Основни формули, използвани в статистиката



страница2/2
Дата26.09.2018
Размер269.52 Kb.
1   2

НА ГЕНЕРАЛНА СЪВКУПНОСТ



6.1. Средно стохастично (стандартно) отклонение по данни от представителна (репрезентативна) извадка – формула на Бесел:

където: хi са индивидуалните значения на признака; е средната аритметична; nобем на извадката.




    1. Средна стохастична (стандартна) грешка на оценката на средна аритметична величина.

6.2.1. При възвратен подбор:

където е оценка на стандартното отклонение.

6.2.2. При безвъзвратен подбор:



където N – обем на генералната съвкупност.


    1. Средна стохастична (стандартна) грешка на оценката на относителен дял при алтернативен признак:

6.3.1. При възвратен подбор:

където р е относителният дял, получен от данни на извадката; q = 1 – p; n е обемът на извадката.

6.3.2. При безвъзвратен подбор:



където N – обем на генералната съвкупност.


    1. Максимално допустима грешка на оценката на средна аритметична величина.

където Z е гаранционен множител, който зависи от равнището на гаранционната вероятност и се определя от таблицата на стандартизираното нормално разпределение.

6.5. Максимално допустима грешка на оценката на относителен дял:



    1. Доверителен интервал на средна аритметична величина:

където е средна аритметична на генералната съвкупност.



    1. Доверителен интервал на относителен дял:

където Р е относителен дял в генералната съвкупност.



    1. Обем на извадката при оценка на средна аритметична и относителен дял.

6.7.1. При възвратен подбор

където Z е гаранционният множител; S2 е оценка на дисперсията на величината, чиято средна аритметична или относителен дял ще бъдат оценявани; Δ е максимално допустимата грешка на оценката, която ще се оценява .

6.7.2. При безвъзвратен подбор



където N е обема на генералната съвкупност.


  1. СТАТИСТИЧЕСКА ПРОВЕРКА НА ХИПОТЕЗИ

7.1. Етапи на статистическата проверка на хипотези.

7.1.1. Дефиниране на нулевата (Но) и алтернативната (Н1) хипотези.

7.1.2. Фиксиране на риска за грешки от първи род ().

7.1.3. Избор на метод за проверка и съответния статистически критерий, чрез който се проверяват дефинираните хипотези.

7.1.4. Набавяне на необходимата за проверката информация.

7.1.5. Изчисляване на емпиричната характеристика на статистическия критерий въз основа на данни от представителната извадка.

7.1.6. Определяне на характера на критичната област, ако това е необходимо, според използвания статистически критерий и начина на дефиниране на Н1 .

7.1.7. Определяне на теоретичната характеристика на статистическия критерий въз основа на необходимите параметри.

7.1.8. Вземане на решение относно това, да приемем или да отхвърлим нулевата хипотеза.


    1. Емпирична характеристика за статистическа проверка на хипотези въз основа на данни от една извадка.

      1. Относно средна аритметична на генерална съвкупност.

        1. При големи извадки (n ≥ 30):

където е оценка на средната аритметична на извадката;  е средната аритметична в генералната съвкупност; σ е стандартното отклонение в генералната съвкупност; n е обем на извадката. Когато стойността на σ е неизвестна, тя се замества с нейната оценка , получена от данните за извадката, т.е.:





        1. При малки извадки (n < 30).

или

      1. Относно относителен дял за генерална съвкупност.

        1. При големи извадки (n ≥ 30):

където р е относителният дял, получен от данни на извадката; q = 1 – p; Р е относителният дял за генералната съвкупност; n е обемът на извадката.



        1. При малки извадки (n < 30).



    1. Емпирична характеристика за статистическа проверка на хипотези въз основа на данни от две независими извадки.

      1. Относно разлика между две средни аритметични величини.

        1. При големи извадки (n1 ≥ 30 и n2 ≥ 30):

където: е средната на първата извадка; е средната на втората извадка; и са оценки на дисперсиите в двете извадки; n1 и n2 са съответните обеми на двете извадки.



        1. При малки извадки (n1 < 30 и/или n2 < 30):



      1. Относно разлика между два относителни дяла.

        1. При големи извадки (n1 ≥ 30 и n2 ≥ 30):

където р1 е относителният дял, получен от данни на първата извадка; р2 е относителният дял, получен от данни на втората извадка; q1 = 1 – p1; q2 = 1 – p2 ; n1 и n2 са съответните обеми на двете извадки.



        1. При малки извадки (n1 < 30 и/или n2 < 30):



  1. ЕДНОФАКТОРЕН ДИСПЕРСИОНЕН АНАЛИЗ

Еднофакторния дисперсионен анализ е статистически метод за анализ на корелационен тип зависимости между едно явление-фактор, представено на слаба(номинална или ординална) скала, и явление-следствие, представено на силна(пропорционална или интервална) скала. Процедурата на дисперсионния анализ представлява проверка на хипотеза за наличие на статистически значима зависимост между разглежданите явления, основана на F-критерия на Фишер. Изчисляването на емпиричния F- критерий преминава през следните етапи:

8.1. Измерване на разсейването на резултативната променлива Xij .

8.1.1. Обща девиация на Xij :

където Xij са индивидуалните стойности на резултативната променлива; i са номера на значенията на факторната променлива; j е номер на единиците от i-та група; e общата средна.

8.1.2. Междугрупова девиация на Xij :

където е средната аритметична за i-та извадка; ni брой на единиците в i-та извадка.

8.1.3. Вътрегрупова девиация на Xij :



    1. Независими оценки на общата дисперсията на Xij .

      1. Междугрупова дисперсия:

където k е броят на значенията (групите) на факторната променлива.



      1. Вътрегрупова дисперсия:

където n е обем на извадката.



    1. Емпирична характеристика на статистическия критерий:



  1. РЕГРЕСИОНЕН И КОРЕЛАЦИОНЕН АНАЛИЗ

Регресионният анализ е статистически метод за анализ на зависимости от корелационен тип когато всички явления, включени в анализа са измерени на силни скали – пропорционална или интервална. Основната задача на регресионния анализ е да изведе формата на зависимостта в аналитичен вид и да я измери количествено с помощта на регресионните коефициенти. Корелационният анализ е статистически метод за измерване теснотата (силата) на зависимости от корелационен тип.

Зависимост от корелационен тип е такава зависимост, при която на едно значение на факторната променлива (Х) съответстват повече от едно значения на резултативната променлива (У).

9.1. Регресионен модел.

9.1.1. Еднофакторни регресионни модели.

9.1.1.1. Линеен еднофакторен регресионен модел:

Yi = 0 + 1X1 + εi i=1,...,N

където Yi са фактическите (емпиричните) стойности на ендогенната (резултативна/зависима) променлива; Xi са фактическите (емпиричните) стойности на екзогенната (факторна/независима) променлива; 0 е параметър на модела; 1 е регресионен коефициент; εi са случайни отклонения.

9.1.1.2. Нелинейни еднофакторни регресионни модели.


  • Полиномиален модел:

i=1,...,N;

  • Мултипликативен модел:

i=1,...,N;

  • Експоненциален модел:

i=1,...,N;

  • Логистичен модел:

i=1,...,N.

9.1.2. Многофакторни регресионни модели.

9.1.2.1. Линеен многофакторен регресионен модел:

Yi = 0 + 1X1i + 2X2i + ………+ kXki + εi i=1,...,N;

9.1.2.2. Нелинейни многофакторни регресионни модели:



  • Мултипликативен модел:

i=1,...,N;


  • Експоненциален модел:

i=1,...,N.

    1. Метод на най-малките квадрати.

      1. Функция измерваща разликата между фактическите и получените от модела значения на зависимата променлива, която се минимизира:



      1. Система от нормални уравнения при еднофакторен линеен регресионен модел:

ΣYi = Nb0 + b1 ΣXi

ΣXi Yi = b0 ΣXi + b1 ΣXi2

където b0 и b1 са оценки на параметрите 0 и 1 ; N брой на единиците в извадката.


9.2.3. Параметри на еднофакторен линеен регресионен модел:



9.3. Измерване на разсейването на резултативната променлива Yi .

9.3.1. Обща девиация на Yi :



където Yi са индивидуалните стойности на резултативната променлива; e средната аритметична.

9.3.2. Обяснена девиация на Yi :

където са теоретичните стойности на Yi , получени от регресионния модел. 9.3.3. Необяснена (остатъчна) девиация на Уj :





    1. Независими оценки на общата дисперсията на Уi .

      1. Обяснена дисперсия:

където p е броят на факторните променливи в регресионния модел.



      1. Необяснена дисперсия:

където N е обем на извадката.



    1. Стандартна грешка на регресионния модел:



    1. Стохастични грешки на параметрите на еднофакторен линеен регресионен модел:





    1. Коефициент на детерминация, който показва каква част от изменението на резултативната променлива се обяснява с факторите в модела:



    1. Коефициент на индетерминация:

I = (1-)

    1. Единични коефициенти на корелация.

      1. Коефициент на корелация на Пирсън (0сновава се на изведения регресионен модел на зависимостта):

, 0 ≤ rYX ≤ 1

9.9.2. Коефициент на линейна корелация на Браве. Този коефициент измерва достоверно силата на зависимост между две явления, когато тя е линейна:



-1 ≤ rYX ≤ 1

      1. Скала на интерпретация на корелационните коефициенти:

  • При 0 ≤ ‌ rYX ‌ < 0,3 корелационната зависимост се смята за слаба;

  • При 0,3 ≤ ‌ rYX ‌ < 0,5 корелационната зависимост е умерена;

  • При 0,5 ≤ ‌ rYX ‌ < 0,7 корелационната зависимост е значителна;

  • При 0,7 ≤ ‌ rYX ‌ < 0,9 корелационната зависимост е силна;

  • При 0,9 ≤ ‌ rYX ‌ < 1,0 корелационната зависимост е много силна.

9.9.3. Стохастична точност на единичните корелационни коефициенти.



    1. Множествени коефициенти на корелация.

      1. Коефициент на множествена корелация:

където е необяснената дисперсия на У при приложението на съответния регресионен модел.



      1. Чисти (частни) коефициенти на корелация:

В индекса на коефициента, вляво от точката, се отбелязват явленията, между които се измерва теснотата на зависимостта (в случая У и Х2 ), а вдясно от нея – тези, чието влияние е елиминирано (в случая Х3 ). Броят на явленията, чието влияние е елиминирано, определят порядъка на чистите коефициенти на корелация.



    1. Коефициенти на автокорелация.

където Yt е стойността на У в t-ия период; Yt-p е стойността на У в (t-р)-ия период; p порядък на автокорелационния коефициент.



    1. Критерии за наличие на автокорелация в остатъчните елементи около регресионната линия.

      1. Критерий на Нойман:

където εi са случайни остатъци в i-ия период; където εi-1 са случайни остатъци в (i-1)-ия период.

9.12.2. Критерий на Дърбин – Уотсън:



  1. СТАТИСТИЧЕСКО ИЗУЧАВАНЕ НА РАЗВИТИЕ

10.1. Елементарни статистически показатели за развитие.

10.1.1. Общ абсолютен обем:



където Yt е абсолютния обем на явлението в t–ия период (момент); N е броя на наблюдаваните периоди (моменти).

10.1.2. Среден абсолютен обем.

10.1.2.1. При периодни динамични редове.



  • непретеглен метод – когато периодите на наблюдение са с еднаква дължина:



  • претеглен метод – когато периодите на наблюдение са с различна дължина:

10.1.2.1. При моментни динамични редове.



  • непретеглен метод – когато моментите на наблюдение отстоят на еднакво разстояние във времето:



  • претеглен метод – когато моментите на наблюдение отстоят на различно разстояние във времето:

10.1.3. Абсолютен прираст.

10.1.3.1. При постоянна основа:

ΔYt/1 = Yt – Y1

където първият наблюдаван период е приет за основа.

10.1.3.2. При верижна основа:

ΔYt/t-1 = Yt – Yt-1

10.1.4. Среден абсолютен прираст:



10.1.5. Темпове на растеж (индекси на динамика).

10.1.5.1. При постоянна основа:

; ; …………

където първият наблюдаван период е приет за основа.

10.1.5.2. При верижна основа:

; ; .....................

10.1.5.3. Връзка между темповете при постоянна и верижна основа:




10.1.6. Темпове на прираст:



или

10.1.7. Средногеомтричен темп на разтеж:



10.2. Верижни (плъзгащи се) средни.

10.2.1. При нечетен брой елементи на усредняваната величина.


  • 3-членни верижни средни:

;

;

.........................





  • 5-членни верижни средни:

,

………………………….



10.2.2. При нечетен брой елементи на усредняваната величина (центрирани верижни средни).



  • 4-членни верижни средни:

,

,

…………………………



10.3. Аналитичен метод за изследване на тренда (основната тенденция) на развитие.

Трендът изразява основната закономерност в развитието на изследваното явление. Графичното му изображение преставлява плавна линия (права, парабола, хипербола и др.), минаваща възможно най-близко до всички емпирични стойности на У. Аналитично трендът се описва чрез подходяща функция на времето (t), т.е. Ŷt = f(t). Задачата на анализа се свежда до това, да се установи вида на функцията f, чрез която ще се осъществи най-добро описание на съдържащата се в даден временен ред тендеция на развитие и да се оценят нейните параметри.
10.3.1. Линеен трендови модел:

Ŷi = ao + a1ti ,

където Ŷi са теоретичните (изгладени) стойности на явлението в i-ия период; ti е поредния номер на i-ия период; ao и a1 са параметри модела.



  • Случайни отклонения в модела:

εi = Yi – Ŷi

където Yi е абсолютния обем на явлението в i-ия период.



  • Система от нормални уравнения:

10.3.2. Експоненциален трендови модел.


  • Общ вид на модела:



  • Трансформиран вид на модела:

lg Ŷi = a0 + a1 ti ,

където a1 = lgA.



      1. Двойнологаритмичен модел.

  • Общ вид на модела:



  • Трансформиран вид на модела:

lg Ŷi = a0 + a1 lgti

      1. Полином от 2-ра степен:

  • Общ вид:

Ŷi = a0 + a1ti + a2ti2 .

  • Система от нормални уравнения:

ΣYi = Na0 + a1Σti + a2Σti2

Σti Yi = a0Σti + a1Σti2 + a2Σti3

Σti2 Yi = a0Σti2 + a1Σti3 + a2Σti4
10.5. Стандартна грешка на трендовия модел:

10.6. Екстраполационна прогноза въз основа на трендови модел.



  • Прогноза за развитието на явлението;

Y*N+l = a0 + a1 tN+l

където Y*N+l е очаквана стойност за Y в (N+l)-тия период; l – хоризонт на прогнозата, т.е. отдалеченост на периода, за който се разработва прогнозата по отношение на последната година от базисния период.



  • Стохастична грешка на прогнозата:

10.7. Статистическо изучаване на сезонни колебания.

Сезонни колебания са периодично повтарящите се вътрешногодишни колебания с еднаква амплитуда по едноименни подпериоди, които са предизвикани от стопанските и климатичните особености на годишните времена или на различните месеци в годината.

10.7.1. Метод на простите средни.

10.7.1.1. Абсолютни сезонни колобения:

за j=1,..., k

където е средния абсолютен обем на явлението за j-ия подпериод; е средния абсолютен обем на явлението за целия изследван период; k е броя на подпериодите в целия изследван период.

10.7.1.2. Индекси за сезонни колобения:

за j=1,..., k

10.7.2. Метод на отношенията на фактическите към изгладениете стойности.

10.7.2.1. Отношения на фактическите към изгладениете стойности на явлението Y .

, , ………,

където Ŷij са изгладените стойности на Yij за j-тия подпериод на i-тата година по метода на 12-членните центрирани верижни средни; i = 1,...,n и j = 1,...,k; при работа с месечни данни к = 12, а при тримесечни данни - к = 4.

10.7.2.2. Осреднени отношения на фактическите към изгладениете стойности:

, ,……………,

10.7.2.3. Индекси за сезонни колебания



за j = 1,...,k.

  1. ИНДЕКСИ НА ДИНАМИКА И ИНДЕКСЕН ФАКТОРЕН АНАЛИЗ

11.1. Единични индекси на динамика.

11.1.1. Индекс на равнище.



  • при единични явления:

където x0 е равнище на явлението в базисния период; x1 е равнище на явлението в индексирания период.



  • при еднородни съвкупности:

където y0 е обем на явлението в базисния период; y1 е обем на явлението в индексирания период.

11.1.2. Индекс на обем.


  • при единични явления:



  • при еднородни съвкупности:

11.2. Множествени индекси на динамика.

11.2.1. Индекс на маса.

където S0 е обем на изследваното сложно съставно явление през базисния период; S1 е обем на изследваното сложно съставно явление през индексирания период.

11.2.2. Индекс на обем.

11.2.3. Индекс на равнище.



  • Индекс на Пааше:



  • Индекс на Ласпер:

11.2.4. Връзка между индекса на маса, индекса на обем и индекса на равнище:





    1. Индексен факторен анализ при зависимост от типа S = xy.

11.3.1. Мултипликативно разлагане:

,

където Iy е индекса на екстензивния фактор; Ix е индекса на интензивния фактор.

11.3.2. Адитивно разлагане:

където е прираст, дължащ се само на изменението в обема на изучаваната съвкупност (екстензивен фактор), при неизменно равнище на съответния качествен признак (интензивния фактор); е прираст, дължащ се само на изменеие в равнището на изучавания качествен признак, но при неизменен обем на изследваната съвкупност; е прираст, дължащ се на съвместното действие на двата фактора.



    1. Индексен факторен анализ при зависимост от типа

11.4.1. Мултипликативно разлагане:

където е относителното изменение в явлението S, настъпило само в резултат на промени в обема на изучаваната съвкупност; е факторен субиндекс, който измерва относителното изменеие в явлението S, дължащо се само на изменения в индивидуалните равнища на х по подсъвкупности; е факторен субиндекс, който да измерва относителното изменение в явлението S, дължащо се на настъпили структурни промени в у през индексирания период в сравнение с базисния, във връзка с различните равнища на х през индексирания период.


11.4.2. Адитивно разлагане:

където е прираст, дължащ се на промени само в обема на изучаваната съвкупност, при неизменно средно равнище на съответния качествен признак; е прираст, дължащ се само на настъпили промени в средното равнище на изучавания качествен признак; ΔSstr е абсолютният прираст на S, формиран под въздействието на структурни изменения; е частта от абсолютния прираст на явлението S, дължаща се на съвместното влияние на двата фактора.



    1. Индексен факторен анализ при зависимост от типа S = Σ xy

11.5.1. Мултипликативно разлагане:

където е индекс на обем, изразяващ настъпилото относително изменение в явлението S, дължащо се само на промени в обема на изучаваната съвкупност; е индекс на равнище, изчислен по формулата на Ласпер, изразяващ настъпилото относително изменение в явлението S, дължащо се само на промени в значенията на изучавания качествен признак; е индекс на структура, който се изчислява като отношение между индекса на равнище, установен по формулата на Пааше, и този, установен по формулата на Ласпер.



11.5.2. Адитивно разлагане:



където е прираст на сложното съставно явление S, предопределен от промени в обема на изучаваната съвкупност; е прираст в сложното съставно явление S, дължащ се само на изменение в индивидуалните равнища на изучавания качествен признак; е прираст, дължащ се само на структурни промени в обема на изучаваната съвкупност; е прираст, дължащ се само на съвместното влияние на двата фактора.
Каталог: files -> files
files -> Р е п у б л и к а б ъ л г а р и я
files -> Дебелината на армираната изравнителна циментова замазка /позиция 3/ е 4 см
files -> „Европейско законодателство и практики в помощ на добри управленски решения, която се състоя на 24 септември 2009 г в София
files -> В сила oт 16. 03. 2011 Разяснение на нап здравни Вноски при Неплатен Отпуск ззо
files -> В сила oт 23. 05. 2008 Указание нои прилагане на ксо и нпос ксо
files -> 1. По пътя към паметник „1300 години България
files -> Георги Димитров – Kreston BulMar
files -> В сила oт 13. 05. 2005 Писмо мтсп обезщетение Неизползван Отпуск кт


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2


База данных защищена авторским правом ©obuch.info 2019
отнасят до администрацията

    Начална страница