чийто списък се утвърждава на шест месеца от Управителния съвет на БНБ и Министъра на Финансите.

Поръчките за участие за собствена сметка в аукциона на първичните дилъри се наричат състезателни, защото се удовлетворяват по заявената цена след класирането им по низходящ ред и одобрението на Министъра на Финансите.

Гражданите и юридическите лица, които не са първични дилъри, могат да участват в аукционите със състезателни или несъзтезателни поръчки, които подават в БНБ чрез избран първичен дилър. Когато участвуват с несъстезателна поръчка, те не посочват цена, тъй като продават заявеното количество (номинална стойност) от съответната емисия по средно претеглената цена, постигната на аукциона от одобрените от Министъра на Финансите състезателни поръчки. Ако се прави състезателна поръчка, трябва да се посочи цената, по която лицето желае да закупи държавни ценни книги от емисията (ако тя не е съобразена с пазарните условия, поръчката може да не бъде одобрена от Министъра на Финансите).

Първичните дилъри не могат да участват в несъзнателни поръчки за сметка на банката.

От предлаганото количество на всеки аукцион 30% са предназначени за закупуване чрез несъзтезателни поръчки. Номиналната стойност на една несъстезателна поръчка трябва да е най-малко 500лв. и да е кратна на 100лв.Минималната номинална стойност на една състезателна поръчка е 1000лв. и трябва да е кратно на 100лв.

Трябва да се има предвид, че на финансовата институция посредник се заплаща комисионна съгласно съществуващите тарифи, която обикновено е на стойност под 1% от заявеното количество.

Заплащането на емитираните държавни ценни книги на аукционите се извършва на втория работен ден след датата на аукциона за съкровищни бонове и на четвъртия работен ден след датата на аукциона за съкровищните облигации. Датата на плащане е и дата на емисията на държавните ценни книги.

 

13.3. Покупка на безналични държавни ценни книги от граждани и фирми (вторичен пазар) 

Тези държавни ценни книги се продават от първичните дилъри на лица и организации, които не са първични дилъри. Продаващата институция обявява на видно място цените за деня “продава” и “купува”. Цената “продава” е тази, по която могат да се придобият ценните книги, а “купува” – тази по която продавачът изкупува обратно от граждани и фирми ценни книги. Определянето на котировките се извършва от продавача.

Максималната сума за продажба е ограничена от притежаваните държавни ценни книги в портфейла или инвестиционния посредник, а минималната сума е различна при отделните продавачи.

Съществуват и целеви емисии за граждани и фирми. Те се продават въз основа на договори, сключени с Министъра на Финансите от БНБ, търговски банки, финансови къщи. Тези “пласьори” обслужват граждани и нефинансови предприятия.

Държавните ценни книги от целевите емисии в момента са само за 2 години. Преди известно време се емитираха емисии за 3 месеца, 6 месеца и 1 година.

Държавните ценни книги от целевите емисии се продават от понеделник до петък, по предварително определени от Министъра на Финансите цени, като датата на емисията е в понеделник. Цената се увеличава всеки изминал ден до петък, така че ефективната годишна доходност да е еднаква, независимо от деня на покупката.

Лихвените проценти и цените на държавните ценни книги от целевите емисии се определят от Министъра на Финансите и финансовите институции не ги променят. Повечето посредници не вземат комисионни от клиентите си при покупката на държавни ценни книги от тези емисии. Според сключените договори с Министъра на Финансите, финансовите институции пласьори на държавни ценни книги от целевите емисии ежедневно котират цени за обратно изкупуване на книгите в емисиите в обръщение.

Няма ограничения за максималната сума на продажба, а минималната сума е определена различно от отделните финансови институции.

 

13.4. Използуване на държавните ценни книги 

Покупко – продажбата на държавни ценни книги често приема формата на репо сделки и обратни репо сделки. При репо сделката се извършва продажба на държавни ценни книги (обикновено съкровищни бонове) с договореност продавачът да ги изкупи обратно от купувача по определена цена (по-висока) след фиксиран срок. Репо сделките се сключват преди всичко между финансовите институции и централната банка, но също и от финансовите институции с граждани и нефинансови институции, разполагащи със свободни средства за предварително известен период.

Държавните ценни книги могат да се използуват като обезпечение във всички предвидени от закона случаи. Държавните ценни книги са предпочитано обезпечение от банките при отпускане на кредити срещу залог, като обезпечителният марж (разликата между стойността на обезпечението и размера на отпускания кредит) е значително по-малък, от колкото при използуване на други активи за гарантиране на заема.

 

13.5. Определяне на доходността на държавните ценни книги 

От 1.III.1995 година съкровищните бонове имат следната структура на падежите при емитиране:

3 месечен – 91 дни;

6 месечен – 182 дни;

9 месечен – 273 дни;

12 месечен – 364 дни;

Лихвените купони по съкровищните облигации се изплащат на 182 дни, като с последната лихва се изплаща и номиналната стойност. Годишната база при изчисляване доходността до падежа и на ефективната годишна доходност е 365 дни

а) доходност на съкровищни бонове

Използват се:

• 
  доходност до падежа: измерител на възвращаемостта от инвестицията за времето от покупката на книгите до падежа;
  
• 
  ефективна годишна доходност – показва капитализирания годишен лихвен процент, т.е доходността, която би се получила за 1 година, ако за този срок всеки път на падежа се закупуват същите ценни книги на стойност изплатената главница плюс лихвата (отстъпката при сконтовите);
  
• 
  при сконтовите съкровищни бонове, връзката между доходност до падежа (в проценти) и цената е:
  

където О – сума на отстъпката, О= Н – Ц;

• 
  при лихвоносни съкровищни бонове, продавани по номинал, доходността до падежа се определя на база обявения лихвен процент на емисията и съвпада с лихвения процент за срока на боновете;
  
• 
  при лихвоносни съкровищни бонове, продавани с отстъпка от номинала, ДП се намира като
  

където Л е лихвата за периода .

В случай, че ОЛП се променя по време на срока до падежа, то сумата на лихвата Л е:

където Л₁, Л₂,…, Л_n – лихвата при съответния ОЛП,

Доходността до падежа служи за сравняване на доходността на съкровищни бонове с тези от алтернативни инвестиции, които имат еднакъв период на действие.

Ако съкровищните бонове се продават преди падежа, то постигнатата доходност за периода на притежаване на ценни книги се изчислява като разликата между цената при продажбата и цената при покупката се отнася към цената на покупката:

където Д – доходност за период на притежаване на ценни книги;

• 
  Ефективната годишна доходност и при сконтовите и при лихвоносните съкровищни бонове се изчислява по следната формула
  

където ЕГД е в [проценти].

Например за 1 година тримесечните бонове могат да се закупят 4 пъти, n= 4; 6 месечните – 2пъти, n= 2.

С ЕГД се правят сравнения за доходността на държавните ценни книги с различна продължителност (срок до падежа) и доходността на други финансови институции, за които се знае годишната им възвращаемост.

• 
  Доходност на съкровищни облигации.
  

където N – номинал;

Доходността до падежа на съкровищните облигации при фиксиран лихвен процент е:

където Ц е пазарната цена;

Ако облигацията е с променлив лихвен процент, то Л за отделните периоди не са еднакви. Определянето на у става с алгебрични изчисления.

Държавните ценни книги са един от механизмите за инвестиране и получаване на приходи. Особеностите им на отсъствие на риск при финансирането, гарантиран приход и минимални усилия за реализиране на инвестицията ги прави приоритетен участник в състава на портфейла.

 

14.1. Механизъм и параметри на функциониране на Държавните Ценни Книги 

Всяка емисия от държавни ценни книги се характеризира чрез следните параметри:

• 
  дата на емитиране, на фиг.14.1, това съвпада с началото т.0;
  
• 
  начална цена “продава” С₁(0), на която финансовата институция продава държавни ценни книги на граждани, юридически лица;
  
• 
  цена “купува” С₂(t), на която цена се изкупува обратно продадените държавни ценни книги. Като правило С₂(t)<C₁(t), C₁(t)=C₂(t)+, където е разликата между цените “купува” и “продава” и се определя от политиката на финансовата институция предлагаща държавни ценни книги на вторичен пазар;
  
• 
  - скоростта на изменение на цените С₁(t) и С₂(t).
  

Д=ОЛП+.

Възможно е доходността Д да е постоянна величина.

Цената “продава” на емисията расте по линеен закон,

където t е времето, измерено в дни, изминало от началото на емитирането;

Цената “купува” на емисията расте също по линеен закон, но има начален период , през който емисията не се изкупува.

където С₂(0) – начална цена купува. Обикновено С₂(0)<С₁(0);

При наличие на Х средства, които ще се инвестират в държавни ценни книги, се закупува номинал N по цена “продава” С₁(t^*).

където N – закупен номинал;

Доходът от държавните ценни книги е:

където N – е закупеният номинал;

  

14.2. Изменение на приходите 

където N е закупения номинал на емисията ДЦК,

Следователно П(t) ще е максимално ако N е по- голямо и С₂(t) е голямо. Тъй като номиналът N се определя от размера на инвестицията X и от цената, на която се закупува този номинал, то

е цената на купуване на ДЦК.

Следователно за да е N голямо то трябва инвестицията Х да е голяма и цената на закупуването С₁(t*) да е малка. Съгласно фиг.14.1, цената на закупуването на ДЦК се нараства линейно във времето по закона

където С₁(0)>0 е началната цена в т.О и е постоянна по стойност;

Следователно е минимално при t=0 и минималната цена е С₁(0).

При използуване на тази минимална цена най голям номинал може да се закупи в началния момент на емитирането на емисията ДЦК

Извод: Държавните ценни книги трябва да се закупуват през първия ден на емитирането им, защото цената им е най-ниска, при което се закупува най-голям номинал.

По долу е анализирано изменението на текущите приходи от емисията от ДЦК , когато тя се продаде преди датата на падежа. ДЦК са ликвидни инвестиционни инструменти тъй като банките ги изкупуват преди техния падеж. Цената на изкупуването нараства линейно, съгласно фиг.14.1. Следователно приходите от продажбата на ДЦК се определя от равенството, където номиналът N е заместен чрез размера на инвестицията X и цената на началното закупуване на емисията C₁(0)

.

Но изменението на цена “купува” е

Следователно след заместване се получава

или

където

Aко можеше веднага да се изкупуват държавни ценни книги,то закъснението щеше да е равно на 0 и графиката П(t) щеше да съвпада с П₁(t). Наличието на закъснението >0 води поява на зона на неизменение на графиката П(t), съгласно фиг.14.2.

 

14.3. Оценка на печалбата от инвестицията 

В момента t₁ се инвестират Х средства и се закупуват държавни ценни книги. В момента t₂ печалбата от инвестицията е:

,  

където ,

Следователно след заместване, печалбата от закупените ДЦК ще се определя съгласно равенството

Но цената на обратно изкупуване на ДЦК C₂(t₂) се изменя спрямо цената на закупуването C₁(t₁) съгласно линейната зависимост

При допускането се получава

където Р(t₁,t₂) е печалбата от инвестицията за периода от t₁ до t₂.

 Извод: печалбата от инвестицията в държавни ценни книги е пропорционална на доходността на емисиятаи продължителността на разглеждания период t₂-t₁ и обратнопропорционална на цената на закупуване на държавни ценни книги C₁(t₁).

Получените съотношения определят някои практически изводи по стратегията на инвестиране.

• 
  Трябва да се инвестира в тази емисия, която има максимална доходност .
  
• 
  Печалбата от инвестицията се увеличава при закупуване на емисията скоро след нейното емитиране, тъй като цената “продава” е все още ниска.
  

• 
  да се определи в коя емисия да се вложат средства;
  
• 
  колко време да се задържи тази емисия;
  
• 
  в кой момент да се замени старата емисия в нова емисия, така че печалбата от инвестицията да е максимална.
  

Този модел оценява целесъобразността от инвестирането от стара емисия държавни ценни книги в нова емисия. Този модел оценява дали си заслужава да “върнеш/продадеш” старата си емисия държавни ценни книги за да закупиш нова преди да е изтекъл срокът и на падеж.

1) Постановката за модела на промяната е следната,фиг.15.1:

-         Инвеститор е закупил държавни ценни книги от стара емисия. С наличните си средства той е закупил номинал N_s;

-         Старата емисия има характеристики доходност;

-         Приходът от старата емисия П_s се изменя във времето и нараства П_s(t)=N_s.C_s(t), където С_s(t) е цената която се “изкупува” старата емисия.

Изменението на приходите П_s(t) е дадено на фиг.15.1.

2) В момента t=0, се появява на пазара нова емисия.

Характеристиките и са следните:

цена продава C_N(0), доходност .

Следователно старата инвестиция може да се замени с новата чрез закупуване на нов номинал:

Вследствие “задържането”, новата емисия ще бъде изкупувана след време t.

Задачата, която се поставя е: след колко време печалбата от новата емисия ще е по-голяма от печалбата от старата емисия.

Задачата може да се постави и по следния начин, след колко време приходът (а не печалбата) от новата емисия ще е по-голям от този, ако бяхме останали на позицията на старата емисия, фиг.15.2.

Проблемът се решава със следния формален анализ.

• 
  Печалбата P_s от инвестицията в старата емисия за период (0,t) e:
  

където N_s e закупен номинал на старата емисия;

Но цената C_s(t) се изменя по линеен закон

Следователно

• 
  -         При инвестиция в новата емисия, печалбата е аналогична
  

където C_N(0) е цената “продава” на която е закупена новата емисия,

Вследствие “забавянето” между курс “продава” и “купува” е в сила съотношението:

или след заместване

Тъй като моделът на промяната изисква приходът от новата емисия да е по-голям от прихода от старата то P_N≥P_s

или ;

или , 

или

Извод: След време

печалбата от новата емисия ще е по-голяма от печалбата от старата емисия.

Ако разликата между С_N (t) продава и C_N (t) купува се отбележи с то формулата добива вида:

Тази зависимост се използува за оценяване ефективността на инвестиране във всяка нова емисия държавни ценни книги.

Ако,се окаже, че t е голямо число, то смяната на старата емисия с нова ще изисква голям период от време, докато достигне печалбата, носена от старата емисия. Следователно не е целесъобразно да се закупи новата емисия.

Ако t е малко число, целесъобразно е да се направи замяната и натрупаните средства от старата емисия да се инвестират в новата .

Големината на t зависи от избора на инвеститора аналогично при портфейл с функция на избор.

Пример: Стара емисия Е554, с доходност ОЛП+9 е емитирана от БНБ.

Към дата 18.09.1995г. емисията има цена “купува” С_S(0)= 119,30лв. на 100лв. номинал.

Дневния нарастък на цената ,

където ОЛП=34% за 1995г., а добавката за 100лв. номинал.

На 18.09.1995г., БНБ предлага на гражданите нова емисия Е614 с цена “продава” 100лв. на 100лв. номинал. Доходността е:

/100лв номинал.

Задачата е: целесъобразно ли е да се продаде старата Е554 преди падежът и да се закупи с наличните средства Е614. Тази задача се решава чрез формулата

където лв. е оценено от тогавашната практика на БНБ.

Следователно след 73 дни печалбата от закупуването на новата емисия, чрез продаване на старата ще се изравни с печалбата, която ще се получи от старата емисия.

-         Ако инвеститорът си избере критерии: да получи печалба до 1 месец по-голяма,– замяната е неудачна.

-         Ако инвеститорът избере критерии: в срок от 3 месеца печалбата да е по-голяма, замяната е удачна.

Глава 16. Модел на прогнозата 

Този модел оценява след колко време да се очаква емитирането на “нова” емисия държавни ценни книжа, която би имала “по-добри” характеристики от текущата.

Постановката е следната, фиг.16.1. В момента t=0, средствата са инвестирани в емисия държавни ценни книжа, от която е купен номинал N_s, с дневен доход и в момента t=0, цената “купува” на емисията е C_s(0), фиг.16.1.

• 
  -         Предполагаме, че в момента Х се емитира нова емисия държавни ценни книжа, която има цена “продава” C_N(x) и дневна доходност . Разликата между цените на продаването и изкупуването на новата емисия е .
  

Проблемът, който се поставя е: след колко време Х ще се емитира нова емисия държавни ценни книжа, която при приетите прогнозни характеристики, например еднакви с тези на последно емитираната емисия, ще донесе в следващите Т* дни печалба (приходи), която е по-голяма, в сравнение печалбата от старата емисия.

Следователно се цели печалбата за периода (Х,Х++Т*) от новата емисия да е по-голяма от печалбата от старата емисия, Р_s.

-         Печалбата от новата емисия P_N e

където N_N е новият закупен номинал,

След заместване се получава:

-         Печалбата от старата емисия за момента Т^* е:

където

емитиране, т.е в т.0.

Следователно

Искаме така да се прогнозира X , че за избрано Т* да се изпълнява новата доходност P_N() да е по-голяма от старата P_S() или

Заместваме изразите за P_s() и P_N()

или

Развива се израза спрямо Х или

Следователно трябва да се очаква, че в момента X ще се емитира нова емисия държавни ценни книжа, която за период +Т^* след X ще има по-голям доход от старата емисия.

Съответно ще се препоръча след време X да се смени старата емисия с нова.

Пример:

Закупена е старата емисия Е554. Нейните характеристики са:

• 
  доходност: ОЛП+9; ОЛП=34%; следователно
  
• 
  цена “продава”, на която е закупен номинала N_s;
  

а) След колко време Х, може да се очаква нова емисия с прогнозни характеристики каквато е Е614, чието закупуване ще донесе по-голяма печалба в разстояние от 3 месеца, Т*=91дни. Така закупуването на новата емисия ще донесе след време Т* по-голяма печалба и е желателно да бъде заменена старата с нова емисия.

Решение:

Закупуването на новата емисия се приема, че е станало в момента Х при който C_N(X) е най-ниско. Допускаме C_N(X)=100

Извод: При избран период Т*=91дни, печалбата от замяната на старата с новата емисия трябва да стане след около 48дни. Така ще се реализира по-голям приход.

б) Случай: не са известни характеристиките на новата емисия. Правдоподобно е да се очаква, че новата емисия ще има еднакви “стартови” характеристики със старата, т.е C_N(X)=C_S(0) и еднаква доходност, .

В този случай

След заместване се получава

Следователно удачно е промяната да стане след около 5,6 месеца.

 

16.1. Алтернативна постановка 

Задава се X, оценява се Т*. Това означава:

• 
  Има се стара емисия:
  
• 
  Ако заменим след Х дни, кога ще сме на печалба от замяната?
  

Изразяваме Т*

Можем да обработим

а) Нека C_N (X)=100; ; C_s(0)=119,30; дни; X=3 месеца = 91

Следователно ако задържим старата емисия 3 месеца, и след това я заменим за емисия с характеристики на Е614 то печалбата ще ни е по-голяма след 75дни.

б) Нека прогнозната емисия има характеристики равни със старата, т.е C_s(0)=C_N(X) и .

Следователно

За =15, X=91дни резултата е

Следователно ако 3 месеца сме със стара емисия и сменим след 5,55 месеца то ще сме на печалба с новата емисия .

 16.2.Задача за минимизиране на периода  

Постановката на задачата е следната, фиг.16.2:

В момента t=0 притежаваме емисия ценни книжа, наречена стара. Приходът от нея расте линейно.

където N_s – закупеният номинал;

Очаква се емитиране на нова емисия в неизвестен момент Х. В този момент може да се закупи нова емисия държавни ценни книжа с характеристики и С_N(0) и . Съгласно зависимостта от т.2, след време Т* приходът П_N(t) от новата емисия ще се изравни и ще нараства по-бързо и ние сме на печалба от това, че имаме нова емисия.

Може ли така да определим момента Х, така че времето t=X++T* да е най-малко и следователно за най-кратко време ще имаме приход по-голям от смяната на старата с новата емисия.

Искаме

но от т.16.1 .

Следователно задачата е да се минимизира t по X

За целта се търси min на функция по скаларен аргумент X, без ограничения. Това е задача на безусловен екстремум.

Полага се

Следователно определя

или

или

Очевидно X тук може да приема и отрицателни стойности. Практическа полезност имат решенията само за X>0, тъй като X е време и то не може то да е отрицателно.

а) разглежда се случая на стара емисия

Допускат се характеристики на новата емисия С_N=974,29; , дни.

Следователно

Извод: Ако сега се разполага със стара емисия в момента t=0, то при прогнозираните характеристики на нова емисия трябва да се закупи новата след около 2 месеца. Тогава приходите от новата емисия ще са по-големи П_N от старите П_s в момента t=X++T*=57+15+T* или

б) разглежда се случая, когато характеристиките на старата и новата емисия са еднакви

Следователно  

или

Ако инвеститор разполага с Х средства, за да ги инвестира целесъобразно в държавни ценни книжа, може да се приложат следните правила:

1.      Да се закупи най-новопредлаганата емисия държавни ценни книжа, която има най-ниска стойност на цена “продава”. Точното състояние се дава от зависимостта

Cⁿ = цена продава в момента t₁.

Закупува се тази емисия, която за период (t₂,t₁) дава най-голямото отношение .

2.      Моделът на прогнозирането оценява след колко време се очаква поява на по-ефективна нова емисия с прогнозни характеристики, равни на последно емитираната емисия

3. Всяка нова емисия се оценява по модела на промяната

Ако се получи оценка t*, че новата емисия е по-доходна за следващ период ТПt*, то се прави продажба на старата и се закупува нова.

ЛИТЕРАТУРА: 

1.      Sharpe W. Portfolio theory and capital markets, Mc Graw-Hill, New York, London, Tokyo, 2000, p.316.

2.      Body, Kane, Marcus. Investments, Naturela, Sofia, 2000, p.906.

3.      Sharpe W., Alexander G., Bailey J. Investments. Prentice Hall, England Cliffs, New Jersey, 1999, 5 edition, p.1058.

4.      Фабоци Фрэнк. Управление инвестициями, перев. С англ., ИНФРА-М, Москва, 2000, стр.930.

5.      Дочев Д., Теория на риска, Варна, 1999, стр.75.

6.      Пътев Пл. Управление на портфейла, АБАГАР, В.Търново, 1996.

7.      Матеев М. Анализ и оценка на риска при избор на инвестиции, Унив. Издателство “Стопанство”, София, 2000, стр.223.