Проектиране на вход към подземен гараж

Проектиране на вход към подземен гараж

Тази задача е вдъхновена от (и е продължение на) Задачата за паркинга, предложена от испанския екип на Mascil (http://www.mascil-project.eu/classroom-material).

Задачата олицетворява математически идеи в контекста на пътното строителство, проектиране на автомобили, архитектура, контрол на трафика („лежащи полицаи“).

От учениците се очаква да изследват реалната ситуация с помощта на хартиени модели и динамичен геометричен софтуер. Въз основа на експериментите те ще подобрят интуицията си за разглежданата ситуация, ще формулират и проверят хипотези и накрая ще намерят практически допустими решения.

Учениците получават задачата да проектират праволинеен наклон, свързващ улицата и подземния гараж на новопостроена сграда, както е показано на Фиг. 1.

Фиг. 1

Фиг. 2

Фиг. 3

За да се увеличат възможностите за изследване и експериментиране, учениците биват подканени да използват някоя от следващите две Експериментални среди (ЕС)

• 
  По-големи или по-малки колела?
  
• 
  По-дълга или по-къса кола-костенурка?
  
• 
  По-стръмен или по-полегат наклон?
  

• 
  Размерът на колелата (понятието окръжност и радиус на окръжност)?
  
• 
  Дължината на колата (разстоянието между центровете на колелата)?
  
• 
  Наклона (помолете учениците да предложат мерки за наклона)?
  

• 
  Коя част на колата-костенурка ще се повреди, ако наклонът е твърде стръмен (предна, горна, задна, долна)?
  
• 
  Какъв е най-стръмният наклон, който колата-костенурка може да преодолее без проблеми?
  
• 
  Коя е най-уязвимата част отдолу на колата-костенурка при преминаване по наклона: предна, задна, средна?
  

Съществуват различни мерни единици за наклона.

Той може да се измерва в проценти „%“ и в градуси “ º “.
Пътен знак за наклона и неговото значение:

Пресмятане на наклона в проценти %:

Връзката между наклона, измерен в проценти и в градуси, може да се изследва в много от следващите експериментални среди:

Учениците проучват наклона, като изпълняват набор от задачи.

Впоследствие стръмността на наклона ще бъде измерена само в градуси. На Фиг. 4 е изобразен наклон от 32º.

Фиг. 4

Фиг. 5

Обърнете внимание на учениците, че ако долната линия на колата-костенурка пресича хоризонталната линия на улицата или наклонената линия (рампата), в точката на пресичане се появява оранжев знак „х“. Това означава, че колата-костенурка не може да преодолее наклона и паркирането не е възможно.

Изследванията с помощта на предоставените експериментални среди и данните от Задача 1 показват, че колата-костенурка не може да преодолее наклона и в този случай паркирането не е възможно.

При намаляване на наклона с помощта на плъзгача α до 25º, паркирането става възможно.

Кола-костенурка	Радиус на колелата	Разстояние между центровете на колелата
КК1	8 см	72 см
КК1	10 см	99 см
КК1	13 cм	111 см

Кола-костенурка	Радиус на колелата	Разстояние между центровете на колелата	Най-стръмен наклон, при който паркирането е възможно
КК1	8 см	72 см	25 º
КК1	10 см	99 см	23 º
КК1	13 cм	111 см	26 º

Друг въпрос, който възниква във връзка със Задача 1, е да се увеличи размера на колелата на колата-костенурка (без да се променя нейната дължина и наклона), така че паркирането да стане възможно. Например, експериментирайки с плъзгача g, учениците откриват, че ако радиусът на колелата е 12, паркирането е възможно.

Изследвайки проблема с експерименталните среди, учениците откриват приблизителната стойност 10,7. Точната стойност е 36 sin17º, което е приблизително равно на 10.525, но в този момент не е необходимо това да се съобщава на учениците. Подобни задачи могат да бъдат дадени за домашна работа.

Още една посока на изследването е да се запазят непроменени радиусът на колелата и наклона, а да се намалява разстоянието между центровете на колелата на колата-костенурка от Задача 1, така че паркирането да стане възможно. Например, при намаляване на дължината на 50 см (вместо на 72 см), колата-костенурка вече лесно може да преодолее наклона от 34º.

Задача 4. Ако радиусът на колелата е 8 см, а наклонът е , каква е максималната дължина между центровете на колелата, при която колата-костенурка може да бъде паркирана в подземния гараж?

Изследванията с експерименталната среда показват, че отговорът е със сигурност между 54 см и 55 см. Точният отговор е 8/sin 17º, но това не е нужно да се съобщава на учениците. Едно много добро приближение е 54.725 см. В този оптимален случай долната част на колата-костенурка докосва началото на рампата, както е показано на Фиг. 6.

Фиг. 6

Тук е подходящо да помолите учениците да измерят (на Фиг. 6, с помощта на инструментите, предоставени от GeoGebra) разстоянията между върха и центровете на колелата на Фиг. 6. Това ще покаже, че двете разстояния са почти еднакви и са равни на половината от разстоянието между центровете на колелата. Аналогично можем да измерим ъгъла между „линията на колата-костенурка“ (отсечката, свързваща центровете на колелата) и хоризонталната права, от една страна, и ъгъла между линията на колата-костенурка и наклона, от друга страна. Двата ъгъла трябва да са почти еднакви и всъщност равни на половината от ъгъла на наклона. Това винаги се получава при „критичната ситуация“ (като на Фиг. 6), независимо какъв е радиусът на колелата и какъв е ъгълът на наклона. Този факт може да бъде „открит експериментално“ от учениците, докато работят по следващата задача с помощта на файла EE2.ggb.

Радиус на колелата	Максимално разстояние между центровете на колелата при което паркирането е възможно	Големина на ъгъла в момента на докосването
8 см
10 см
13 cм
15 см

Да разгледаме сега един по-реалистичен модел на автомобил, показан на Фиг. 7.

Препоръчително е да използвате динамичния файл от:

Фиг. 7

Фиг. 8

(източник: http://stamm.snimka.bg/automobiles/tehnicheski-shemi.523901.19987698 )

Фиг. 9

Когато проучваме задачата за паркиране, трябва да работим с реалното разстояние между земята и най-ниската част на шасито. Това разстояние се нарича „клиренс“ или „просвет“ на автомобила. Ето какво казва Уикипедия по въпроса (http://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%8A%D1%82%D0%B5%D0%BD_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D0%B2%D0%B5%D1%82):

Това е една от особено важните характеристики на автомобила. За повечето автомобили, особено леките, разликите в просвета определят  мобилността  и практичността на автомобила. При по-голям пътен просвет центърът на тежестта на превозното средство се измества по-високо, което го прави трудно за управление и увеличава вероятността от преобръщане.   По-големият пътен просвет обаче е по-подходящ за неравен терен, тъй като намалява риска от сериозно одраскване и съответно повреди на шасито и долната част на автомобила. По-големият пътен просвет също така се отразява негативно на аеродинамичните качества на колата.   Обикновено за спортните коли е характерен нисък пътен просвет, а за превозните средства с висока проходимост (джипове и други) - голям пътен просвет.       Типични представители на двете крайности в това отношение са Ferrari F40 и Hummer.  

Можете да намерите повече информация за изкуствените неравности по пътя (лежащи полицаи) на http://en.wikipedia.org/wiki/Speed_bump

Вижте също „Най-големият враг на супер автомобилите - лежащите полицаи“ на https://www.youtube.com/watch?v=GSUU5xOMAU8

ПРИКАЧЕН ФАЙЛ: Примерни планове на урока

5 мин. Разделете класа на малки работни групи (3-4 ученици) и ги запознайте с проблема. Оставете на учениците няколко минути да обмислят факторите, които трябва да се вземат предвид при създаване на конструкцията.

5 мин. Обобщете идеите на учениците чрез дискусия с целия клас в продължение на пет до десет минути.

Въпроси за разглеждане при определяне на факторите, които улесняват паркирането:

• 
  По-големи или по-малки колела?
  
• 
  По-дълга или по-къса кола-костенурка?
  
• 
  По-стръмен или по-полегат наклон?
  

• 
  Размерът на колелата (понятието окръжност и радиус на окръжност)?
  
• 
  Дължината на колата (разстоянието между центровете на колелата)?
  
• 
  Наклона (помолете учениците да предложат мерки за наклона)?
  

• 
  Коя част на колата-костенурка ще се повреди, ако наклонът е твърде стръмен (предна, горна, задна, долна)?
  
• 
  Какъв е най-стръмният наклон, който колата-костенурка може да преодолее без проблеми?
  
• 
  Коя е най-уязвимата част отдолу на колата-костенурка при преминаване по наклона: предна, задна, средна?
  

10 мин. Разделете класа на малки работни групи (3-4 ученици) и ги запознайте с проблема. Припомнете работата им по част 1 на задачата за подземния паркинг. Раздайте им материала със задачите.

35 мин. Оставете ги да работят на групи по трима-четирима. Обикаляйте между групите и обсъждайте с тях какво правят. Посочвайте им елементи, на които да обърнат внимание. Вижте бележките по-долу за това кои елементи да подчертаете.

5 мин. Обобщете въпросите, поставени от учениците по време на урока. Запознайте ги с домашната работа.

5 мин. Разделете класа на същите групи като предишния ден. Изяснете въпросите от предишния ден. Раздайте им материала със задачите.

30 мин. Оставете ги да работят по задачата. Обикаляйте между групите и обсъждайте с тях какво правят. Посочвайте им елементи, на които да обърнат внимание. Вижте бележките по-долу за това кои елементи да подчертаете.

15 мин. Дайте възможност на учениците да представят работата си.

CC BY-SA mascil consortium 2014
Проектът mascil получава финансиране от Седмата рамкова програма на Европейския съюз за научни изследвания и технологично развитие по Договор № 320 693.