Моделиране на процесите в работното колело на центробежни помпи при работа с водо-въздушна смес

Изложение

• 
  Работното колело се върти с постоянна ъглова скорост ω и относителното течение на двете фази е установено.
  
• 
  Теченията на двете фази имат еднакви едномерни токови линии и относителните им скорости са допирателни към тях.
  
• 
  Налягането на двете фази е едно и също в дадена точка от токовата линия.
  
• 
  Газовата фаза е идеален газ и състоянието й се променя по адиабатен закон, докато течната фаза е несвиваем флуид.
  
• 
  Отсъства масо- и топлообмен между двете фази.
  
• 
  Течението преди работното колело не е предварително завъртяно.
  
• 
  Поради високата ъглова скорост, масовата сила от земното ускорение е пренебрегната.
  
• 
  Газовите частиците имат сферична форма и радиус, много по-малък от размерите на междулопатъчния канал.
  

(1) 

където: е масата на газовата частица; -относителната скорост на газовия мехур; - субстанциалното ускорение на частицата. По-нататък в изложението със степен „прим” ще бъдат означени величините, които се отнасят за течната фаза, а със „секонд” – за газовата.

От предпоставката за установено относително течение следва, че и .

Основните сили, които действат върху единичен газов мехур, са: центробежната сила, породена от преносното движение; кориолисовата сила от относителното движение; силата на Магнус, породена от евентуално въртеливо движение на частицата; силата от градиента на налягане; силата от триене в стените на каналите на работното колело; силата от хидродинамично съпротивление; силата от присъединена маса на мехура.



Фиг. 1. Сили, действащи върху единичен газов мехур в каналите на работното колело
От изброените сили, действащи върху газовия мехур, проекции върху координатната ос имат центробежната сила , силата от налягане , силата от триене в каналните стени на работното колело , силата от хидродинамично съпротивление и силата от присъединена маса .

Както се посочи по-горе, уравнение (1) описва движението на единичен газов мехур в каналите на работното колело. За да се изведе уравнение за движението на всички мехури, които се намират в единица обем от двуфазната смес, е необходимо всички членове на уравнение (1) да се умножат с т. нар. числена плътност на мехурите:

(2) ,

където: е обемната концентрация на газовата фаза; - обемът на единичен газов мехур; - радиусът на газовия мехур; - обемът на газовата фаза, който се намира в единица обем от двуфазната смес; - обемният дебит на течната фаза; - обемният дебит на двуфазната смес.

След умножаване на двете страни на уравнение (1) с , то добива вида:

(3) ,

където:

(4)

(6) ;

(7) ;

(8)

(9)

В уравнение (7) с е означен градиентът на загубите на налягане от триене на двуфазната смес в каналните стени на работното колело. Той се определят по израза:

(10) ,

където: е коефициент, които зависи от обемната концентрация на газовата фаза _ и се определя опитно по зависимостта:

(11) .

В (11) с са означени загубите на налягане от триене в каналните стени на работното колело при работа с двуфазна водо-въздушна смес. С са означени загубите от триене при движение на чиста вода. Коефициентът зависи от обемната концентрация . В литературата съществуват множество емпирични изрази за определянето му. По-голямата част от тези изрази са определени на базата на опитни данни за движение на двуфазна смес от течност и газ в неподвижен тръбопровод с постоянно напречно сечение.

По данни от литературата [Gulich 2008] в каналите на работното колело, протичат процеси, които не се поддават на математическо описание и не са отчетени от уравнение (3). Предпоставката за колинеарност на векторите на относителните скорости на течната и на газовата фази на практика не може да се осъществи, както показват изследванията на редица автори, наблюдавали процесите в работното колело.

По тези причини в настоящата работа се търси различен подход за определяне на влиянието на обемната концентрация на газовата фаза върху напора на работното колело на помпата. Този подход се състои в следното. Всички загуби в работното колело, включително и тези от внезапно разширение при изхода му, от удар при входа при режими, различни от номиналния, от хомогенизиране на двуфазната смес след изхода на работното колело, са означени с .

Тези загуби се отчитат в модела по следния начин. В израза (7) за определяне на силата градиентът се замества с , където:

(12)

В уравнение (12) са загубите на налягане в участъка от точка непосредствено преди входа на работното колело до точка след изхода му, където скоростите на двете фази са изравнени. Тези загуби се определят опитно, чрез балансови изпитвания на помпите при работа с чиста вода. Видът на функцията се определя опитно на базата на опитни данни от баланса на мощността на изследваната помпа.

Коефициентът на хидродинамично съпротивление е определен по предложената в [Антонов 1995] формула:

(13) ,

където:

Коефициентът на присъединена маса е .

След заместване на (4), (5), (6), (7), (8) и (9) в (3) се получава уравнение за движение на газовата фаза в междулопатъчните канали на работното колело:

(14)

По аналогичен начин се получава уравнението за движение на течната фаза:

(15 )

Уравненията за непрекъснатост на двете фази се записват във вида:

(16)

и

(17)

Последното уравнение, описващо промените в състоянието на газовата фаза, е:

(18) ,

където: е показател на адиабатата; -константа, която се определя от началните условия.

Уравнения (14), (15), (16), (17) и (18) съставляват диференциално-алгебричната система на теоретичния модел. Такъв тип системи се решават числено в средата на програмата MATLAB с помощта на солвъра ode15s. В резултат от решението на системата се получава разпределението на относителните скорости на двете фази, на обемната концентрация на газовата фаза и на нейната плътност, както и на статичното налягането в каналите на работното колело. С помощта на получените величини е възможно определянето на напора на работното колело .

Моделът е приложен върху центробежна помпа 6Е20. На базата на опитни данни от баланса на мощността на помпата и с помощта на числен експеримент е определена функцията , която за изследваната помпа има вида:

(19) ,

където е обемната концентрация при входа на работното колело.

Зависимостта , получена след заместване в уравненията на модела с опитно определената функция (19), е показана графично на фиг. 2.



Фиг. 2. Напор на работното колело на помпа 6Е20, получен след прилагане на теоретичния модел
От фигурата се вижда доброто съвпадение между резултатите от теоретичния модел и опитните данни, което показва, че коефициентите на функцията са определени точно. Това се потвърждава и от проверката за адекватност на модела, извършена по критерия на Фишер.

Заключение