Лекция 10. Статистически анализ



Дата17.08.2018
Размер45.2 Kb.
ТипЛекция



ЛЕКЦИЯ 10. СТАТИСТИЧЕСКИ АНАЛИЗ


Спектрална плътност на мощноста

Ще дефинираме понятието спектрална плътност на мощноста (СПМ) или съкратено просто спектрална плътност (СП). Това понятие се дефинира като Фурие преобразование на корелационната функция R12() и се прилага обикновено за два едновременно протичащи стационарни процеса x1(t) и x2(t). Взаимната корелационна функция (ВКФ)на два такива процеса се определя от формулата:
(1)

Очевидно ВКФ се явява усредненото по време значение на произведението на първата функция умножена на втората функция, която е отместена във времето със време на задръжка .

И така взаимната спектрална плътност (ВСП) на два стационарни процеса се задава от формулата:

(2)
Сега можем да преминем към дискретния вариант на горните формули когато процесите са зададени в ограничен интервал от време Т и в n на брой дискретни точки разположени равноотстоящи на интервал Ts. Тогава формула (1) се трансформира в следния вид:


(3)
или в по-упростен вид:




(4)
Дискретизираната формула (2) има следния вид:



(5)
Ако сега заместим (4) в (5) и променим реда на сумирането можем да получим следната връзка между ВСП и резултатите /означени с у/ от процедурата fft:

(6)
където чертата отгоре означава комплексно спрегната стойност. Формула (6) може да се запише и по следния начин:

(7)
от което следва, че ВСП на два процеса, за всяка стойност на честотата, е равна на произведението на комплексния спектър на втория процес умножен на комплексно спрегнатото Фурие-изображение на първия процес на същата честота.



ФОРМИРАНЕ НА СЛУЧАЕН ПРОЦЕС

С помощта на филтър може да се формира случаен процес със зададена корелационна функция. Отначало генерираме нормално разпределен /Гаусов случаен процес/, след което пропускаме сигнала през филтър, чийто динамически свойства определят корелационната функция на резултатния случаен сигнал.



  1. Ще формираме два случайни Гаусови процеса x1(t) и x2(t), които се

отличават по времевата стъпка Ts, т.е по гъстотата на случайните пулсации.

Първият случаен процес формираме с командите както следва:

Ts=0.01; t=0:Ts:20; x1=randn(1,length(t));

plot(t,x1);grid

Вторият процес е следният:

Ts=0.001; t=0:Ts:20; x2=randn(1,length(t));

plot(t,x2);grid


  1. Ще създадем дискретен филтър от втори порядък със собствена честота

1Hz т.е. w0=2 и коефициент на затихване =0.05. За първия процес имаме:

Ts=0.01; t=0:Ts:20; x1=randn(1,length(t));omega0=2*pi; zeta =0.05; A=1; omegas=omega0*Ts;

a=[1+2*zeta*omegas+omegas^2, -2*(1+zeta*omegas), 1];

b=[A*2*zeta*omegas^2];

y1=filter(b,a,x1);

plot(t,y1); grid

За вторият процес само времевата стъпка е по-малка на порядък т.е. имаме:

Ts=0.001; t=0:Ts:20; x2=randn(1,length(t));omega0=2*pi; zeta =0.05; A=1; omegas=omega0*Ts;

a=[1+2*zeta*omegas+omegas^2, -2*(1+zeta*omegas), 1];

b=[A*2*zeta*omegas^2];

y2=filter(b,a,x2);

plot(t,y2); grid

Вижда се от получените графики, че и в двата случая на изхода на формиращия филтър се образуват случайни процеси с преобладаваща честота 1 Нz.

Фурие преобразование на случаен процес

Ще направим Фурие преобразование на първия случаен процес дефиниран в предишния параграф във вид на бял Гаусов шум със времева стъпка 0.01 и продължителност 100 с.

Ts=0.01; T=100; t=0:Ts:100; x1=randn(1,length(t));omega0=2*pi; zeta =0.05; A=1; omegas=omega0*Ts;

a=[1+2*zeta*omegas+omegas^2, -2*(1+zeta*omegas), 1];

b=[A*2*zeta*omegas^2];

y1=filter(b,a,x1);

plot(t,y1); grid

Ще изчислим Фурие-изображението (ФИ) на формирания случаен шум

като отчетем вече разгледаната процедура за отстраняване на преходните процеси и ще построим графика на модулите на ФИ и на СПМ.

%формираме честотните масиви

df=1/T; Fmax=1/Ts; f=-Fmax/2:df:Fmax/2;dovg=length(f);

%изчисляваме коригираните масиви на Фурие-изображенията

Fu1=fft(x1)/dovg; Fu2=fft(y1)/dovg;

Fu1p=fftshift(Fu1); Fu2p = fftshift(Fu2);

%изчисляваме модулите на Фурие-изображенията

A1=abs(Fu1p); A2 = abs(Fu2p);

%изчисляваме спектралната плътност

S1=Fu1p.*conj(Fu1p)*dovg; S2=Fu2p.*conj(Fu2p)*dovg;

%графики на бял шум

subplot(2,1,1); stem(f,A1); grid; subplot(2,1,2);stem(f,S1),grid

%графики на филтрирания нормален /Гаусов/ шум

c1=fix(dovg/2)-200; c2=fix(dovg/2)+200;

subplot(2,1,1); stem(f(c1:c2), A2(c1:c2)); grid;

subplot(2,1,2); stem(f(c1:c2), S2(c1:c2)); grid

В разгледания пример използвахме връзката между спектрална плътност и Фурие-изображение за да определим спектралната плътност на случаен процес. Обаче в MatLab (Signal Processing Toolbox) има процедура, която позволява директно да се определи СП на сигналите. Това може да стане с командата:

[S, f]=psd(x, nfft, Fmax);

Името на процедурата е абревиатура от psd =power spectral density, x е вектора, който задава поредицата от стойности на изследвания процес; nfft е броя на елементите на вектора x, които се обработват с процедурата fft; Fmax=1/Ts е честотата на дискретизация на сигнала; S е вектора който задава стойностите на спектралната плътност; f е вектора на честотите, за които са определени стойностите на спектъра. В общия случай дължината на последните два вектора е равна на nfft/2.

Ще демонстрираме процедурата psd() за намиране спектъра на плътноста на същия случаен процес както в предишния пример, с доминираща честота 1 Нz.

%формираме случаен процес със нормално разпределение

Ts=0.01; T=100; t=0:Ts:100; x1=randn(1,length(t));omega0=2*pi; zeta =0.05; A=1; omegas=omega0*Ts;

a=[1+2*zeta*omegas+omegas^2, -2*(1+zeta*omegas), 1];

b=[A*2*zeta*omegas^2];

y1=filter(b,a,x1);

%формираме честотния вектор

df=1/T; Fmax=1/Ts; f=-Fmax/2:df:Fmax/2;dovg=length(f);

%прилагаме процедурата psd()

[S,f]=psd(y1,dovg, Fmax);

%извеждаме резултат графично

stem(f(1:200), S(1:200)), grid

Ако приложим същата процедура без да присвоим върнатия резултат на изходен вектор автоматично ще се изведе графика на СП, като значенията на спектъра се извеждат в логаритмичен мащаб в децибели. Пробвайте следната команда на командната линия на МatLab:

psd(y1, dovg, Fmax)

Корелационни функции

Процедурата xcorr() позволява да се изчисляват както взаимната корелационна функция (ВКФ ) на два процеса така и автокорелационната функция (АКФ) на един процес. Ако x и у са векторите с дължина n на два процеса то командата c=xcorr(x,y); позволява да се изчисли вектора c на ВКФ с дължина 2n-1.

Нека като пример изчислим АКФ на разглеждания вече случаен процес y1:

R=xcorr(y1); tau=-10+Ts : Ts : 10; lt=length(tau);

s1r=round(length(R)/2)-lt/2;

s2r=round(length(R)/2)+lt/2-1;



plot(tau, R(s1r:sr2)); grid
Каталог: ~tank -> ComputerDataProcessing
~tank -> Програма за изчисляване на средна стойност
ComputerDataProcessing -> Лекция спектрален анализ на периодични процеси цел на спектралния анализ на сигналите е определянето на
ComputerDataProcessing -> Лекция Интерполация и прекарване на крива през точки
ComputerDataProcessing -> Лекция 5 Основни елементи на програмната среда matlab
ComputerDataProcessing -> Лекция Запознаване със средата на електронните таблици Excel. Работа с данни в работния лист. Въвеждане и използване на формули и функции. Равномерно и Гаусово (нормално) разпределения и основни статистически
ComputerDataProcessing -> Лекция Основи на линейната филтрация. Формиране на
ComputerDataProcessing -> Лекция №4. Апроксимация на зависимост между две величини (апроксимираща крива). Метод на най-малките квадрати. Линейна и квадратична регресия
ComputerDataProcessing -> Лекция Дискретни вероятностни разпределения. Биномно разпределение и разпределение на Поасон. Графични възможности в Excel


Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©obuch.info 2019
отнасят до администрацията

    Начална страница