Лекция 6 уравнения на права и равнина Уравнение на права в равнината

Нека е дадена правата (рис. 6.1). Тя определя единствена права през началото на координатната система, която е перпендикулярна на , , . Да означим с пресечната точка на и , , и нека е единичен вектор по направлението на вектора . Този нормален вектор има координати , където е ъгълът между оста и вектора , отчетен в положителна посока (посока обратна на движението на часовниковата стрелка).

Рис. 6.1.

Рис. 6.2. Нека е някаква точка от правата (текуща точка), с радиус вектор , . Правата се състои от точките , за които алгебричната проекция на радиус вектора върху оста е равна на , което с помощта на скаларно произведение можем да запишем като . Сега чрез правилото за пресмятане на скаларно произведение, за правата намираме следното координатно уравнение

което се нарича нормално уравнение на права, а векторът се нарича нормален вектор към правата , понеже сключва с правата прав ъгъл.

Една права напълно се определя от дадена точка , която лежи върху , , и даден нормален вектор , , (рис. 6.2.). Правата се състои от точките , за които векторите и сключват прав ъгъл. Тук и са радиус векторите на текущата точка и на дадената точка . Това условие с помощта на скаларно произведение записваме като

,

откъдето за правата намираме следното координатно уравнение

(6.1) .

Пример 6.1. Правата през точката с даден нормален вектор има уравнение

или .

Ако в (6.1) положим , то последното уравнение може да се запише във вида

което се нарича общо уравнение на права в равнината.

Вече се убедихме, че всяка права в равнината се задава чрез някакво общо уравнение от вида (6.1). Следващата теорема показва, че е вярно и обратното.

Теорема 6.1. Нека , и са числа такива, че или . Тогава съвкупността от точки в равнината, чиито координати удовлетворяват равенството

(6.2) ,

образуват някаква права .

Доказателство. Ако разгледаме (6.2) като система от едно уравнение с две неизвестни, то тази система съгласно теоремата на Кронекер-Капели е съвместима и неопределена, следователно има безбройно много решения. Нека и са някои (кои да е) две различни решения и да разгледаме точките и . Тези две точки са различни и по тази причина определят единствена права . Сега ще докажем, че всяка точка , чиито координати удовлетворяват равенството (6.2), лежи на същата права . За тази цел е достатъчно да се убедим, че векторите и са колинеарни. По условие имаме

Ако извадим почленно първото равенство от другите две получаваме

Последното може да се разглежда като хомогенна система от две уравнения с две неизвестни и , която система по условие има ненулево решение. Съгласно общите свойства на хомогенните системи, последното е възможно единствено когато нейната детерминанта е равна на нула,

което пък означава, че между редовете на детерминантата има линейна зависимост. Тези редове обаче са точно координатите на векторите и , следователно те са линейно зависими, което и трябваше да докажем. ■

В общото уравнение на права (6.1) винаги се изисква поне един от двата коефициента или да бъде различен от нула, което може да се запише . Когато пишем общо уравнение на права винаги ще подразбираме, че това условие е налице.

Нека е дадена права с общо уравнение . Тогава ненулевият вектор е нормален към правата. Наистина, нека и са някакви (кои да е) точки от , което означава, че

Като извадим първото уравнение от второто получаваме равенството

което показва, че векторите и са ортогонални. По този начин получихме, че така определеният вектор е ортогонален на всеки вектор с начало и край върху правата, което доказва твърдението.

Рис. 6.3.

Тогава векторът е нормален към правата, понеже скаларното произведение на и е нула, , и следователно търсеното уравнение може да бъде получено като уравнение на права през дадена точка и даден нормален вектор ,

.

Ако е даден един направляващ вектор за правата , то всеки друг вектор , който се получава от след умножение с число , също се явява направляващ за правата .

От друга страна, правата се състои от точките , за които векторът е колинеарен на вектора , което позволява да представим правата като , където е параметър, или

,

което се нарича векторно параметрично уравнение на правата . Записвайки последното в координатен вид намираме

което се нарича скаларно параметрично уравнение на . Точките от се получават при различните стойности на параметъра , който може да бъде всяко реално число.

Като елиминираме от последния запис параметъра , получаваме

,

което обосновава следния запис

който се нарича канонично уравнение на правата . В този запис знаменателите или могат да бъдат нули (но не и двата едновременно), което не е противоречие, понеже това не означава деление на нула.

Ако , то правата е успоредна на оста , ако , то правата е успоредна на оста . Нека не е успоредна на оста , т.е. . Тогава каноничното уравнение може да се преобразува във вида

което се записва по следния начин

Числото се нарича ъглов коефициент на правата . Другият параметър задава пресечната точка на с координатната ос (пресечната точка има координати ).

Преминаването към различните видове уравнения на една права се получава лесно въз основа на дадените определения.

Пример__6.2.'>Пример 6.2. Ако правата е дадена чрез своето канонично уравнение

,

то по условие имаме една точка , която лежи върху и един направляващ вектор , следователно скаларното параметрично уравнение на има вида

Един нормален вектор към тази права има координати , следователно общото уравнение на има вида

и канонично уравнение

откъдето лесно се намира и общото уравнение

Нека правата е определена от двете различни точки и и не се явява успоредна на координатната ос . Тогава и уравнението на може да се запише във вида

което показва, че правата има ъглов коефициент

Рис. 6.4.

От друга страна (рис. 6.4.) от правоъгълния триъгълник с хипотенуза се вижда, че

,

следователно за ъгловият коефициент имаме , където , , е ъгълът, който сключва правата с оста .

От горното разсъждение веднага се получава, че съотношението

,

задава уравнение на права , минаваща през дадена точка с даден ъглов коефициент .

Различаваме следните три основни взаимни разположения.