От частното към общото



Дата22.07.2016
Размер89.24 Kb.
Математическа индукция
Индукция означава метод на извършване на умозаключения “ от частното към общото”. Този метод се използва в много науки, както и в ежедневието. Но в математиката фактът, че дадена закономерност е вярна за голям брой частни случаи все още не означава, че е вярна винаги.

За да се твърди това е необходимо строго доказателство.

Методът на математическата индукция се базира на открития от Блез Паскал Принцип на математическата индукция:

Ако едно множество М от естествени числа съдържа числото 1 и ако съдържайки числото n, съдържа и числото n +1, то М е множеството на естествените числа.
Пример 1: Да се намерят сумите:

А)

Б)

Решение: а) записваме сбора по два начина:



събираме почленно двете равенства и получаваме:






б) при решаването на тази задача не можем да използваме подхода от а)

I начин: чрез използване на равенството:



II начин: Намираме последователно S1; S2; S3; S4 и т.н. докато открием закономерност










Разглеждаме числата: и откриваме закономерност, която ни дава основание да предположим, че (1) т.е. чрез наблюдение на частни случаи правим заключение за общата формула.

В математиката обаче е възможно едно твърдение да е вярно за много частни случаи, но да не е вярно винаги.

Например: числото e просто за n = 1; 2; 3…39, но при n = 40 се получава съставно число: 402 + 40 + 41 = 40.( 1 + 40 ) + 41 = 40.41 + 41 = 41.(40 + 1) = 41.41 = 412
За да докажем, че формула (1) е вярна за всяко n, ще проверим верността на S5 като използваме вече намерената сума S4.

получихме, че ако S4 е вярна (т.е. ), то е вярна и S5 ( т.е.).

Аналогично може да се провери верността на S6 ( като знаем, че е вярна S5 ), ако е вярна S6, то е вярна и S7 и т.н.

Ще обобщим горните разсъждения като приемем, че формулата е вярна за произволно естествено число k т.е. при n = k е изпълнено и ще докажем, че е вярна за следващото естествено число k + 1.



формулата е вярна и за формулата е вярна за всяко естествено число n.

Доказателството на задачата извършихме с метода на математическата индукция, който може да се формулира така:



Ако Т(n) е твърдение, в което n може да приема за стойности всяко естествено число () и са изпълнени следните условия:

  1. Твърдението Т(n) е вярно за n=1.

  2. Допускаме, че е вярно твърдението Т(n) за n = k.

  3. Доказваме, че е твърдението Т(n) е вярно за n = k + 1

Тогава твърдението Т(n) е вярно за всяко .

Приложение на метода на математическата индукция


  1. При пресмятане на суми:

  1. Извеждане на формули за дадени суми и доказването им:


1 зад. Да се намери сборът:

Решение: n = 1 S1 = 1

n = 2 S2 = 1+3 = 4

n = 3 S3 = 1+3+5 = 9

n = 4 S4 = 1+3+5+7 = 16

n = 5 S5 = 1+3+5+7+9 = 25

горните равенства ни дават основание да предположим, че
Доказателство:

1. при n = 1 S1 = 1 – твърдението е вярно

2. допускаме, че формулата е вярна за n = k () т.е.

3. Ще докажем, че формулата е вярна и за n = k + 1 ( т.е. )





формулата е вярна за n = k + 1 според принципа на математическата индукция формулата е вярна за всяко естествено число n.


  1. Доказване на верността на дадени формули за суми.

2 зад. Да се докаже, че:

Решение: 1. Проверяваме верността на формулата при n = 1





    1. Допускаме, че формулата е вярна при n = k



    1. Ще докажем верността на равенството за n = k + 1

( т.е. ще докажем, че )



формулата е вярна за n = k + 1 съгласно принципа на математическата индукция тя е вярна за всяко .


  1. Доказване на делимост чрез принципа на математическата индукция.

3 зад. Да се докаже, че се дели на 3 за всяко .

Решение: 1. проверяваме верността на твърдението за n = 1

- дели се на 3

2. допускаме, че твърдението е вярно за n = k т.е. се дели на 3

3. ще докажем, че твърдението е вярно за n = k + 1





се дели на 3 (от индукционното предположение)

3(к2 + к + 2) се дели на 3



сборът на тези събираеми се дели на 3

се дели на 3 според принципа на математическата индукция твърдението е вярно за всяко .



  1. Намиране на последна цифра на число.

4 зад. Да се докаже, че числото завършва на 1 за всяко .

Доказателство: 1. проверяваме верността на твърдението при n = 1

твърдението е вярно

2.допускаме, че твърдението е вярно за n = k т.е. = 10p + 1,

3. ще докажем, твърдението е вярно за n = k + 1

(1)
от допускането в т.2 : = 10p + 1 изразяваме и заместваме в (1).



числото завършва на 1

твърдението е вярно за n = k + 1 съгласно принципа на математическата индукция твърдението е вярно за всяко .


  1. Доказване на неравенства.

В някои задачи принципа на математическата индукция може да се използва за доказване на твърдения, които са верни за всички естествени числа след дадено естествено число . В такива случаи използваме по-общия вариант на принципа, който може да се формулира така:
Нека Т(n) е твърдение, в което участва n () и са изпълнени следните условия:

  1. Твърдението Т(n0) е вярно като n0n; n01; n0

  2. Допускаме, че е вярно твърдението Т(n) за n = k n0.

  3. Доказваме, че е твърдението Т(n) е вярно за n = k + 1

Тогава твърдението Т(n) е вярно за всяко n n0.

Числото n0 се нарича база на индукцията.


5 зад. Да се докаже, че ако и n 3, то

Доказателство: 1. проверяваме верността на твърдението за n = 3

8 > 7 твърдението е вярно

2. Допускаме, че твърдението е вярно за n = k т.е.

3. Ще докажем, че е вярно за n = k + 1



(от индукционното предположение)

за да получим последното неравенство използваме неравенството:

2к + 2 > 3 2к > 1 , което е изпълнено за всяко

твърдението е вярно за n = k + 1 според принципа на математическата индукция то е вярно за всяко .

6 зад. Да се докаже, че ако и n 5, то

Доказателство: 1. проверяваме верността на твърдението при n = 5.

твърдението е вярно

2.Допускаме, че твърдението е вярно за n = k ( т.е.)

3. Ще докажем, че е вярно за n = k + 1 ( т.е. )

- използваме индукционното предположение

( тъй като к5)

(3к1 тъй като к 5 )

твърдението е вярно за n = k + 1 е вярно за всяко .


  1. Решаване на геометрични задачи чрез метода на математическата индукция.

7 зад. Да се докаже, че във всеки изпъкнал n- ъгълник броят на всички диагонали е

Доказателство: 1. проверяваме верността на твърдението за n = 3:

получаваме триъгълник - 0 диагонала твърдението е вярно

2. Допускаме, че е вярно за n = k > 3

( т.е. к – ъгълникът има диагонала )

3. Ще докажем, че всеки к+1- ъгълник има диагонала

Разглеждаме произволен к+1- ъгълник ABCD…P. Ако начертаем диагонала му AC, то многоъгълникът се разделя на един к-ъгълник ACD…P и ∆ABC. Според индукционното предположение к-ъгълникът ACD…P има диагонала.

Но даденият к+1- ъгълник има освен диагоналите на к-ъгълника ACD…P има още диагонала АС и (к + 1) – 3 диагонала през върха В.







твърдението е вярно за n = k + 1 е вярно за всяко .
8 зад. В равнината са дадени n прави, всеки две от които се пресичат и никои три не минават през една точка. Да се докаже, че те разделят равнината на части.

Доказателство: 1. при n = 1 ( една права разделя равнината на 2 части – твърдението е вярно).

2. Допускаме, че твърдението е вярно за n = k > 1 т.е. k такива прави разделят равнината на части.

3. Ще докажем, че (к+1) прави разделят равнината на части:

Правата а пресича всяка от останалите прави и пресечните точки са различни. Тъй като останалите прави са к на брой, върху правата а има к точки, които я разделят на ( к 1 ) отсечки и 2 лъча т.е. ( к + 1 ) части. Всички тези части на правата а лежат в различни части на равнината определени от останалите прави лежат в ( к + 1 ) части от равнината. Но всяка такава част от равнината се разделя от частта от правата а на още две части в равнината се получават още ( к + 1 ) части





твърдението е вярно за n = k + 1 е вярно за всяко


Задачи за упражнение:
Задачи за доказване на формули за суми на числа:


Да се докаже, че:







































Задачи от доказване на делимост чрез принципа на математическата индукция:


  1. Да се докаже, че числото ()се дели на 133.

  2. Да се докаже, че ако , то числото се дели на 49.

  3. Да се докаже, че ако, то числото се дели на 25.

  4. Да се докаже, че ако , то числото се дели на 9.

  5. Да се докаже, че ако , то числото е кратно на 225.

  6. Да се докаже, че ако , то числото е кратно на 35.

  7. Да се докаже, че ако , то числото е кратно на 11.

  8. Да се докаже, че ако , то числото е кратно на 23.

  9. Да се докаже, че ако и , то числото завършва на 7.



Доказване на неравенства чрез принципа на математическата индукция:


  1. Да се докаже, че ако и , то е изпълнено неравенството: .

  2. Да се докаже, че ако и , то е изпълнено неравенството: .

  3. Да се докаже, че ако и , то е изпълнено неравенството: .

  4. Да се докаже, че неравенството за всяко .



  1. Да се докаже, че неравенството за всяко естествено число .


База данных защищена авторским правом ©obuch.info 2016
отнасят до администрацията

    Начална страница