Лекция 5 линейни и векторни пространства Линейни пространства



страница1/4
Дата10.02.2018
Размер0.55 Mb.
  1   2   3   4
Лекция 5

§5. Линейни и векторни пространства

1. Линейни пространства. Едно множество се нарича линейно пространство над числовото поле , когато в него са определение двете линейни операции събиране и умножение с число. По аналогия с геометричните вектори, е удобно елементите на линейното пространство да наричаме вектори, а числата от полето – скалари. Събирането означава, че за всеки два вектора е определена тяхната сума . Умножението със скалар означава, че са всеки вектор и всяко число е определено произведението , при което по определение са налице следните естествени и очаквани свойства.

1) За всеки два вектора и е изпълнено – комутативност на събирането.

2) За всеки три вектора , и е изпълнено – асоциативност на събирането.

3) Съществува нулев вектор такъв, че за всеки вектор е изпълнено .

4) За всеки вектор съществува противоположен вектор , за който .

5) За всеки вектор е изпълнено .

6) За всеки две числа и и всеки вектор е изпълнено .

7) За всяко число и всеки два вектора и е изпълнено .

8) За всеки две числа и и всеки вектор е изпълнено .

Пример 5.1. Линейно пространство е множеството на всичките еднотипни матрици . Тук нулевият елемент е нулевата матрица.

Пример 5.2. Специфичен пример за линейно пространство получаваме ако разгледаме полиномите от ред не по-висок от с коефициенти от полето .

Пример 5.3. От особена важност е линейното пространство на геометричните вектори, за което ще стане дума по нататък.

Наличието на асоциативност и комутативност при събирането дава основание да разглеждаме следния сбор на повече от две събираеми , при който е без значение редът на извършване на отделните събирания, както и самият ред на събираемите.

Векторът , където , , ..., са числа, се нарича линейна комбинация на векторите , , ..., . Едно линейно пространство съдържа всевъзможните линейни комбинации на своите вектори.

Нека е линейно пространство, а е някакво линейно пространство, което е подмножество на . Тогава се казва, че е линейно подпространство на . Например линейната обвивка на векторите , , ..., , която се състои от всичките техни линейни комбинации е едно линейно подпространство на ,



.

Определение 5.1. Казва се, че векторите , , ..., са линейно независими (образуват линейно независима система), ако равенството е възможно, единствено когато всичките коефициенти на тази линейна комбинация са нули, . Казва се, че векторите , , ..., са линейно зависими, когато не са линейно независими.

От горното определение следва, че векторите , , ..., са линейно зависими тогава и само тогава, когато може да се намерят числа , , ..., , поне едно от които различно от нула, за които съответната линейна комбинация дава нулевия вектор, . Един вектор е линейно независими (зависим) тогава и само тогава, когато е различен (равен) на нулевия вектор.



Твърдение 5.1. Нека системата вектори , , ..., е линейно независима. Тогава всяка нейна подсистема , , ..., също е линейно независима. Следователно, ако една система от вектори притежава линейно зависима подсистема, то тя също е линейно зависима.

Доказателство. Без ограничение на общността можем да предположим, че подсистемата се състои от първите вектора , , ..., и да разгледаме една тяхна линейна комбинация, която дава нулевия вектор, . Тогава, ако добавим и останалите вектори с множители нула, получаваме линейната комбинация

.

Системата , , ..., е линейно независима и следователно последното равенство е възможно, единствено когато . Направеното разсъждение показва, че подсистемата също е линейно независима. ■

От твърдение 5.1 следва, че една линейно независима система не може да съдържа нулевия вектор и обратно, ако един от векторите на системата е нулевият, то системата е линейно зависима.

Твърдение 5.2. Системата вектори , , ..., е линейно зависима тогава и само тогава, когато някой от векторите може да се изрази като линейна комбинация на останалите.

Доказателство. 1) Нека системата е линейно зависима. Тогава съществува линейна комбинация , при което поне един от коефициентите е различен от нула. Без ограничение на общността да предположим, че . Сега непосредствено се получава, че векторът е следната линейна комбинация на останалите вектори

.

2) Сега да предположим, че някой от векторите, например , може да се запише като линейна комбинация . Тогава линейната комбинация

има поне един ненулев коефициент, например коефициентът пред е равен на , което по определение означава, че системата е линейно зависима. ■

Най простият случай на линейно пространство е когато то съдържа само нулевия вектор, . Ако , то съдържа линейно независими системи с някакъв брой вектори. Например всеки ненулев вектор сам образува линейно независима система.

Определение 5.2. Казва се, че линейното пространство е крайномерно и има размерност , когато могат да се намерят някакви на брой линейно независими вектори и всяка система от на брой вектори е линейно зависима. Ако за всяко може да се намери линейно независима система от на брой вектори, то пространството се нарича безкрайномерно, .

Ако , то полагаме по целесъобразност . Съгласно твърдение 5.1, ако е крайномерно и , то не само всяка система от на брой вектори е линейно зависима, но всяка система от и повече на брой вектори е линейно зависима. От определението непосредствено следва верността на



Твърдение 5.3. Нека в линейното пространство могат да се намерят на брой вектори , , ..., такива, че всеки вектор може да се представи като тяхна линейна комбинация. Тогава . Ако освен това , , ..., са линейно независими, то . ■

Пример 5.4. Линейното пространство на еднотипните матрици е крайномерно и има размерност , понеже всяка такава матрица може да се запише като линейна комбинация

,

където е матрица, чийто елемент в ред и стълб е равен на , а всички останали елементи са нули и освен това тези матрици са линейно независими.



Пример 5.5. Линейното пространство на полиномите от ред не по-висок от с реални или комплексни коефициенти също е крайномерно и има размерност , понеже всеки такъв полином

може да се схваща като линейна комбинация на елементарните полиноми , , които са на брой и освен това са линейно независими.

Нека е крайномерно и има размерност . Тогава по определение във може да се намери поне една система от на брой линейно независими вектори.

Определение 5.3. Всяка система от на брой линейно независими вектори във крайномерното линейно пространство с размерност се нарича базис във .

Ползата от понятието базис се показва добре от следната



Теорема 5.1. Нека векторите , , ..., образуват базис в крайномерното линейно пространство , . Тогава всеки вектор може да се представи при това по единствен начин като линейна комбинация на базисните вектори,

(5.1) .



Доказателство. Векторите , , , ..., са на брой, следователно са линейно зависими и съществува тяхна линейна комбинация

,

където поне един от коефициентите , , , ..., е различен от нула. Ако допуснем, че , то получим противоречие с линейната независимост на базисните вектори, следователно , откъдето намираме



.

Да предположим сега, че имаме две представяния



и .

Тогава след почленно изваждане на двете равенства намираме



,

което отново поради линейната независимост ма базисните вектори е възможно, единствено когато



,

което означава, че представянето е единствено. ■

Нека векторите , , ..., образуват базис. Съгласно теорема 5.1 всеки вектор се идентифицира еднозначно чрез своите коефициенти , , ..., в линейната комбинация (5.1), които се наричат още координати на вектора в дадения базис. Пишем или .

Непосредствено се проверява, че линейните операции събиране и умножение със скалар могат да бъдат извършени върху координатите на участващите вектори. Ако



, т.е.

и

, т.е. ,

то

,

следователно и



,

следователно .


  1   2   3   4


База данных защищена авторским правом ©obuch.info 2016
отнасят до администрацията

    Начална страница