Математическата логика

Терминът логика има гръцки произход (от логос – дума, понятие, смисъл, разум ) и се използва за означаване на общите закономерности на света и мисленето. Математическата логика е наука за правилните математически разсъждения и изводи. Съвременната математическа логика започва своето развитие от трудовете на ирландския математик Джордж Бул (1815 – 1864 год.)

1. 
   Съждения
   

Пример 1 – Разсъждения

1 Две плюс две е равно на 4

2 Аз обичам информатиката, но нямам компютър

3 Днес е слънчево

4 “Ако загубя, губя само мене си”

5 Едно е по-голямо от две или две плюс две е равно на четири

Горните изречения са такива, че за съдържанието на всяко от тях може да се постави въпрос вярно ли е изказваното твърдение и да се очакват два възможни отговора – да (то е истина) или не (то е лъжа). Общото в тези изречения е, че те формулират твърдения, за които може да се проверява, дали са верни или не.

Изречение на естествен език, съдържанието на което може да се оценява като вярно или невярно (истина или лъжа), се нарича съждение.

Съдържанието на едно въпросително изречение не може да се оценява като вярно или невярно. По същия начин стои въпросът и с други изречения, които носят емоционален характер – заповедни, възклицателни и т.н. Следователно такива изречения не са съждения.

Пример 2 – Изречения, които не са съждения

1 Какво е времето навън ?

2 Ех, да ми дадат Солунската митница !

В някои случаи отговорът на въпроса дали са настъпили или не определени събития, дали са верни или не конкретни факти, не е известен. Така например в изречението “Не сме сами във вселената” се съдържа твърдение, за верността на което не може да се произнесем.

Логика, в която дадено съждение е или вярно, или невярно се нарича двоична (двузначна)логика.

Нека сравним структурата на изреченията-съждения 1 и 5 от пример 1. Вижда се, че съждение 1 е част от съждение 5. В този случай, когато едно съждение може да се разглежда, като съставено от други, верността на съставното (сложно) съждение ще зависи от истинността на неговите компоненти.

От друга страна някои съждения, например 1 и 3 са прости (елементарни) и не могат да се разглеждат като съставени от други. Едно съждение е просто, ако не може да се раздели на самостоятелни компоненти – съждения.

Пример 3 – Прости и сложни съждения

Простите съждения се формулират с помощта на прости изречения, а сложните със съставни. Важен въпрос, който възниква при образуването на сложни съждения от прости е какво може да се каже за верността на сложното съждение, ако е известна верността на съжденията компоненти.

Пример 4 – Образуване на сложни съждения

Съждение 2 се състои от две прости съждения : “Аз обичам информатиката” и “Нямам компютър”, свързани със знака “но”. Ако се абстрахираме от известния емоционален елемент в това “но”, всъщност става въпрос за съждението “Аз обичам информатиката И аз нямам компютър”, с което говорещия обявява, че едновременно са налице два факта – обича информатика и няма компютър.

Връзката между две прости съждения в горния пример е съюзът И, в който се влага определен смисъл, а именно – отношението И е вярно когато свързаните чрез него съждения са едновременно верни.

Съждение 5 се състои от две прости съждения. “Едно е по – голямо от две ” и “Две плюс две е равно на четири ”. Тук връзката между двете прости съждения е съюзът ИЛИ, в който се влага определен смисъл, а именно – отношението ИЛИ е вярно, когато поне едно от двете свързани чрез него съждения е вярно. Следователно съждение 5 е вярно.

За всяко съждение може да се образува неговото отрицание. Връзката между съждението и отрицанието му е, че ако едното от тях е истина, то другото не е и обратно. За образуване на отрицание на съждение в българския език, обикновено (но не винаги) се използва отрицателната частица НЕ, която се прибавя пред сказуемото. В говоримия език се използва и словосъчетанието “Не е вярно, че ....” или глагол антоним (мразя – обичам, губя, печеля и т.н.).

Пример 5 – Образуване на отрицания на съждения

1. 
   Отрицанието на съждението “Днес е слънчево” е съждението “Днес НЕ е слънчево”. Очевидно, когато едното от двете така образувани съждения е истина, другото ще бъде лъжа и обратното.
   
2. 
   Отрицание на съждението “Обичам разходките под дъжда” е например “Мразя разходките под дъжда”, но за еднообразие може да се използва “Не обичам разходките под дъжда”.
   

2. 
   Логически променливи и функции
   

x
0	1
1	0

a V

.

ЛОГИЧЕСКИ ФУНКЦИИ

Нека В е множество с 2 елемента, които условно означаваме с 0 и 1, т.е. В = {0.1}

Eлементите на В се наричат булеви константи (логически, двоични) - приема стойности само истина или лъжа TRUE и FАLSE.

Всяка променлива х, която има за стойности елементите от В се нарича логическа променлива.

Всяка функция f : ВB се нарича булева (логическа, двоична) функция на една променлива.

Това са всичките четири логически функции на една променлива.

Всяка функция f : ВхВB се нарича булева (логическа, двоична) функция с две променливи.

В езика Паскал, тези функции са представени, като операции и се означават съответно с and и or.

Логическите функции се използват за изпълняване на формули, извеждане на крайния резултат в зависимост от получените входни данни. Избора на данни в една клетка зависи от стойността на данните в други клетки.
Всяка функция f : ВхВB се нарича булева (логическа, двоична) функция с две променливи.

х	y			Стрелка на Пирс	Щрих на Шефер
		конюнкция	дизюнкция
		Логическо „и”	Логическо „или”
		and	or
0	0	0	0	1	1
0	1	0	1	0	1
1	0	0	1	0	1
1	1	1	1	0	0

Изречение, съдържанието на което може да се оценява като вярно или невярно ( истина или лъжа ) се нарича съждение. Пример : Днес е понеделник.

Наречен така на английския математик Август де Морган

Доказва се чрез таблицата :

x	y
0	0	1	1	0	0	1	1	1	1
0	1	1	0	1	0	0	0	1	1
1	0	0	1	1	0	0	0	1	1
1	1	0	0	1	1	0	0	0	0

Пример 5 – Образуване на съждения – отрицания с използване на законите на Де Морган

1. Да се образува съждение противоположно на “Днес е слънчево и обичам информатиката ”. Ако означим даденото съждение с р, а съставящите го прости съждения с а – “Днес е слънчево” и b – “Обичам информатиката”, задачата се свежда до определяне на логическото отрицание на р = а ^ в . От втория закон на Де Морган ще имаме р = а ^ b = а V b ,т.е. съждението отрицание е “Днес не е слънчево или не обичам информатиката”

2. За получаването на отрицание за съждение р – “Ще умра или ще победя ” р се представя като р = а V b, където а – “Ще умра” и b - “Ще победя”. От първия закона на Де Морган следва имаме р = а V b = а ^ b , т.е. съждението отрицание е “Няма да умра и няма да победя”.

Основна теорема

Много важен факт в двоичната логика е фактът, че всички възможни двоични функции, независимо от това колко е броят на аргументите им, могат да се представят като логически изрази, в които участват само трите логически операции – едноаргументната (НЕ), и двете двуаргументни (И) и (ИЛИ).