Определяне на земното ускорение с математично махало



Дата02.09.2017
Размер89.03 Kb.
ОПРЕДЕЛЯНЕ НА ЗЕМНОТО УСКОРЕНИЕ С МАТЕМАТИЧНО МАХАЛО

Математично махало

Математично махало се нарича идеализирана система, състояща се от безтегловна и неразтеглива нишка, на която е окачена маса, съсредоточена в една точка. Добра физическа реализация на математичното махало е тежка топка, окачена на дълъг и здрав конец.

Ще покажем, че при отклонение от равновесното положение на малки ъгли (50 – 80) махалото извършва хармонични трептения. За целта трябва да докажем, че при отклонение на махалото от равновесното положение му действа сила F, насочена обратно и пропорционална на отклонението x, която се стреми да го върне в равновесното положение, т.е. да има вида F = - kx, където k по аналогия с пружинното махало (тяло, окачено на пружина) може да се нарече „коефициент на еластичност” на математичното махало. При малки ъгли можем да смятаме, че F и оста Оx са по едно направление. Нека m е масата на топчето, G=mg е силата на тежестта му , N е силата на опъване на нишката, F е резултантната сила на G и N, l e дължината на нишката, x е отклонението от равновесното положение. За да спестим сложната математика (диференциално уравнение), ще разсъждаваме по-просто.

В равновесно положение върху топчето действат силата на тежестта G и силата на опъване N. Тези две сили се уравновесяват. Ако отклоним махалото от равновесното му положение и го пуснем, забелязваме, че то започва да извършва трептения около равновесното положение. За да определим големината на връщащата сила F използваме подобните триъгълници MLC и LFG. От тях следва, че F/G = x/l, от което получаваме F=(G.x)/l. Тъй като връщащата сила е в посока обратна на посоката на отклонението следва, че:  F =, където  . Така показахме, че връщащата сила отговаря на условието за хармонично трептене.

Периодът на трептене на пружинно махало се дава с израза T = 2 , (  е масата на окаченото тяло,  е коефициента на еластичност на пружината) и ако продължим аналогията и заместим в този израз получената стойност  за математично махало, ще получим периода на математичното махало:

T = 2 (1)

Вижда се, че периодът на математичното махало не зависи нито от отклонението, нито от масата на топчето. Той зависи само от дължината на махалото и от земното ускорение . Ако се измери периодът на махалото при някаква негова дължина, от (1) може да се пресметне земното ускорение.



Задача: Да се определи земното ускорение с математично махало като се използва метода на най-малките квадрати, представяйки връзката между измерваните величини в (1) като линейна.

В (1) измерваните величини са T и l . Периодът T се изчислява чрез измерване на времето t за p=10 трептения → T = t / p . Дължината l на нишката се мери с милиметрова скала (ролетка). На всяка стойност li на дължината на нишката съответства от (1) определена стойност Ti на периода на махалото, където с i означаваме номерът на измерването. Ако положим



 , =  (2)

то (1) може да се запише във вид на линейна зависимост между  и 



 =     Ti =   (3)

където


 (4)

При най-малко 5 измервания (i ≥ 5) на  и  може да се използва методът на най-малките квадрати за определяне на най-точната стойност на коефициента и тогава от (4) ще се определи най-точната стойност на земното ускорение 



 (5)

Съгласно този метод, ако ние измерваме две величини xi, yi, които са свързани с линейна зависимост от вида


yi = a xi (6)

най-точната стойност на коефициента a се дава с израза



a = , (7)
където n – брой измервания, i – номер на измерването. Методът върви при минимален брой от 5 измервания. В нашия случай

a = (8)

Данните се нанасят в следната таблица:



i

 ( m)

 (s)





1













2













3













4













5


























Изчислените в таблицата суми се заместват в (8) и се определя коефициента a. Получената стойност на a от (8) се замества в (5) и се получава експерименталната стойност на земното ускорение .

ЗАБЕЛЕЖКА:

  1. Пресмятането на най-точната стойност на коефициента a се облекчава значително, ако данните за  (по оста y) и
     ( , които съгласно (3) са свързани с линейна зависимост, се вкарат в таблица на Excel и се зададе графично изчертаване на зависимостта. Програмата дава коефициента на пропорционалност a и корелационен коефициент R, който дава представа за точността на експерименталните резултати. Колкото този коефициент е по-близо до 1, толкова връзката между тези две експериментално измерени величини е по-близо до линейна ( за лабораторни измервания R > 0,95 се смята за задоволително).

  2. За облекчаване на пресмятанията на a по метода на най-малките квадрати и определяне на абсолютната грешка a (равна на средната квадратична грешка σ) на a може също да се използва и разработения регресионен калкулатор (потърсете в гугал Регресионен калкулатор » Физичен практикум - elearning-phys).



Грешки при измерванията


  1. Ако не се ползва регресионният калкулатор, приблизителна представа за относителната грешка при определяне на земното ускорение може да се получи с данните от едно измерване на дължината на махалото и периода му. От (1) следва  . Относителната грешка на  ще се дава с израза


 (9)
откъдето се изчислява абсолютната грешка  , която определя интервала, в който лежи истнската стойност. В (9)  e точността, с която е измерена дължината на махалото, а  e точността на измерване на периода. Ако точността на секундомера за измерване на времето t за 10 трептения на махалото е , тогава =  /10 .

  1. Ако се използва регресионен калкулатор, програмата автоматично дава стойността на коефициента a и абсолютната грешка (средноквадратичната) . От (5) може да се получи относителната грешка на  в този случай


 (10)
откъдето се изчислява абсолютната грешка  , която определя интервала, в който лежи истнската стойност .

И в двата случая крайният резултат се представя във вида



 =  m/s2

ПРИЛОЖЕНИЕ - Описание на работата с регресивен калкулатор

Регресионен калкулатор

Предложеният тук регресионен калкулатор е разработен с Macromedia Flash. За да можете да го използвате, необходимо е вашият браузер да има инсталиран Flash Player. Той е разработен за целите на обучението по физика и позволява пресмятането на коефициентите на линейна регресия за не повече от 20 експериментални резултата.

Едновременно с коефициентите на линейна регресия  и  в общия случай се пресмята и наклонът на регресионната права  за частния случай на нулев свободен коефициент .

Ето и някои особености:



  • За да се извърши пресмятане, необходимо е да сте попълнили поне три реда с данни.

  • Можете да въвеждате данните в произволен ред. Празните редове, както и тези, в които въведените данни не са валидни числа не се вземат предвид при пресмятане.

  • Когато системата уравнения за коефициентите на регресия не може да бъде решена (например в резултата има делене на нула поради нулева стойност на дискриминантата на системата), в полетата за резултата се изписва текст "ERR".

  • Полетата с резултатите са избираеми, което означава, че можете да маркирате текста в тях и да го копирате в клипборда. По този начин можете лесно да прехвърлите резултата в други приложения.

номер

x

y

1







2







3







.







.







20







Ако линейната функция е от вида: y=ax+b , калкулаторът автоматично пресмята и показва стойностити на коефициентите a и b, както и абсолютните им грешки (средноквадратични) σa и σb .

Ако линейната функция е от вида: y=ax , калкулаторът автоматично пресмята и показва стойността на коефициента a, както и абсолютната му грешка (средноквадратична) σa .


База данных защищена авторским правом ©obuch.info 2016
отнасят до администрацията

    Начална страница