Основни формули, използвани в статистиката

НА ГЕНЕРАЛНА СЪВКУПНОСТ

където: х_i са индивидуалните значения на признака; _{е средната аритметична; n – обем на извадката.}

2. 
   Средна стохастична (стандартна) грешка на оценката на средна аритметична величина.
   

където е оценка на стандартното отклонение.

6.2.2. При безвъзвратен подбор:



_{където N – обем на генералната съвкупност.}

2. 
   Средна стохастична (стандартна) грешка на оценката на относителен дял при алтернативен признак:
   

където р е относителният дял, получен от данни на извадката; q = 1 – p; n е обемът на извадката.

6.3.2. При безвъзвратен подбор:



_{където N – обем на генералната съвкупност.}

2. 
   Максимално допустима грешка на оценката на средна аритметична величина.
   

където Z е гаранционен множител, който зависи от равнището на гаранционната вероятност и се определя от таблицата на стандартизираното нормално разпределение.

6.5. Максимално допустима грешка на оценката на относителен дял:

2. 
   Доверителен интервал на средна аритметична величина:
   

където  е средна аритметична на генералната съвкупност.

2. 
   Доверителен интервал на относителен дял:
   

където Р е относителен дял в генералната съвкупност.

2. 
   Обем на извадката при оценка на средна аритметична и относителен дял.
   

където Z е гаранционният множител; S² е оценка на дисперсията на величината, чиято средна аритметична или относителен дял ще бъдат оценявани; Δ е максимално допустимата грешка на оценката, която ще се оценява .

6.7.2. При безвъзвратен подбор



_{където N е обема на генералната съвкупност.}

7. 
   СТАТИСТИЧЕСКА ПРОВЕРКА НА ХИПОТЕЗИ
   

7.1.1. Дефиниране на нулевата (Но) и алтернативната (Н₁) хипотези.

7.1.2. Фиксиране на риска за грешки от първи род ().

7.1.3. Избор на метод за проверка и съответния статистически критерий, чрез който се проверяват дефинираните хипотези.

7.1.4. Набавяне на необходимата за проверката информация.

7.1.5. Изчисляване на емпиричната характеристика на статистическия критерий въз основа на данни от представителната извадка.

7.1.6. Определяне на характера на критичната област, ако това е необходимо, според използвания статистически критерий и начина на дефиниране на Н₁ .

7.1.7. Определяне на теоретичната характеристика на статистическия критерий въз основа на необходимите параметри.

7.1.8. Вземане на решение относно това, да приемем или да отхвърлим нулевата хипотеза.

2. 
   Емпирична характеристика за статистическа проверка на хипотези въз основа на данни от една извадка.
   
   1. 
      Относно средна аритметична на генерална съвкупност.
      
      1. 
         При големи извадки (n ≥ 30):
         

където е оценка на средната аритметична на извадката;  е средната аритметична в генералната съвкупност; σ е стандартното отклонение в генералната съвкупност; n е обем на извадката. Когато стойността на σ е неизвестна, тя се замества с нейната оценка , получена от данните за извадката, т.е.:

2. 
   При малки извадки (n < 30).
   

2. 
   Относно относителен дял за генерална съвкупност.
   
   1. 
      При големи извадки (n ≥ 30):
      

където р е относителният дял, получен от данни на извадката; q = 1 – p; Р е относителният дял за генералната съвкупност; n е обемът на извадката.

2. 
   При малки извадки (n < 30).
   

2. 
   Емпирична характеристика за статистическа проверка на хипотези въз основа на данни от две независими извадки.
   
   1. 
      Относно разлика между две средни аритметични величини.
      
      1. 
         При големи извадки (n₁ ≥ 30 и n₂ ≥ 30):
         

където: е средната на първата извадка; е средната на втората извадка; и са оценки на дисперсиите в двете извадки; n₁ и n₂ са съответните обеми на двете извадки.

2. 
   При малки извадки (n₁ < 30 и/или n₂ < 30):
   

2. 
   Относно разлика между два относителни дяла.
   
   1. 
      При големи извадки (n₁ ≥ 30 и n₂ ≥ 30):
      

където р₁ е относителният дял, получен от данни на първата извадка; р₂ е относителният дял, получен от данни на втората извадка; q₁ = 1 – p₁; q₂ = 1 – p₂ ; n₁ и n₂ са съответните обеми на двете извадки.

2. 
   При малки извадки (n₁ < 30 и/или n₂ < 30):
   

8. 
   ЕДНОФАКТОРЕН ДИСПЕРСИОНЕН АНАЛИЗ
   

8.1. Измерване на разсейването на резултативната променлива X_ij .

8.1.1. Обща девиация на X_ij :

където X_ij са индивидуалните стойности на резултативната променлива; i са номера на значенията на факторната променлива; j е номер на единиците от i-та група; e общата средна.

8.1.2. Междугрупова девиация на X_ij :

където е средната аритметична за i-та извадка; n_i брой на единиците в i-та извадка.

8.1.3. Вътрегрупова девиация на X_ij :

2. 
   Независими оценки на общата дисперсията на X_ij .
   
   1. 
      Междугрупова дисперсия:
      

където k е броят на значенията (групите) на факторната променлива.

2. 
   Вътрегрупова дисперсия:
   

където n е обем на извадката.

2. 
   Емпирична характеристика на статистическия критерий:
   

9. 
   РЕГРЕСИОНЕН И КОРЕЛАЦИОНЕН АНАЛИЗ
   

Зависимост от корелационен тип е такава зависимост, при която на едно значение на факторната променлива (Х) съответстват повече от едно значения на резултативната променлива (У).

9.1. Регресионен модел.

9.1.1. Еднофакторни регресионни модели.

9.1.1.1. Линеен еднофакторен регресионен модел:

Y_i = ₀ + ₁X₁ + ε_i i=1,...,N

където Y_i са фактическите (емпиричните) стойности на ендогенната (резултативна/зависима) променлива; X_i са фактическите (емпиричните) стойности на екзогенната (факторна/независима) променлива; ₀ е параметър на модела; ₁ е регресионен коефициент; ε_i са случайни отклонения.

9.1.1.2. Нелинейни еднофакторни регресионни модели.

• 
  Полиномиален модел:
  

• 
  Мултипликативен модел:
  

• 
  Експоненциален модел:
  

• 
  Логистичен модел:
  

9.1.2. Многофакторни регресионни модели.

9.1.2.1. Линеен многофакторен регресионен модел:

Y_i = ₀ + ₁X_1i + ₂X_2i + ………+ _kX_ki + ε_i i=1,...,N;

9.1.2.2. Нелинейни многофакторни регресионни модели:

• 
  Мултипликативен модел:
  

• 
  Експоненциален модел:
  

2. 
   Метод на най-малките квадрати.
   
   1. 
      Функция измерваща разликата между фактическите и получените от модела значения на зависимата променлива, която се минимизира:
      

2. 
   Система от нормални уравнения при еднофакторен линеен регресионен модел:
   

където b₀ и b₁ са оценки на параметрите ₀ и ₁ ; N брой на единиците в извадката.

9.3.1. Обща девиация на Y_i :

където Y_i са индивидуалните стойности на резултативната променлива; e средната аритметична.

9.3.2. Обяснена девиация на Y_i :

където са теоретичните стойности на Y_i , получени от регресионния модел. 9.3.3. Необяснена (остатъчна) девиация на У_j :

4. 
   Независими оценки на общата дисперсията на У_i .
   
   1. 
      Обяснена дисперсия:
      

където p е броят на факторните променливи в регресионния модел.

2. 
   Необяснена дисперсия:
   

където N е обем на извадката.

4. 
   Стандартна грешка на регресионния модел:
   

4. 
   Стохастични грешки на параметрите на еднофакторен линеен регресионен модел:
   

4. 
   Коефициент на детерминация, който показва каква част от изменението на резултативната променлива се обяснява с факторите в модела:
   

4. 
   Коефициент на индетерминация:
   

4. 
   Единични коефициенти на корелация.
   
   1. 
      Коефициент на корелация на Пирсън (0сновава се на изведения регресионен модел на зависимостта):
      

9.9.2. Коефициент на линейна корелация на Браве. Този коефициент измерва достоверно силата на зависимост между две явления, когато тя е линейна:

1. 
   Скала на интерпретация на корелационните коефициенти:
   

• 
  При 0 ≤ ‌ r_YX ‌ < 0,3 корелационната зависимост се смята за слаба;
  
• 
  При 0,3 ≤ ‌ r_YX ‌ < 0,5 корелационната зависимост е умерена;
  
• 
  При 0,5 ≤ ‌ r_YX ‌ < 0,7 корелационната зависимост е значителна;
  
• 
  При 0,7 ≤ ‌ r_YX ‌ < 0,9 корелационната зависимост е силна;
  
• 
  При 0,9 ≤ ‌ r_YX ‌ < 1,0 корелационната зависимост е много силна.
  

4. 
   Множествени коефициенти на корелация.
   
   1. 
      Коефициент на множествена корелация:
      

където е необяснената дисперсия на У при приложението на съответния регресионен модел.

2. 
   Чисти (частни) коефициенти на корелация:
   

В индекса на коефициента, вляво от точката, се отбелязват явленията, между които се измерва теснотата на зависимостта (в случая У и Х₂ ), а вдясно от нея – тези, чието влияние е елиминирано (в случая Х₃ ). Броят на явленията, чието влияние е елиминирано, определят порядъка на чистите коефициенти на корелация.

4. 
   Коефициенти на автокорелация.
   

където Y_t е стойността на У в t-ия период; Y_t-p е стойността на У в (t-р)-ия период; p порядък на автокорелационния коефициент.

4. 
   Критерии за наличие на автокорелация в остатъчните елементи около регресионната линия.
   
   1. 
      Критерий на Нойман:
      

където ε_i са случайни остатъци в i-ия период; където ε_i-1 са случайни остатъци в (i-1)-ия период.

9.12.2. Критерий на Дърбин – Уотсън:

9. 
   СТАТИСТИЧЕСКО ИЗУЧАВАНЕ НА РАЗВИТИЕ
   

10.1.1. Общ абсолютен обем:

където Y_t е абсолютния обем на явлението в t–ия период (момент); N е броя на наблюдаваните периоди (моменти).

10.1.2. Среден абсолютен обем.

10.1.2.1. При периодни динамични редове.

• 
  непретеглен метод – когато периодите на наблюдение са с еднаква дължина:
  

• 
  претеглен метод – когато периодите на наблюдение са с различна дължина:
  

10.1.2.1. При моментни динамични редове.

• 
  непретеглен метод – когато моментите на наблюдение отстоят на еднакво разстояние във времето:
  

• 
  претеглен метод – когато моментите на наблюдение отстоят на различно разстояние във времето:
  

10.1.3. Абсолютен прираст.

10.1.3.1. При постоянна основа:

ΔY_t/1 = Y_t – Y₁

където първият наблюдаван период е приет за основа.

10.1.3.2. При верижна основа:

ΔY_t/t-1 = Y_t – Y_t-1

10.1.4. Среден абсолютен прираст:

10.1.5. Темпове на растеж (индекси на динамика).

10.1.5.1. При постоянна основа:

; ; …………

където първият наблюдаван период е приет за основа.

10.1.5.2. При верижна основа:

; ; .....................

10.1.5.3. Връзка между темповете при постоянна и верижна основа:

10.1.6. Темпове на прираст:

10.1.7. Средногеомтричен темп на разтеж:

10.2. Верижни (плъзгащи се) средни.

10.2.1. При нечетен брой елементи на усредняваната величина.

• 
  3-членни верижни средни:
  

.........................

• 
  5-членни верижни средни:
  

………………………….

10.2.2. При нечетен брой елементи на усредняваната величина (центрирани верижни средни).

• 
  4-членни верижни средни:
  

…………………………

10.3. Аналитичен метод за изследване на тренда (основната тенденция) на развитие.

Трендът изразява основната закономерност в развитието на изследваното явление. Графичното му изображение преставлява плавна линия (права, парабола, хипербола и др.), минаваща възможно най-близко до всички емпирични стойности на У. Аналитично трендът се описва чрез подходяща функция на времето (t), т.е. Ŷ_t = f(t). Задачата на анализа се свежда до това, да се установи вида на функцията f, чрез която ще се осъществи най-добро описание на съдържащата се в даден временен ред тендеция на развитие и да се оценят нейните параметри.
10.3.1. Линеен трендови модел:

Ŷ_i = a_o + a₁t_i ,

където Ŷ_i са теоретичните (изгладени) стойности на явлението в i-ия период; t_i е поредния номер на i-ия период; a_o и a₁ са параметри модела.

• 
  Случайни отклонения в модела:
  

където Y_i е абсолютния обем на явлението в i-ия период.

• 
  Система от нормални уравнения:
  

10.3.2. Експоненциален трендови модел.

• 
  Общ вид на модела:
  

• 
  Трансформиран вид на модела:
  

където a₁ = lgA.

3. 
   Двойнологаритмичен модел.
   

• 
  Общ вид на модела:
  

• 
  Трансформиран вид на модела:
  

3. 
   Полином от 2-ра степен:
   

• 
  Общ вид:
  

• 
  Система от нормални уравнения:
  

Σt_i Y_i = a₀Σt_i + a₁Σt_i² + a₂Σt_i³

Σt_i² Y_i = a₀Σt_i² + a₁Σt_i³ + a₂Σt_i⁴
10.5. Стандартна грешка на трендовия модел:

10.6. Екстраполационна прогноза въз основа на трендови модел.

• 
  Прогноза за развитието на явлението;
  

където Y*_N+l е очаквана стойност за Y в (N+l)-тия период; l – хоризонт на прогнозата, т.е. отдалеченост на периода, за който се разработва прогнозата по отношение на последната година от базисния период.

• 
  Стохастична грешка на прогнозата:
  

10.7. Статистическо изучаване на сезонни колебания.

Сезонни колебания са периодично повтарящите се вътрешногодишни колебания с еднаква амплитуда по едноименни подпериоди, които са предизвикани от стопанските и климатичните особености на годишните времена или на различните месеци в годината.

10.7.1. Метод на простите средни.

10.7.1.1. Абсолютни сезонни колобения:

за j=1,..., k

където е средния абсолютен обем на явлението за j-ия подпериод; е средния абсолютен обем на явлението за целия изследван период; k е броя на подпериодите в целия изследван период.

10.7.1.2. Индекси за сезонни колобения:

за j=1,..., k

10.7.2. Метод на отношенията на фактическите към изгладениете стойности.

10.7.2.1. Отношения на фактическите към изгладениете стойности на явлението Y .

, , ………,

където Ŷ_ij са изгладените стойности на Y_ij за j-тия подпериод на i-тата година по метода на 12-членните центрирани верижни средни; i = 1,...,n и j = 1,...,k; при работа с месечни данни к = 12, а при тримесечни данни - к = 4.

10.7.2.2. Осреднени отношения на фактическите към изгладениете стойности:

, ,……………,

10.7.2.3. Индекси за сезонни колебания

10. 
    ИНДЕКСИ НА ДИНАМИКА И ИНДЕКСЕН ФАКТОРЕН АНАЛИЗ
    

11.1.1. Индекс на равнище.

• 
  при единични явления:
  

където x₀ е равнище на явлението в базисния период; x₁ е равнище на явлението в индексирания период.

• 
  при еднородни съвкупности:
  

където y₀ е обем на явлението в базисния период; y₁ е обем на явлението в индексирания период.

11.1.2. Индекс на обем.

• 
  при единични явления:
  

• 
  при еднородни съвкупности:
  

11.2. Множествени индекси на динамика.

11.2.1. Индекс на маса.

където S₀ е обем на изследваното сложно съставно явление през базисния период; S₁ е обем на изследваното сложно съставно явление през индексирания период.

11.2.2. Индекс на обем.

11.2.3. Индекс на равнище.

• 
  Индекс на Пааше:
  

• 
  Индекс на Ласпер:
  

11.2.4. Връзка между индекса на маса, индекса на обем и индекса на равнище:

3. 
   Индексен факторен анализ при зависимост от типа S = xy.
   

където I_y е индекса на екстензивния фактор; I_x е индекса на интензивния фактор.

11.3.2. Адитивно разлагане:

където е прираст, дължащ се само на изменението в обема на изучаваната съвкупност (екстензивен фактор), при неизменно равнище на съответния качествен признак (интензивния фактор); е прираст, дължащ се само на изменеие в равнището на изучавания качествен признак, но при неизменен обем на изследваната съвкупност; е прираст, дължащ се на съвместното действие на двата фактора.

3. 
   Индексен факторен анализ при зависимост от типа
   

където е относителното изменение в явлението S, настъпило само в резултат на промени в обема на изучаваната съвкупност; е факторен субиндекс, който измерва относителното изменеие в явлението S, дължащо се само на изменения в индивидуалните равнища на х по подсъвкупности; е факторен субиндекс, който да измерва относителното изменение в явлението S, дължащо се на настъпили структурни промени в у през индексирания период в сравнение с базисния, във връзка с различните равнища на х през индексирания период.

където е прираст, дължащ се на промени само в обема на изучаваната съвкупност, при неизменно средно равнище на съответния качествен признак; е прираст, дължащ се само на настъпили промени в средното равнище на изучавания качествен признак; Δ_S^str е абсолютният прираст на S, формиран под въздействието на структурни изменения; е частта от абсолютния прираст на явлението S, дължаща се на съвместното влияние на двата фактора.

3. 
   Индексен факторен анализ при зависимост от типа S = Σ xy
   

където е индекс на обем, изразяващ настъпилото относително изменение в явлението S, дължащо се само на промени в обема на изучаваната съвкупност; е индекс на равнище, изчислен по формулата на Ласпер, изразяващ настъпилото относително изменение в явлението S, дължащо се само на промени в значенията на изучавания качествен признак; е индекс на структура, който се изчислява като отношение между индекса на равнище, установен по формулата на Пааше, и този, установен по формулата на Ласпер.