Лекция 9 Уравнения за движение на идеални течности Напрежения в идеалните течности

Идеална течност е течност, за която вътрешното триене и топлопроводността могат да бъдат пренебрегнати. Това значи, че липсват тангенциални напрежения и взаимодействието между отделните обеми флуид се осъществява само чрез нормални сили и напрежения.

или p_xy = p_yx = p_xz =p_zx = p_yz = p_zy = 0

Тогава уравненията за компонентите на напреженията (31) се записват по следния начин: p_nx = p_n.n_x; p_ny = p_n.n_y; p_nz = p_n.n_z

Ако се продължи опростяването на изразите може да се запише: p_nx = p_n.n_x = p_xx.n_x

Аналогично за другите две компоненти: p_n = p_xx; pn = p_yy ; pn = p_zz

Следователно, трите компоненти са равни помежду си и може да се въведе общо означение на налягането: p_xx = p_yy = p_zz = p_n = -p Поставя се знак “-“, защото с това означение се представя налягането с което флуида действа върху разглеждания обем (налягането, което уравновесява действащите в различно ориентираните площадки налягания). Горните равенства показват, че при движение на идеална течност нормалното напрежение (налягането) в дадена точка не зависи от направлението от площадката. То е насочено в обратна посока на външната нормала на площадката (затова има знак ‘-‘). Това е хидродинамично налягане и е скаларна величина.

Записано за оста х, основното уравнение (36) за движени има вида:

За идеални течности е в сила p_xy = p_xz = p_yz = 0 и p_xx = p_yy = p_zz = -p. Тогава горното уравнение приема вида:

и аналогично за уравненията по другите оси:

(46)

Във векторна форма тези уравнения се записват като:

При преход към хидростатиката (неподвижен флуид) скоростите на движение се нулират и се получава:

Това са уравненията на хидростатиката (5).

В общия случай скоростта зависи и от времето, и от пространствените координати:

В координатен вид с подробен запис на скоростта уравненията на Ойлер имат вида:

За интегрирането на тези уравнения трябва да се добавят начални и гранични условия.

Разглежда се лявата част на уравненията на Ойлер (47) – преобразованията се правят само за първото от уравненията, но по аналогия се пренасят и за другите уравнения от системата:

Към дясната част се прибавят и изваждат изразите: , с което не се променя стойността на общия израз;

.

Като се вземе пред вид, че:

и ,

се получава:

Общо за уравнението на Ойлер се получава:

Ако масовите сили X, Y, Z имат потенциал Ф, то:

Масовите сили са пример за потенциални сили.

Ако течността е несвиваема, то: и за горното уравнение се получава:

(48)

или във векторен вид:

Това е уравнението на Ойлер във форма на Громек

4. Интеграл на Коши-Лагранж и Бернули за потенциално движение

Ако в цялата област на течението , то съществува потенциал на скоростта φ: и

Тогава уравнението на Ойлер (във формата на Громек) приема вида:

.

Това означава, че производната по пространствената координата на израза в скобата е нула. Следователно този израз зависи само от времето и не зависи от координатите. Тогава решението на интегралът би следвало да изглежда по следния начин: , където се определя от граничните условия. Този интеграл се нарича интеграл на Коши-Лагранж.

Когато като масова сила действа само теглото, то

защото и за интеграла на Коши-Лагранж се получава:

(49)

В това уравнение има две неизвестни φ и p. За да се получи затворена система се добавя уравнението на непрекъснатостта , което във форма, записана с φ има вида:

От това уравнение може да се определи φ и скоростта V².

Тази стойност се замества в (49) и може да се определи p.

Ако движението е стационарно производната по времето в (49) е нула: . Тогава:

(50)

Този интеграл се нарича интеграл на Бернули, за потенциално стационарно течение на идеална течност.

При умножаване на (50) с ρ се получава уравнението на Бернули, в което отделните слагаеми са с размерност налягане:

, (51)

където р₀ е пълно налягане

ρgz- гравитационен напор (гравитационно налягане).

Ако се раздели уравнението на Бернули (49) на g се получава уравнение, в което размерността на отделните членове е дължина (напорна височина) – съответно пиезометрична, динамична и гравитационна височина (напор):

При отсъствие на масови сили интегралът на Бернули приема вида: