Лекция 5 линейни и векторни пространства Линейни пространства
Изтегляне 0.55 Mb.
|
- Навигация на страницата:
- Пример 5.1.
- Пример 5.2.
- Пример 5.3.
- Определение 5.2.
- Пример 5.4.
- Пример 5.5.
| Лекция 5
§5. Линейни и векторни пространства 1. Линейни пространства. Едно множество  се нарича линейно пространство над числовото поле , когато в него са определение двете линейни операции събиране и умножение с число. По аналогия с геометричните вектори, е удобно елементите на линейното пространство да наричаме вектори, а числата от полето – скалари. Събирането означава, че за всеки два вектора е определена тяхната сума . Умножението със скалар означава, че са всеки вектор и всяко число е определено произведението , при което по определение са налице следните естествени и очаквани свойства.
1) За всеки два вектора и е изпълнено – комутативност на събирането.
2) За всеки три вектора , и е изпълнено – асоциативност на събирането.
3) Съществува нулев вектор такъв, че за всеки вектор е изпълнено .
4) За всеки вектор съществува противоположен вектор , за който .
5) За всеки вектор е изпълнено .
6) За всеки две числа и и всеки вектор е изпълнено .
7) За всяко число и всеки два вектора и е изпълнено .
8) За всеки две числа и и всеки вектор е изпълнено .
Пример__5.2.'>Пример__5.1.'>Пример 5.1. Линейно пространство е множеството на всичките еднотипни матрици . Тук нулевият елемент е нулевата матрица.
Пример 5.2. Специфичен пример за линейно пространство получаваме ако разгледаме полиномите от ред не по-висок от с коефициенти от полето .
Пример 5.3. От особена важност е линейното пространство на геометричните вектори, за което ще стане дума по нататък. Наличието на асоциативност и комутативност при събирането дава основание да разглеждаме следния сбор на повече от две събираеми Векторът Нека .
Определение 5.1. Казва се, че векторите , , ..., са линейно независими (образуват линейно независима система), ако равенството е възможно, единствено когато всичките коефициенти на тази линейна комбинация са нули, . Казва се, че векторите , , ..., са линейно зависими, когато не са линейно независими.
От горното определение следва, че векторите Твърдение 5.1. Нека системата вектори , , ..., е линейно независима. Тогава всяка нейна подсистема , , ..., също е линейно независима. Следователно, ако една система от вектори притежава линейно зависима подсистема, то тя също е линейно зависима.
Доказателство. Без ограничение на общността можем да предположим, че подсистемата се състои от първите вектора , , ..., и да разгледаме една тяхна линейна комбинация, която дава нулевия вектор, . Тогава, ако добавим и останалите вектори с множители нула, получаваме линейната комбинация
.
Системата От твърдение 5.1 следва, че една линейно независима система не може да съдържа нулевия вектор и обратно, ако един от векторите на системата е нулевият, то системата е линейно зависима.
има поне един ненулев коефициент, например коефициентът пред Най простият случай на линейно пространство Ако Твърдение 5.3. Нека в линейното пространство могат да се намерят на брой вектори , , ..., такива, че всеки вектор може да се представи като тяхна линейна комбинация. Тогава . Ако освен това , , ..., са линейно независими, то . ■
Пример__5.4.'>Пример 5.4. Линейното пространство на еднотипните матрици е крайномерно и има размерност , понеже всяка такава матрица може да се запише като линейна комбинация
,
където Пример 5.5. Линейното пространство на полиномите от ред не по-висок от с реални или комплексни коефициенти също е крайномерно и има размерност , понеже всеки такъв полином
може да се схваща като линейна комбинация на елементарните полиноми Нека Ползата от понятието базис се показва добре от следната Теорема 5.1. Нека векторите , , ..., образуват базис в крайномерното линейно пространство , . Тогава всеки вектор може да се представи при това по единствен начин като линейна комбинация на базисните вектори,
(5.1) Доказателство. Векторите , , , ..., са на брой, следователно са линейно зависими и съществува тяхна линейна комбинация
,
където поне един от коефициентите .
Да предположим сега, че имаме две представяния и .
Тогава след почленно изваждане на двете равенства намираме ,
което отново поради линейната независимост ма базисните вектори е възможно, единствено когато ,
което означава, че представянето е единствено. ■ Нека векторите Непосредствено се проверява, че линейните операции събиране и умножение със скалар могат да бъдат извършени върху координатите на участващите вектори. Ако , т.е.
и
то
следователно ,
следователно Каталог: NVUMathLectures NVUMathLectures -> §16. Задачи от пресмятане на вероятности Съдържание NVUMathLectures -> Задачи от степенни редове Съдържание NVUMathLectures -> Лекция 29 §29. Системи диференциални уравнения Нормални системи оду NVUMathLectures -> Лекция 4 системи линейни уравнения Ранг на матрица. Теорема за базисния минор NVUMathLectures -> Задачи от пресмятане на детерминанти Съдържание NVUMathLectures -> Курсова работа по висша математика 1 за студенти задочно обучение NVUMathLectures -> Лекция 19 §19. Случайни величини Определения и примери NVUMathLectures -> Лекция 1 комплексни числа и полиноми Определение и аритметични операции NVUMathLectures -> Задача Намерете производните на следните функции а б в г д е ж Изтегляне 0.55 Mb. Сподели с приятели:
|