Лекция 2: т-тест за сравнение на средни и тестове за сравнение на пропорции Основни елементи на статистически анализ

• 
  популация:
  

• 
  извадка:
  

• 
  характеристика:
  

наблюдаваме X₁, X₂, X₃,.... X_n - н.е.р. N(μ,σ²);

• 
  статистически извод:
  

• 
  оценяване на средното кръвно налягане чрез доверителен интервал: където е процентил на стандартното нормално разпределение (z-score);
  
• 
  или тестване на хипотезата, че кръвното налягане е повишено:
  

• 
  ниво на грешката от първи род на статистическия извод: α (ниво на съгласие, significance level) е малко число в интервала (0,1), (1-α)100% се нарича ниво на доверие (confidence level).
  

1. Ще оценим средното кръвно налягане на пациентите от всяка група в началото на изпитанието чрез доверителен интервал.

2. Ще сравним кръвното налягане на пациентите от двете групи в началото на клиничното изпитание, за да се убедим, че няма систематични разлики.

3. Ще сравним намалението на кръвното налягане на пациентите от двете групи в края на клиничното изпитание, за да проверим дали лекарство В понижава кръвното налягане повече от лекарство А.

4. За всяка от двете групи поотделно ще тестваме дали приеманото лекарство има ефект. Ще използваме α=0.05.

5. За всяка от двете групи поотделно ще оценим средното намаление на кръвното налягане с 90% доверителен интервал.

6. Ще съставим 99% доверителен интервал за разликата на намаленията на кръвното налягане на двете групи.
Симулирани данни:

obs_num treatment bp_pre bp_post diff

1 A 151 139 12

2 A 162 149 13

3 A 162 128 34

4 A 142 131 11

5 A 158 148 10

6 A 142 124 18

7 A 140 141 -1

8 A 132 144 -12

9 A 164 142 22

10 A 148 122 26

11 B 150 130 20

12 B 145 135 10

13 B 146 117 29

14 B 142 136 6

15 B 145 129 16

16 B 146 134 12

17 B 138 109 29

18 B 147 139 8

19 B 151 129 22

20 B 162 139 23

1А.

2.

• 
  построяване на доверителни интервали и тестване на хипотези за една или две пропорции се прави по подобен начин на съответните процедури за средни;
  
• 
  честотни таблици (contingency tables) са таблици, които показват съвместните честоти на две или повече категорни променливи;
  
• 
  тестване на хипотези за две пропорции може да става чрез хи-квадрат тестове за асоциация в честотни таблици;
  
• 
  хи-квадрат тестовете се обобщават лесно за повече от две пропорции, за категорни променливи с повече от две категории и подредени данни;
  
• 
  хи-квадрат тестовете третират променливите симетрично;
  
• 
  алтернативни мерки на разлики от пропорции за две групи са относителeн риск (relative risk) и отношение на шансове/залози (odds ratio);
  
• 
  логистични и лог-линейни модели могат да се използват при моделиране на ефектите на много променливи.
  

X₁,…,X_n ~ н.е.р. Bernoulli(π), E(X_i)= π, Var(X_i)= π(1- π)

Нека p e наблюдаваната пропорция:

• 
  Асимптотично при големи n имаме, че
  
• 
  Доверителни интервали и тестване на хипотези се базират на тази апроксимация: доверителен интервал за :
  

• 
  Тестване на хипотези:
  

• 
  статистическите изводи са валидни за големи извадки, когато интервалът
  

• 
  корекция за непрекъcнатост (continuity correction) може да се използва при малки извадки. Софтуерни пакети добавят тази корекция автоматично.
  

p = 11 239/ 43 732 = 0.257;

SE = sqrt[(.257)(.743)/43732] = .002

.257 +/- 1.96 (.002) = (0.253, 0.261)

X_B1,…X_Bn2~ н.е.р. Bernoulli(π₂), E(X_Bi)= π₂, Var(X_Bi)= π₂(1- π₂)

Нека p₁ и p₂ са наблюдаваните пропорции:

• 
  доверителен интервал за разликата на двете пропорции:
  

• 
  Тестване на хипотеза за равенство на двете пропорции:
  

H₀: π₁ = π ₂

H₁: π ₁ > π ₂

p₁ = 11/31 = 0.35, p₂ =4/34 = 0.12, p = (4+11)/(34+31)=.23

z = (|0.35 - 0.12| - .5(1/34 + 1/31))/sqrt[0.23(0.77)(1/34+1/31)] =

0.20/0.10 = 2, p-value = .023.

CI: (0.35 - 0.12) +/- 1.96 sqrt[ (0.35)(0.65)/31 + (0.12)(0.88)/34] =

0.23 +/- 0.20 = (0.03,0.43).

Aспирин Плацебо Общо

Повишено налягане 4 11 15

Нормално налягане 30 20 50