Лекция 5 линейни и векторни пространства Линейни пространства

Два ненулеви геометрични вектора се наричат ортогонални, когато сключват прав ъгъл. По определение нулевият вектор е ортогонален на всеки друг.

По нататък навсякъде ще предполагаме, че е зададена декартова координатна система с ортонормиран базис от единичните вектори , , . По определение , , , (рис. 5.12). Да разгледаме векторите и , зададени чрез техните координати в базиса , , , и . Съгласно формулата (5.5) за взаимните скаларни произведения на базисните вектори намираме и , следователно

(5.5)

Последната формула показва, че скаларното произведение се изразява по твърде лесен начин като сума от произведенията на съответните координати в даден ортонормиран базис и по този начин обосновава предимството на такива базиси. Ако базисът не беше ортонормиран, то формулата (5.5) щеше в общия случай да съдържа девет събираеми. Например ако са дадени векторите и , то за тяхното скаларно произведение намираме .

(5.6) .

Да разгледаме точките и са зададени чрез техните координати. Тогава за дължината на вектора получаваме

(5.7) .

(5.8) .

В частност векторите са ортогонални тогава и само тогава, когато .

Направляващи косинуси. Да разгледаме ненулевия вектор . По определение базисните вектори имат следните координати, , и . Нека , и са ъглите, които сключва със съответните базисни вектори (рис. 5.13).

Рис. 5.13.

Тогава съгласно (5.8) намираме

,

,

,

откъдето веднага може да се провери, че

(5.9)

Формулите (5.5), (5.6), (5.7), (5.8), (5.9) както и формулите за направляващите косинуси се променят по очевиден начин, когато разсъжденията се провеждат в равнината. За да получим техния равнинен еквивалент е достатъчно да отстраним събираемите, които съдържат третия индекс.

5. Векторно произведение. Нека и са два вектора в пространството. Тяхното векторно произведение винаги се определя като вектор с дължина , където е ъгълът между тях, . От това определение се вижда, че е нулевият вектор тогава и само тогава, когато или или , което означава, че и са колинеарни. Нека и са неколинеарни (всеки от тях е ненулев и не са успоредни). Тогава тяхното векторно произведение се определя като единственият вектор в пространството, който притежава следните свойства (рис. 5.14).

1) .

2) Векторът е ортогонален на и .

3) Векторите , и в този ред образуват дясна тройка.

Рис. 5.15.

Ако приложим векторите и в една точка, то те определят единствена равнина . Дължината на векторното произведение по определение е лицето на пространствения успоредник от равнината , породен от и , освен това векторът е перпендикулярен на равнината . Условията дотук определят точно два вектора, със зададена дължина и перпендикулярни на дадена равнина. Третото условие, векторите , и в този ред да образуват дясна тройка, определя вече еднозначно.

Векторното произведение притежава следните основни свойства, които лесно се проверяват непосредствено от дадените определения.

Да разгледаме векторите и , зададени чрез техните координати в базиса , , , при което допълнително предполагаме, че координатната система е положително ориентирана, което означава, че базисните вектори , , , взети в този ред, образуват дясна тройка. Да намерим векторното произведение . По определение е единственият вектор с дължина , който е ортогонален едновременно на и , следователно . Аналогично се установява, че взаимните векторни произведения на тези вектори имат вида

Горната таблица може да се запомни по следния начин. Във редицата , , , , , векторното произведение на всеки два поредни вектора е равно на вектора след тях и освен това векторното произведение на всеки вектор със себе си дава нулевият вектор, а смяната местата на векторните множители променя единствено знака на произведението. Пресмятаме

По този начин векторното произведение може да се разглежда като стойността на формалната детерминанта

(5.10) ,

в първия ред на която стоят базисните вектори, във втория ред стоят координатите на левия векторен множител, а в третия ред стоят координатите на десния векторен множител, която детерминанта пресмятаме по адюнгираните количества на първия ред.

Векторното произведение може да се използва за намиране лицето на пространствен успоредник, ако са известни векторите на две негови съседни страни.

следователно

откъдето за търсеното лице намираме формулата

(5.11) .

Да разгледаме сега равнинния триъгълник с върхове точките , и , зададени чрез своите координати в декартовата координатна система с ортонормиран базис и . Тази равнина можем да разглеждаме като координатна равнина в пространствената декартова координатна система с ортонормиран базис , и , при което върховете на триъгълника ще имат координати , и . Сега от (5.11), за лицето на триъгълника получаваме формулата

(5.12) .

6. Смесено произведение. Смесено произведение на трите пространствени вектора , и се нарича числото, което се получава от скаларното произведение на вектора с вектора

.

Да разгледаме векторите , и , зададени чрез техните координати в базиса , , (координатната система се предполага положително ориентирана). Съгласно формулата (5.10) и правилото за пресмятане на скаларно произведение на вектори с известни координати (в ортонормиран базис), за смесеното произведение намираме

следователно смесеното произведение се изчислява като сбор на произведенията на адюнгираните количества на първия ред с координатите на вектора , от което веднага следва, че смесеното произведение е стойността на детерминантата

което може да се запише по естествен начин като

(5.13) .

От (5.13) следват всичките основни свойства на смесеното произведение.

което от своя страна е налице тогава и само тогава, когато между редовете на тази детерминанта има линейна зависимост. Но всяка линейна зависимост между редовете на детерминантата задава същата линейна зависимост между векторите , и . ■

Рис. 5.15.

Да положим . Тогава за обема на паралелепипеда знаем формулата , където е неговата височина, която е равна на абсолютната стойност на алгебричната проекция на вектора върху оста на вектора . По тази причина , където е ъгълът между векторите и , . Следователно за обема на паралелепипеда получаваме , което според геометричното определение за скаларно произведение представлява абсолютната стойност на скаларното произведение на векторите и , откъдето, въз основа на геометричното определение за смесено произведение намираме, че търсеният обем се изразява посредством формулата

(5.14) .

Понякога е удобно да се говори за ориентиран обем на паралелепипед, построен върху векторите , и , който се определя като стойността на смесеното произведение .

Обем на тетраедър. Да разгледаме тетраедъра с върхове , , и . Неговият обем е една шеста част от обема на съответния паралелепипед, построен върху векторите

,

,

.

Сега от формулата (5.14) за обем на паралелепипед намираме