Напрегнато състояние в кръгла тръба, натоварена с външна сила

ANNUAL OF THE UNIVERSITY OF MINING AND GEOLOGY “ST. IVAN RILSKI”, Vol. 56, Part ІI, Mining and Mineral processing, 2013

Пренебрегната е тангиращата компонента на преместването. Общият интеграл на полученото диференциално уравнение е радиалната компонента. Определени са още напрегнатото и деформирано състояние на тръбата в полярни координати.

Описан е метод за получаване на оптималната дебелина на тръба от крехък материал.
STRESS STATE OF PIPE UNDER THE INFLUENCE OF EXTERNAL FORCE

Violeta Trifonova–Genova

University of Mining and Geology “St. Ivan Rilski”, 1700 Sofia, www.violeta.trifonova@yahoo.com
ABSTRACT. This paper presents the Vlasov’s theory in displacements. The basic differential equations for equilibrium in round pipe under the influence of external force are constructed.

The displacement’s tangent component is ignored. The common integral of this differential equation is the radial displacement. The strain and stress state of pipe in polar coordinates are determined.

Увод
Напрегнатото и деформирано състояние около кръгла тръба, натоварена с вътрешна съсредоточена сила, може да се определи както с метода на крайните елементи (Трифонова-Генова В. 1991), така и с вариационния метод на Власов (Косева Ч. 1966 ).
Цел на настоящата работа е да приложи втория метод за получаване както на диференциалните уравнения на средата, така и на тензорите на напреженията и на деформациите, но при външна съсредоточена сила.

Изложение
Дълга кръгла тръба е натоварена по външния контур със съсредоточена радиална сила . Вътрешният радиус на тръбата е , а външният е . Матриалът е изотропен с модул на еластичността и коефициент на Поасон .
Компонентите на преместването се изразяват с изразите (Трифонова–Генова В. 2012) (фиг.1):
. (1)

.


Фиг.1 Премествания в областта
Функциите, зависещи от радиалната координата са:
; . (2)
За определяне на функциите на ъгловата координата се използва системата диференциални уравнения, описващи равновесието на средата. За получаването и́ се разглежда равновесието на вътрешните напрежения върху безкраен елемент между две радиални сечения. След определяне на работата на вътрешните сили в радиално и тангенциално направление, се получава системата:
;

. (3)
Коефициентите в тези уравнения се получават от зависимости, дадени в предишна работа (Трифонова–Генова В. 2012).
Тангиращата компонента на преместването е малка и може да се пренебрегне. Тогава горната системата има вида (Косева Ч. 1966):
, (4)
където
; ;

; ;

;; ;
Решението на уравнение (4) има вида:
, (5)
където .

За областите над и под силата (фиг.1), тези обобщени премествания имат вида:

; за ;

; за . (6)
Константите в тези уравнения се определят от условията на границата, където е приложена силата:
; . (7)
Тангиращите сили, за двете области (I и II) и при , имат вида:
; , (8)
където
.
След заместване на (6) и (8) в (7) се получават константите
. (9)
Тогава компонентите на радиалните премествания в двете зони са:
;за;

;за ;

. (10)
Компонентите на тензора на деформациите се определят чрез зависимостите между деформациите и преместванията:
; за ;

;

,

; за;

;

;

. (11)
От връзката между напреженията и деформациите за изотропно тяло, при условие на равнинна деформация, се получават компонентите на тензора на напреженията за двете области. Тези зависимости имат вида:
;

;

; за ,

;

;

; за ;

; . (12)
С това напрегнатото и деформирано състояние е напълно определено във функция на дебелината на тръбата. Тя подлежи на уточняване. За целта се използват стъпките от алгоритъм, описан в предишна работа (Трифонова–Генова В. 2011, 79-82 стр.), но за напреженията от уравнение (12).
Прилага се якостната хипотеза на Мор за крехък материал с допустими якости на натиск и опън . След несложни преобразувания за дебелината се получава уравнение от четвърта степен:
, (13)
където
; ;

;

;

;

; ;

; .
Получените коефициенти заедно с тези от уравнения (4) и (5) зависят от дебелината. За решаване на (13) се прилага приблизителен метод, който се състои от два етапа.
Първият етап е свързан с подбора на такива две стойности на дебелината, за които съответните функции са с различни знаци. За целта първата стойност на дебелината се приема равна на вътрешния радиус на тръбата. При следващите два опита се увеличава или намалява дебелината с . Ако целта не е достигната, то следват два опита за увеличаване или намаляване на получените дебелини с . Процеса продължава до достигане на две стойности на дебелините и , за които функциите и са с различни знаци.
Вторият етап се състои от няколко стъпки. Първо се определя корена на уравнение (13) по формулата:
. (14)
При втората стъпка се проверява близостта на получената дебелина до една от двете гранични стойности и :
. (15)
Ако неравенството е изпълнено, то дебелината е определена.
В третата стъпка се изчислява , според (13). Полученият корен разделя участъка на два подучастъци и . Избира се онзи подучастък, за който съоветните функции имат различни знаци. След това се преминава към първа стъпка от втория етап.
Числен пример

Разглежда се кръгла тръба с радиус и дебелина , натоварена със съсредоточена сила по външия контур. Дадени са характеристиките на средата (Трифонова–Генова В. 2011, 75-78 стр.): коефициентът на Поасон , допустимите напрежения на натиск и опън . Разглежда се равнинно сечение с дебелина . За числото се приема стойността 0,02, а .

Решението се провежда по описания алгоритъм. При първата стъпка от първия етап на решението се задават три стойности на дебелината , и . За тях се изчисляват съответните функции , и , според уравнение(13). Резултатите се подреждат в следващата таблица.

Таблица 1

	1	2	3	4
	1,5	2	1	1,12
	2,219	1,2068	5,2986	3,3391
	-0,262	-1,4818	5,2048	3,1904
	-0,776	-15,803	-13,033	-8,4926
	0,307	2,3493	-3,9382	-2,7948
	2,77	2,77	2,77	2,77
	-10,67	-48,288	3,4745	0,5107

Получени са две функции с различни знаци, което означава край на етапа.

В първата стъпка на втория етап се правят следните полагания: дебелината от първата итерация е , дебелината от третата итерация е , и . Тези данни се заместват в (14) и се определя .
При втората стъпка се проверява (15). Понеже се преминава към следващата стъпка.
Тя е трета поред и включва изчисляване на функцията на . Дебелината разделя участъка на два подучастъка и . От тях се избира първият подучастък. След това се правят следните полагания , , , и . От (14) се изчислява .
Четвъртата стъпка е свързана с изпълнение на неравенство (15) т.е. . Това означава, че търсената дебелина е . За нейното получаване, според описания алгоритъм, са необходими само четири итерации.


Заключение
Получено е напрегнатото и деформирано състояние в дебелостенна тръба, натоварена със съсредоточена в радиално направление външна сила. То зависи от дебелината на тръбата, която следва да бъде итеративно определена по описан в работата алгоритъм.
Така определените по аналитичен път формули за компонентите на тензорите на напреженията и дефор­мациите са прости и дават достатъчна за практиката точност.

Литература
Косева Ч. 1966. Върху приложението на вариационния метод на В.З.Власов към една задача от механика на скалите, Годишник на ВТУЗ, „Приложна механика”, том I, книга 2.

Трифонова-Генова В. 1991. Изчисляване на многослоен крепеж на вертикална шахта в напластен масив чрез МКЕ, Годишник на МГУ, т.XXXVII, св.II.

Трифонова–Генова В. 2011. Изследване на напрегнатото състояние в дебелостенна тръба по метода на Власов, Международна научна конференция УНИТЕХ’11 – Габрово, Сборник от доклади, том II, 75-78 стр.

Трифонова–Генова В. 2011. Напрегнато състояние в кръгова тръба под действие на съсредоточени сили, Международна научна конференция УНИТЕХ’11 – Габрово, Сборник от доклади, том II, 79-82 стр.

Трифонова-Генова В. 2012. Деформирано състояние около кръгла изработка, под действие на съсредоточена сила , Годишник на МГУ „Св. Ив.Рилски”, т.55, св.II, 69-73 стр.