Моделиране с диференциални уравнения Ниляй Ридванова Феимова

*Технически университет – Варна, 9000 Варна, България, ул.“Студентска”№.1, Е-mail: nilay17@abv.bg

Методът на моделирането е един от най – важните методи на познанието, който се използва от математиката и техниката. Математическото моделиране е създаване на математически модел (ММ) на система (обект или процес) и опериране с нея с помощта на математически апарат, с цел получаване на сведения за реалната система. ММ е съвкупност от математически елементи – числа, променливи, матрици, множества и др. и връзки между тях, които адекватно отразяват нейните най-важни свойства. Структурата на модела е сходна или тъждествена в известно отношение с тази на действителната система. Към ММ се поставят изисквания за адекватност, универсалност, икономичност.

Най-общо предназначението на всеки ММ е да се изяснят:

• 
  основните величини, които определят състоянието и поведението на разглежданата система.
  
• 
  количествените закономерности, на които се подчинява изменението на тези величини.
  

ММ могат да бъдат класифицирани по следните начини [2,4]:

• 
  в зависимост от използваните функции и условия:
  

- нелинейни - една или повече от връзките е описана с нелинейна функция.

• 
  в зависимост от отсъствие или наличие на случайности:
  

• 
  в зависимост от това дали се отчита време:
  

• 
  в зависимост от начина на описване на модела:
  

Преди да се построи даден модел, трябва да се направи избор за вида му [4]:

- избор по отношение на измерване на времето - ако стойностите на t са измежду стойностите на дискретно множество, то моделът е дискретен и ако стойностите на t са числа от даден интервал (а,b), то модела е непрекъснат.

- избор по отношение естеството на променливата х - ако за всяка дадена стойност t величината, която ни интересува х(t) е винаги напълно определена от дадените начални условия, то модела е детерминиран, а ако величината х(t) е случайна, то модела е стохастичен.

Типичен ММ на много практически задачи са обикновените диференциални уравнения (ОДУ) [3]. С тях се описва физическото състояние на обекта и процесите протичащи във времето в еднородни среди. При решаването им се получава общото решение на уравнението. Ако са зададени начални условия (НУ), които съдържат стойността на търсеното решение или неговата производна, се решава задача на Коши. Графиките на решението на ДУ се наричат интегрални криви. За изчертаване на интегралните криви в равнинния случай е полезно да се използва полето на направленията. За аналитично и числено решаване на ОДУ, както и за графична илюстрация на решенията и полетата на направленията, може да се използва системата за компютърна алгебра Maple [7]. Системата е една от най-често използваните в университетите за преподаване и научни изследвания при аналитични и числени пресмятания. Тя дава възможност за решения на математически задачи, свързани с изследване на ДУ [6].

Съставяне на някои математически модели на задачи от различни области

1. Задачи от екологията [3,4]

1.1. Малтузиански модел или модел на нормално размножение

Постановката на задачата е следната - в определена среда (басейн и др.) се развъждат x на брой индивиди (риби, бозайници и др.). Те не си пречат една на друга и храната им стига. Разглежда се изменението на броя на индивидите x с течение на времето t.

При съставяне на ММ на задачата, скоростта на изменение на числеността на индивидите при тези условия е право пропорционална на количеството индивиди. Следователно

(1) Математическият модел (1) е ДУ с отделящи се променливи. След отделяне на променливите и интегриране двете страни на уравнението се получава аналитичното решение

(2)

Уравнението може да се реши и илюстрира графично със системата Maple. Нека . Даденото ДУ се въвежда и решава съответно с командите diff и dsolve [6]:

>equ:=diff(x(t),t)=1/3*x(t);

>dsolve(equ,x(t)); % общо решение >dsolve({equ,x(0)=1},x(t)); % частно решение при НУ х(0)=1.

Полето на направленията и интегралните криви (Фиг.1) на уравнение (1) се построяват с помощта на пакет DEtools [6]:

>with(DEtools):DEplot(equ,x(t),t=0..10,[[x(0)=0],[x(0)=0.1],[x(0)=0.5],[x(0)=1],[x(0)=1.2],[x(0)=2],[x(0)=3]]);

След известно време индивидите ще станат така много, че на тях няма да им стигне храната и ще им стане тясно. По-нататъшният прираст вече няма да удовлетворява уравнението.

интегралните криви

Нека броят на разглежданите индивиди x в средата е силно нарастнал, като конкуренцията за храна довежда до намаляване скоростта на прираста. Предполага се, че коефициента k зависи от броя на индивиди линейно, т.е. . Разглежда се въпроса как се изменя x(t) - броят на индивидите x с течение на времето t.

Като се отчете линейната зависимост на коефициента k от броя на индивидите - x, ММ на задачата е

(3)

Уравнение (3) е Бернулиево ДУ и се решава по следния начин: двете страни на уравнението се делят на и се полага . След преобразуване се получава линейно ДУ

(4)

с общо решение

Следователно решението на уравнение (3) е

Ако скоростта на прираста на индивидите е равна на нула, то численността им в средата с течение на времето не се мени. Такова състояние се нарича равновесно или стационарно. В дадения модел ненулевото стационарно состояние е равно на x₀ = a/b. Интегралната крива, която съответства на началното условие x(0) = x₀, е права. Типът на стационарното състояние може да се определи по вида на интегралните криви. То може да е: неустойчиво – малки колебания на системата я извеждат от равновесно състояние и устойчиво - с времето системата се възвръща в положение на равновесие, т.е. ако интегралните криви съответстващи на началното условие x(0) са по-малки и по-големи от стационарното състояние x₀, с течение на времето се приближават към стационарното състояние (към права), което ще е равновесно.

Коефициентите a и b може да се превърнат в единици с избор на мащабите на t и x. Във връзка с това са възможни следните частни случаи:

• 
  при (Фиг.2.а)
  

• 
  при (Фиг.2.b) - x=2 е устойчивото стационарно състояние.
  
• 
  при (Фиг.2.c) - x = 1.5 е устойчивото тационарно състояние.
  

Фиг.2 Поле на направленията и интегралните криви

Разглежда се въпроса как се изменя x(t) -концентрацията на лекарството x в кръв с течение на времето t.

При съставяне на ММ на задачата, скоростта на x намалява с течение на времето t, докато лекарството се елиминира или дезактивира. Клинични изследвания показват, че в повечето случаи скоростта на редуциране на лекарството в кръвта е пропорционална на концентрацията. Изменението на концентрацията на лекарството става непрекъснато. Следователно ММ е следния:

(6)

където k - константа, която измерва скоростта на намаляване на концентрацията.

Моделът (6) е ДУ с отделящи се променливи, на което решението е следното (фиг.4.a)

(7)

Колкото по–голямо е количеството на приетото лекарство, толкова по-бавно се разгражда то в кръвта. Съгласно уравнение (6) лекарството никога не изчезва напълно от тялото, освен след изключително дълъг период.

а) b)

Разглежда се популация от N индивиди. От тях X са болни и могат да предадат зараза при контакт със здрави Y на брой индивиди. Нека с x = X/N и y = Y/N е частта на болните и здравите индивиди съответно, като x + y = 1. Приема се, че болните индивиди не се изолират и свободно контактуват със здравите. Скоростта на разпространение на заразата е пропорционална на броя на тези контакти, т.е. на произведението xy = x.(1− x):

(8) като

където - k - положителна константа характерна за даденото заболяване.

ДУ (8) е Бернулиево ДУ, което има общо решение

(9)

Моделът (8) описва динамиката на епидемия, при която заразените не се изолират. Стационарните точки на модела са две: x = 0 и x = 1 (фиг.4.b) , като f(x)>0 при xє(0,1). Функцията x(t) расте монотонно, като клони отдолу към стационарната стойност x = 1. Това означава, че ако заразно болните не се изолират своевременно, епидемията ще обхване цялота популация.

Заключение

Правилното съставяне на ММ е от голямо значение за решението на конкретни задачи за разглеждани реални обекти. Моделът на даден обект е стойностен и полезен, ако има известно познание за обекта или събрана информация от наблюдения и измервания за него.

Разгледаните модели на разгледаните задачи от областта на екологията, медицината и фармацията, могат да се използват и за задачи от други области - икономика, биология, химия и др.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Илиев И., Христова С. “Математика за студенти от икономическите специалности“, Пловдив, 1996 г.

[2] Ковачева Ц.“Системен анализ”, ТУ-Варна, Локален център за дистанционно обучение – Добрич, Варна, 2001 г.

[3] Kovacheva Ts. “ Interactive Training of Mathematical Analyzes Students with the Applications of Maple. Applications of mathematics in engineering and economics“, Proceeding of the 31st International conference Sozopol’ 2005, Bulgaria.

[4] Марков К. “Математическо моделиране“, СУ”Кл. Охридски”, София, 2002 г.

[5] Maki D., Thompson M.”Mathematical Modeling and Computer simulation“, Thompson Brooks/Cole, 2005.

[6] Сараев П.В. “Основы использования математического пакета MAPLE в моделировании”, МИКТ, Липецк, 2006 г.

[7] http://www.maplesoft.com
Научен ръководител: гл.ас.д-р Ц. Ковачева, кат. “Математика”,ТУ-Варна,

Е-mail: tsveta_kovacheva@tu-varna.acad.bg