Лекция №3: Динамика на непрекъснати среди

3.1. Баланс на импулса.

Предвид казаното по-горе, вторият закон на Нютон за постъпателното движение на разглеждания произволен материален обем V (Фиг. 3.1) има вида:

В лявата страна на ур. 3.1 стои изменението на импулса с времето, а в дясната страна стои сумата от масовата и повърхнинната сили действуващи върху обема V от непрекъснатата среда. По същество, ур. 3.1 е постулат, който изразява закона за баланса на импулса (ЗБИ; balance of linear momentum) в интегрална форма. За да получим локалната форма на този закон (вж. ур. 3.16 по-долу), нека най-напред да преобразуваме лявата страна на ур. 3.1. С помощта на ур. 1.21 получаваме:

където използвахме дефиницията на ускорението, a = dv/dt, както и уравнението за непрекъснатост, ур. 1.38. Предвид ур. 3.2, можем да представим ур. 3.1 във вида:

3.2. Тензор на напреженията.

Нека размерите на пирамидата ОАВС да са достатъчно малки, така че да можем да представим ур. 3.3 във вида:

Тук S_ABC е лицето на триъгълника АВС, и т.н.; използавли сме факта, че външните единични нормали към триъгълниците ОВС, ОАС и ОАВ са, съответно, векторите g₁, g₂, и g₃. Освен това, ако въведем означението S_ABC  S, имаме:

О сме използвали факта, че триъгълникът ОАВ е ортогонална проекция на триъгълника АВС върху координатната равнина х₁х₂ (Фиг. 3.2). Аналогично получаваме:

Като заместим ур. 3.5 и 3.6 в ур. 3.4, и разделим на S, получаваме:

Като следваща стъпка, извършваме граничен преход, при който равнината АВС се приближава към точката О (Фиг. 3.2). При този преход, пирамидата ОАВС ще се свива в точка, оставайки подобна сама на себе си, като нейният обем и повърхност ще клонят към нула: V0, S0. Ако а е дължината на страната АО, имаме V  a³, S  a², и тогава отношението V/A  a ще клони към нула при а0. Следователно, при разглеждания граничен преход дясната страна на ур. 3.7 клони към нула, и така получаваме:

Ако в последното равенство положим n = g_k, получаваме:

В дясната страна на ур. 3.8 заместваме , което води до:

Векторът напрежение може да се развие по компоненти: . Тогава, ур. 3.10 добива вида:

Тук и по долу използваме правилото на Айнщайн, т.е. подразбираме сумиране по повтарящите се индекси. Teнзорът на напреженията се дефинира както следва:

Тогава, ур. 3.11 се записва в компактен вид:

Физическият смисъл на компонентите _ik на тензора на напреженията, , е илюстриран на Фиг. 3.3. С помощта на ур. 3.13 и теоремата на Гаус-Остроградски получаваме:

Комбинирането на ур. 3.3 и 3.14 дава:

Поради това, че изборът на обема V е произволен, подинтегралният израз в ур. 3.15 трябва да бъде равен на нула:

И така, получихме търсената локална форма на закона за баланса на импулса.

Фиг. 3.3. Посока на действие на деветте компоненти на тензора : Първият индекс съвпада с номера на оста, която е перпендикулярна на съответната страна; вторият индекс отговаря на номера на оста, по която е насочена съответната сила.

където r е радиус-вектор (сравни с ур. 3.1). В лявата страна на ур. 3.17 стои изменението на момента на импулса с времето, а двата интеграла в дясната страна изразяват моментите на масовата и повърхнинната сили действуващи върху обема V.. По същество, ур. 3.17 е постулат, който изразява закона за баланса на момента на импулса (ЗБМИ; balance of angular momentum) в интегрална форма. За да получим локалната форма на този закон (вж. ур. 3.23 по-долу), нека най-напред да преобразуваме лявата страна на ур. 3.17. С помощта на ур. 1.21 получаваме:

Под знака на последния интеграл, вторият член е равен на нула, понеже v = dr/dt и vv = 0 а третият член същто е нула предвид уравнението за непрекъснатост, ур. 1.38. Така, използвайки дефиницията на ускорението, a = dv/dt, привеждаме ур. 3.18 във вида:

Oт ур. 3.13 следва:

По-нататък, с помощта на ур. 3.20 и теоремата на Гаус-Остроградски получаваме:

Заместването на ур. 3.19 и 3.21 в ур. 3.17 дава:

Поради това, че изборът на обема V е произволен, подинтегралният израз в ур. 3.22 трябва да бъде равен на нула:

Тук _jkh e символът на Леви-Чивита. Като заместим ур. 3.24 в ур. 3.23 и прегрупираме членовете, получаваме:

Поради ЗБИ (ур. 3.16), лявата страна на ур. 3.25 е равна на нула, и така получаваме:

Понеже символът _jkh e антисиметричен по всяка двойка от индексите си (при размяната им _jkh сменя знак), от ур. 3.26 следва че тензорът _hk e симетричен. Това може да се докаже като умножим ур. 3.26 по _jmn със сумиране по j:

С други думи,

т.е. от ЗБМИ следва, че тензорът на напреженията трябва да бъде симетричен. Това общо свойство на тензора трябва да се удовлетворява от различните реологични модели н непрекъснати среди, вж. лекция № 4. [Трябва да отбележим, че някои специални неизотропни среди (например течни кристали), т. нар. континууми на Косерá (Cosserat), се характеризират с обемна плътност на вътрешни моменти, което води до появата на допълнителен член в ур. 3.17, и тогава тензорът не е симетричен.]

Лекция № 4: Реология на непрекъснати среди

4.1. Предмет на реологията. За да можем да дадем количествено описание на движението в една непрекъсната среда, необходимо е в баланса на импулса, ур. 3.16, да въведем допълнителна информация за силите (напреженията) действуващи в тази среда, т.е. за тензора на напреженията . Напреженията в непрекъснатите среди се пораждат от деформациите в тях. Реологията е област от механиката на непрекъснатите среди, която се знимава с връзките между напрежения и деформации. Названието „реология” идва от гръцките думи  = течение  = учение, наука. В общия случай, тензорът се представя като функция на тензорите на деформацията, , и на скоростта на деформация, :

(реологично съотношение) (4.1)

Всяка конкретна форма на връзката съответствува на даден реологичен модел като, например, моделите на идеално еластично твърдо тяло, идеален флуид, вискозен флуид, виско-еластично тяло и др., за които ще стане дума по долу. Връзката се нарича реологично съотношение за въпросната непрекъсната среда (constitutive relation). Всеки от реологичните модели има приложимост към определен клас системи и процеси, но има други системи и процеси които излизат извън рамките на неговата приложимост. Така например, капилярните вълни върху течна повърхност се описват успешно с модела на идеален флуид, докато адекватното описание на движението на сферична частица в течност изисква да се използва по сложният модел на вискозен флуид.

Тук  и  са коефициенти на пропорционалност, които се наричат коефициенти на Ламè. Така, при деформация на изотропно разширение = 0, и тогава . От друга страна, при деформация на прехлъзване имаме , и тогава . По тази причина,  се нарича коефициент на еластичност при разширение, а  се нарича коефициент на еластичност при прехлъзване.

Като заместим от ур. 2.20 в ур. 4.42, получаваме:

(4.3)

По нататък, като имаме предвид, че

получаваме:

Заместването на ур. 4.5 в закона за баланса на импулса, ур. 3.16, дава:

(Използвахме факта, че ускорението е a = d²u/dt².) Ур. 4.6 се нарича уравнение на Навиè в теорията на линейната еластичност по името на френския учен Claude-Louis Navier, 1785-1836. През 1821 г., Навиè пръв е формулирал линейната връзка между напрежения и деформации (ур. 4.2) и е извел уравнение аналогично на ур. 4.6. Решението на ур. 4.6, u = u(r,t), описва деформациите в идеалното твърдо тяло. Като използваме тъждеството

можем да преобразуваме ур. 4.6 във вида

За отбелязване е, че понякога се дефинира друг коефициент на еластичност, , такъв, че , и тогава ур. 4.8 добива вида:

Обаче, предвид казаното по горе, не е чист коефициент на еластичност при разширение, но съдържа и принос от еластичността при прехлъзване.

(Blaise Pascal, 1623–1662, бележит френски математик, физик и филисоф). Уравнение 4.9 съответствува на изотропно налягане; величината р се нарича скаларно налягане. Диференцирането на ур. 4.9 дава:

Като заместим ур. 4.10 в баланса на импулса, ур. 3.16, получаваме:

(Leonhard Euler, 1707–1783, бележит швейцарски математик и физик, прекарал голяма част от живота си в Санкт Петербург, Русия). Уравнението на Ойлер е основа на механиката на идеалните флуиди. Един флуид има поведение на идеален ако движението е достатъчно бавно, или ако вътрепното триене в него е много малко. Може да се докаже, че при обтичане от идеален флуид телата не изпитват съпротивление и отсъствува подемна сила (която поддържа птиците и самолетите във въздуха). За количествено описание на последните ефекти трябва да се отчита вътрешното триене във флуидите, т.е. техният вискозитет.

Тук e тензорът на скоростта на деформация, а е неговият девиатор; вж. ур. 2.23. При мали скорости, v0, имаме 0 и следователно ур. 4.12 се свежда до реологичното съотношение за идеален флуид, ур. 4.9. Последните два члена в ур. 4.12 са аналогични на дясната страна на ур. 4.2, с единствената разлика, че вместо тензора на деформацията, , стои тензорът на скоростта на деформация, . Аналогично на еластичностите на разширение и прехлъзване,  и  в ур. 4.2, коефициентите  и  в ур. 4.12 се наричат коефициенти на вискозитет, съответно, при разширение и прехлъзване (dilatational and shear viscosity). Уравнение 4.12 изразява напреженията в един вискозен флуид като линейна комбинация от компонентите на тензора на скоростта на дефирмация. (Има и по-сложни, нелинейни модели на вискозни флуиди, които се наричат ненютонови флуиди.) За един нютонов вискозен флуид, за който реологичното съотношение сe задава от ур. 4.12, по дефиниция се приема, че коефициентите  и  са константи. Предвид ур. 4.2 и 4.12, аналогичните величини при еластични и вискозни непрекъснати среди са както следва:

По аналогия с извода на ур. 4.5 и 4.10, може да се докаже, че диференцирането на ур. 4.12 дава:

Първият член в дясната страна на ур. 4.14 е аналогичен на ур. 4.10, а последните два члена в ур. 4.14 могат да се получат, като извършим формална смяна на величините в ур. 4.5 в съответствие с ур. 4.13. Накрая, като заместим от ур. 4.14 в баланса на импулса, ур. 3.16, получаваме:

(George Gabriel Stokes, 1819–1903, британски математик и физик). Тук използвахме факта, че ускорението е a = dv/dt. Като изключим члена със скаларното налягане, р, уравнението на Навие-Стокс, ур. 4.15, е аналогично по форма на уравнението на Навие за еластично тяло, ур. 4.6. Напомняме, че съгласно ур. 1.13, ускорението се представя във вида:

За несвиваеми среди, каквито са течностите, имаме div v = 0, и тогава последният член в ур. 4.15 отпада. Остава само членът съдържащ вискозитета при прехлъзване, , който е конвенционалният вискозитет на течностите; измерва се, например, с капилярен вискозиметър. При течности, вискозитетът при разширение , известен още като „втори вискозитет”, играе роля при затихването на звукови вълни, които физически представляват вълново движение състоящо се от локално свиване и разширение на флуида. За течности, двата вискозитета,  и , са близки по големина.

Ур. 4.17 представя тензора на напреженията, , като линейна комбинация от компонентите на тензорите на деформацията и на скоростта на деформация, и , т.е. отново имаме работа с линеен модел. Коефициентите , , , и  имат същия смисъл както преди. Накрая, като пресметнем от ур. 4.17 и заместим резултата в баланса на импулса, ур. 3.16, получаваме едно уравнение, което може да се разглежда като комбинация от ур. 4.6 и 4.15:

Следва да отчетем още, че скорстта е v = du/dt.