Лекция 11 §11. Определен интеграл. Дефиниция на интеграла чрез интегрални суми

(11.26) .

Да положим

.

Функцията е определена в целия интервал , при което

,

за всяко , следователно , в частност . От друга страна

,

понеже , следователно , което дава

.

С това формулата (11.26) е доказана. ?

Пример 11.10. Да пресметнем интеграла

.

Полагаме , което дава и . Тук и , което дава и . Сега прилагаме формулата (11.26) и получаваме

,

.

При определяне на границите, за прегледност, можем да си послужим със следната таблица

(11.27) .

Този интеграл е несобствен, понеже подинтегралната функция не е ограничена в интервала на интегриране , тъй като (Рис. 11.5).

Рис. 11.5.

От друга страна, за всяко , , интегралът е добре определен, което дава основания да положим

.

В този случай казваме, че несобственият интеграл (11.27) има особеност в десния край на интервала. Лицето на неограничения трапец от рис. 11.5 се оказа крайно.

По същия начин можем да постъпим и с интеграла

(11.28) .

Този интеграл също е несобствен, тъй като подинтегралната функция не е ограничена в интервала на интегриране , тъй като . От друга страна, за всяко , , интегралът е добре определен, което дава основания да положим

.

В този случай несобственият интеграл (11.28) има особеност в левия край на интервала. И в двата случая казваме, че несобствените интеграли са сходящи, защото границите чрез която се определят техните стойности съществуват (и са различни от ). Несобственият интеграл с особеност в левия край на интервала

(11.29)

обаче е разходящ, тъй като границата чрез която се определя неговата стойност е ,

.

Един несобствен интеграл сходящ, когато въпросната граница не само съществува, но и е различна от . За интеграла (11.29) можем да напишем

понеже това се съгласува с направените досега определения за граници. Може да се случи даден несобствен интеграл е разходящ, понеже границата, с която се определя, не съществува.

Горните определения се съгласуват със случая, когато подинтегралната функция няма особеност, т.е. когато разглеждаме обичайния интеграл, който в контраст с термина "несобствен" можем да наречем условно "собствен". Наистина, нека функцията е ограничена и интегруема в интервала , , . Тогава, за всяко , , имаме

,

следователно

, аналогично .

Когато някоя от границите на интеграла е безкрайност, определението е аналогично. Например интегралът

(11.30)

е несобствен с особеност в десния край на интервала (Рис. 11.6).

Рис. 11.6.

,

което показва, че интегралът (11.30) е сходящ. Лицето на неограничения трапец от рис. 11.6 също се оказа крайно.

Аналогично се постъпва за интеграли, в които лявата граница е .

За всички разглеждани по-горе несобствени интеграли (11.27), (11.28), (11.29) и (11.30), подинтегралната функция имаше граница (крайна или безкрайна) в особения край. Дадените определения за несобствен интеграл остават същите и когато такава граница не съществува.

Несобственият интеграл се нарича абсолютно сходящ, когато е сходящ несобственият интеграл . Ако един несобствен интеграл е абсолютно сходящ, то той е сходящ. Обратното в общия случай не е вярно.

е сходящ, но не е абсолютно сходящ. Тук в левия край няма особеност, понеже подинтегралната функция има граница при (равна на ).

Несобствен интеграл, който е сходящ, но не е абсолютно сходящ, се нарича условно сходящ.

Абсолютно сходящите несобствени интеграли не се различават в основните си свойства от собствените интеграли. В рамките на една по-обща теория (интеграл на Лебег), между тях няма формални разлики. Условно сходящите несобствени интеграли обаче образуват самостоятелен клон на анализа, който не се явява частен случай на по-обща теория.

В много случаи е полезен следнят критерий за абсолютна сходимост.

Теорема 11.6 (Вайерщрас). Нека в интервала на интегриране да е изпълнено неравенството , при което несобственият интеграл (в крайни или безкрайни граници) е сходящ. Тогава несобственият интеграл е абсолютно сходящ. ■

Пример 11.12. Да изследваме за абсолютна сходимост интеграла

.

Тук за подинтегралната функция имаме оценка

, .

Ако в качеството на мажоранта положим функцията , ще получим, че интегралът е абсолютно сходящ, понеже интегралът е сходящ (неговата стойност е ).

Полезно допълнение на теоремата на Вайерщрас е следното

Твърдение 11.8. Нека в интервала на интегриране (краен или безкраен) е изпълнено . Тогава, ако интегралът е сходящ, то интегралът също е сходящ, следователно, ако интеграл е разходящ, то интегралът също е разходящ. ■

Ако подинтегралната функция е неотрицателна, то сходимостта и абсолютната сходимост означават едно и също. Условната сходимост е налице, когато подинтегралната функция си сменя знака по сложен начин.

Пример 11.13. С помощта на твърдение 11.1 можем да установим, че интегралът

е разходящ. Тук е налице неравенството

,

а интегралът от минорантата е разходящ.

Когато пресмятаме несобствени интеграли можем да използваме формулата на Нютон-Лайбниц, както и интегриране по части.

Пример 11.14. Да пресметнем несобствения интеграл

.

Имаме

,

понеже чрез правилото на Лопитал можем да пресметнем, че .

Прилага се също и техниката на смяна на променливите.

Пример 11.15. Да пресметнем интеграла

.

Полагаме , където . Тогава и . След заместване намираме

.

Несобственият интеграл

има особености и в двата края на интервала. За да установим неговата сходимост, го разделяме на два несобствени интеграла, всеки от които има само по една особеност,

.

В този случай интегралът е сходящ, понеже и двата несобствени интеграла и са сходящи (ако поне единият от тях беше разходящ, то и съставният интеграл щеше да е разходящ).

Най-важни за приложенията са несобствените интеграли, зависещи от параметър. Параметърът трябва да се схваща като друга променлива на подинтегралната функция. Да отбележим интегралите

- гама функция на Ойлер,

- бета функция на Ойлер,

които имат многобройни приложения. От огромно значение за моделирането в техническите науки е преобразуването на Лаплас

,

което е определено за всяка (интегруема във всеки интервал , ) функция , която удовлетворява изискване за ръст , , за някакви константи и . В такъв случай преобразуването на Лаплас е определено за всяко .