Основна теорема на алгебрата. Следствия. Основна теорема на алгебрата



Дата23.07.2016
Размер75.2 Kb.
Основна теорема на алгебрата. Следствия.
Основна теорема на алгебрата(Теорема на Даламбер):

Всеки неконстантен полином f(x)  C[x] има комплексен корен.
Ще са ни нееобходими следните две леми.
Лема 1:

Нека f(x)  R[x] и ст. f(x) е нечетно число. Тогава f(x) има реален корен.
Д-во:

Нека f(х) = а0 + а1х + . . . + аn-1xn-1 + xn, an  0

ст. f(x) = n, n – нечетно число

h(x) =



f(x) има реален корен тогава и само тогава, когато h(x) има реален корен. Следователно достатъчно е да докажем, че h(x) има реален корен. Тъй-като ст.(h(x)) е нечетна имаме
lim(h(x)) = -  и lim(h(x)) = + .

x - x +


следователно съществува х1R такова, че h(x1) < 0 и съществува х2R такова, че h(x2) < 0. тъй като h(x) е непрекъсната, съществува х0  [x1,x2] такова, че h(x0) = 0, т.е. х0 е корен на h(x)
Лема 2:

Нека C[x], а  0. Тогава има комплексен корен.
Д-во:

Корените на са



C C x1,2C
Преди доказателството на теоремата на Даламбер ще докажем следното по-слабо твърдение:
Tеорема 1:

Нека f(x) е неконстантен полином с реални коефициенти. Тогава f(x) има комплексен корен.
Д-во:

Нека f(х) = а0 + а1х + . . . + аn-1xn-1 + xn, an ¹ 0 и ст. f(x) = n

Нека n = 2s.k, k – нечетно число.

Доказателството ще извършим по индукция относно s.

База s = 0.

В тази ситуация n е нечетно число и от Лема1 следва, че f(x) има даже реален корен.

Нека s  1. Разглеждаме разширение Е на полето на комплексните числа С над, което f(x) се разлага на линейни множители.

,

където 1, . . , n  Е и са корени на f(x) в Е.

Разглеждаме

H(x ; x1 , . . . ,xn)= ( множителя),


където с е произволно реално число. След като развием дясната част и направим съответните опростявания ще получим полином на променливата х, коефициентите на който са от пръстена на полиномите R[x1, . . , xn]. Разглеждаме транспозицията xi  xj при тази транспозиция имаме

xi + xj + cxixj  xj + xi + cxjxi


xi + xk + cxixk  xj + xk + cxjxk , k  j
Множителите, в които не участват xi и xj не се променят. Следователно произволна при транспозиция на променливите множителите на Н(х; x1, . . . , xn) се разместват, но тяхното произведение не се променя. Следователно при всяко разместване на променливите коефициентите на Н(х; x1, . . . , xn) не се променят. Това означава, че коефициентите пред степените на x са симетрични полиноми от пръстена R[x1, . . , xn]. Съгласно основното следствите на теоремата за симетрични полиноми коефициентите на h(x) = Н(х; 1, . . , n) ще бъдат реални числа, т.е.

(*) h(x) =  R[x]


Имаме
ст.h(x) = = = = 2s-1k(2sk – 1) = 2s-1k , където k е нечетно число.
И така h(x)  R[x] и ст.h(x) = 2s-1k, където k е нечетно число. Съгласно индуктивната хипотеза h(x) има комплексен корен   С. Заместваме в (*) и получаваме

Тъй-като в Е няма делители на нулата, имаме  = i + j + cij за някои индекси i и j. И така за всяко реално число сR сеществуват индекси i и j такива, че i + j + cijС. Понеже двойките индекси (i, j), където 1  i  n и 1  j  n са краен брой, а реалните числа са безброй много съществуват реални числа с1  с2, за които при едни и същи индекси i и j имаме:
ai + aj + c1aiaj = z1  C

ai + aj + c2aiaj = z2  C
като извадим тези равенства получаваме

C ,
и
C
Поради това C.

Разглеждаме


C[х]
От Лема 2 имаме, че t(x) има комплексен корен . Заместваме в (**) и получаваме

Тъй като в F няма делители на нулата имаме, че  = i или  = j. Следователно i или j е комплексно число. Теорема 1 е доказана


Д-во на Теоремата на Даламбер:

Нека f(x) =  C[x],

Ако коефициентите са реални Теоремата на Даламбер следва от Теорема 1.

Ще предполагаме, че не всичките коефициенти са реални. Разглеждаме полинома


f1(x) = .

Където е комплексно спрегнатото число на . Разглеждаме също



h(x) = f(x).f1(x) = ,
Тъй-като имаме . Следователно за всяко к = 0, . . , 2n, т.е. h(x)  R[x]. От Теорема1 имаме, че h(x) има комплексен корен   C. Следователно
.
Тъй като в полето няма делители на нулата, или , или .

Ако , тогава f(x) има комплексен корен и теоремата е доказана.

Нека , т.е. . Тогава , т.е.


,

т.е. или комплексното число е корен на f(x)



Следствие 1:

Над полето на комплексните числа C неразложими са само полиномите от първа степен.



Д-во:

Трябва да се докаже, че за всеки полином от степен по-голяма или равна на две е разложим в C.

Нека f(x)  C[x] и ст.f(x)  2. Съгласно Теоремата на Даламбер f(x) има корен   C. Следователно и C[x]. От ст.f(x)  2 следва, че ст.g(x)  1. Следователно f(x) e разложим над полето на комплексните числа.
Следствие 2:

Всеки неконстантен полином от C[x] се разлага на линейни множители над C.
Д-во:

Съгласно Следствие1 в каноничното разлагане на всеки неконстантен полином ще участват само полиноми от първа степен, което представлява желаното разлагане.


Определение:

Казваме, че полето F е алгебрично затворено, ако всеки неконстантен полином от F[x] се разлага на линейни множители над F.
От Следствие 2 става ясно, че полето на комплексните числа е алгебрично затворено.
Следствие 3:

Над полето на реалните числа неразложими са полиномите от първа степен и тези полиноми над R от втора степен, които нямат реални корени. Други неразложими полиноми в R[x] няма.
Д-во:

1) Нека f(x) има реални коефициенти и ст.f(x) = 2.

Aко f(x) е разложим над R, тогава корените на f(x) са реални. Ако f(x) има реален корен , тогава f(x) се разлага във вида:
и  R[x],
където ст.g(x) = 1. Следователно f(x) е разложим над R. Поради това един полином с реални коефициенти от втора степен е разложим над R тогава и само тогава, когато има реални корени. Следователно един полином от втора степен е неразложим над полето на реалните числа тогава и само тогава, когато няма реални корени.


  1. Нека ст.f(x)  3 и f(x)  R [x]. Трябва да докажем, че f(x) е разложим над R.

Ако f(x) има реален корен , тогава f(x) се разлага във вида:
и  R[x],
където ст.g(x)  2. Следователно f(x) е разложим над R.
Нека f(x) няма реални корени. Тогава от теоремата на Даламбер следва, че f(x) има комплексен корен, който не е реален, т.е. . Следователно в каноничното разлагане на f(x) ще участва , т.е.

Тъй като  R [x] следва, че g(x)  R [x]. От ст.f(x)  3, следва ст.g(x)  1. Следователно f(x) е разложим над R


Следствие 4:

Всеки неконстантен полином f(x) R [x] може да се разложи по следния начин:
,
където i Rи R[x] и нямат реални корени.
Д-во:

От Следствие3 в каноничното разлагане на f(x) ще участват линейни множители и квадратни тричлени, които нямат реални корени.


Следствие 5:

Ако един неконстантен полином с реални коефициенти няма реални корени, тогава той се разлага на произведение на квадратни тричлени, които нямат реални корени. В тази ситуация полиномът има четна степен.





База данных защищена авторским правом ©obuch.info 2016
отнасят до администрацията

    Начална страница