Програмни средства за компютърна алгебра, ориентирани към обучението по математика маргарита Спиридонова



Дата19.08.2017
Размер127.79 Kb.
ПРОГРАМНИ СРЕДСТВА ЗА КОМПЮТЪРНА АЛГЕБРА,

ОРИЕНТИРАНИ КЪМ ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА
Маргарита Спиридонова

Институт по математика и информатика, БАН

e-mail: mspirid@math.bas.bg
Мария Нишева-Павлова

Факултет по математика и информатика, СУ “Св. Кл. Охридски”

e-mail: marian@fmi.uni-sofia.bg
1 Въведение

Съвременните системи за компютърна алгебра (СКА), наричани често системи за символни и алгебрични пресмятания, системи за математически пресмятания или системи за компютърна математика, представляват програмни среди за символни и числени пресмятания и за визуализация на функции и данни. Те боравят с изрази, представени символно, и извършват над тях определени преобразования или решават определени типове задачи от различни области на математиката.


В исторически аспект СКА се разработват и използват от около четири десетилетия и за този период са разработени няколко десетки СКА - с общо предназначение (с богат набор от операции от различни области на математиката) и специализирани (ориентирани към приложение в определена област). У нас са познати и използвани, например, СКА с общо предназначение (с версии за различни типове компютри) MATHEMATICA, MAPLE, DERIVE, MACSYMA, MATLAB, REDUCE и др.
СКА намират приложение предимно в научно-изследователската работа, при решаване на научно-технически задачи и в обучението. Докато за научните изследвания в редица области и за инженерните пресмятания тези системи вече са естествено помощно средство, за обучението по математика това става по-бавно. За последните няколко години, обаче, е характерен "бум" в това направление. Това се вижда от публикации в списания, свързани с приложението на СКА или с използването на компютри в обучението по математика, от тематиката на редица международни конференции, от информационни материали, достъпни чрез Интернет.
На разширяващото се приложение на СКА влияят, разбира се и новите технологии, особено появата на графичните калкулатори, наричани често алгебрични калкулатори (АК) поради вградените в тях възможности на конкретна система за компютърна алгебра. Те все повече се използват и тяхното най-широко приложение вероятно ще бъде за целите на обучението.
Нека отбележим, че СКА и АК се използват не само в обучението по математикам; макар и в по-малка степен, те намират приложение и в обучението по физика, химия, технически и икономически науки и др.
Понятието програмни средства за компютърна алгебра включва СКА, отделни пакети, програми за самостоятелно обучение (“tutorials”), програмни среди, базирани на конкретна СКА и др.
2. СКА и обучението по математика
Системите за компютърна алгебра (СКА), като важен компонент на съвременния математически софтуер, са естествено помощно средство при преподаването и изучаването на математически дисциплини в университетите и училищата. Както беше споменато по-горе, една съвременна СКА с общо предназначение представлява среда за символни и числени пресмятания и визуализация на функции и данни. В такава компютърна среда математиката изглежда по-привлекателна и по-достъпна, по-лесно и естествено се осмислят нещата като се свърже аналитичния с графичния подход (например при разглеждане на понятието функция) и т.н. При това използването на СКА подпомага, а не заменя упражненията, а в много случаи и новият материал може да се възприеме по-добре, ако се илюстрира по подходящ начин с една СКА.
Представляват интерес изследвания, разглеждащи промените, които възникват под влияние на използването на СКА и АК в обучението по математика - в неговите цели, съдържание и методи на работа [17]. Обсъждат се технологичните и дидактически аспекти на новата ситуация, в която се намира преподавателят, необходимостта от неговата “преориентация”.
А в статията [15] се отбелязват следните важни моменти в използването на СКА и АК в обучението: постига се "тривиализация" в работата (нещата изглеждат по-лесни), усвояване на знания чрез експериментиране, визуализация (онагледяване на разглежданите понятия), концентрация на вниманието на учениците (или студентите). Разбира се, всичко това може да бъде разгледано в контекста на споменатите в предишния абзац промени. За сметка на автоматизираното извършване на рутинни пресмятания, например, може да се обърне по-голямо внимание на същността на математическите понятия и развитието на математическото мислене, на възможностите за решаване на задачи “от реалния свят” и т.н.
В нашите училища и университети използването на компютри и създаването на компютърни класове или лаборатории е нещо обичайно. Те, обаче, рядко се използват в обучението по математика. Добро изключение е приложението на езика Logo за представяне на математически обекти (предложено в учебниците по математика и информатика от авторски колектив под ръководството на акад. Бл. Сендов), използването на системата Планиметрия, някои експерименти напоследък за използване на алгебрични калкулатори в часовете по математика и др.
Въпросът “използват ли се компютри в обучението по математика” поражда допълнителни въпроси - има ли подходящ софтуер, достъпен ли е той, колко лесно се усвоява, как би повлияло неговото използване на учебните програми и т.н.
Една от целите на настоящия “site” е да предложи отговори на част от тези въпроси с предоставяне на подходяща информация на нашите преподаватели предимно от училищата. Постигането на тази цел безспорно би било полезно не само защото обучението по математика обикновено се съпътства с трудности, особено в училище, но и защото у нас няма такъв тип средства на разположение на учителите. СКА се използват предимно в някои университетски курсове и в единични случаи в училище, предимно в извънкласната работа.


3. Изследвания по разглежданата тематика в международен аспект

СКА се използват на всички нива на обучението по математика - от началното училище до университетите. Това е валидно предимно за чужбина поради факта, че материалната база е важна предпоставка за приложението на СКА, а у нас често наличието на компютри и легален софтуер е проблем.


Най-многобройни са приложенията на СКА за обясняване и онагледяване на различни понятия, както и за демонстриране на методи за решаване на задачи в разнообразни математически области: елементарна и линейна алгебра [1,4,11], геометрия [2,12], математически анализ [2,3,6,14], дискретна математика [2], числени методи [7] и др. Извършват се и експерименти за използване на СКА с цел развиване на математическото мислене на обучаемите и способностите им за решаване на нестандартни задачи [5,8,13].
Представляват интерес не само директните приложения на съвременните СКА и АК в обучението по математика, а също така изследвания и разработки, улесняващи това приложение. На първо място следва да отбележим наличието на СКА, проектирани специално за целите на обучението (макар, че могат да имат и други приложения) - такива са, преди всичко DERIVE [16,24] и MuPAD [25], като тяхното развитие и усъвършенстване продължава. Създават се и нови системи с подобно предназначение и в Интернет може да се намери информация за това (напр. в [23] Symb. Net, CAN, ... ). Друга група разработки е свързана с научно-изследователски проекти, включващи изследвания на различни аспекти на приложението на СКА в обучението по математика, разработване на системи за самостоятелно обучение (така наречените “tutorials”), математически курсове, базирани на конкретни СКА и др.
Редица автори анализират и някои недостатъци на съществуващите СКА (и АК), които създават проблеми при използването им за образователни цели. Така например, известно е, че всяка СКА съдържа определен обем математически знания и в мощните СКА като Reduce, Macsyma, Maple, Mathematica и др. (нека ги наречем “класически”) този обем е твърде голям, но това са предимно алгоритмични знания и всеки програмиран алгоритъм е затворена кутия, която можем да използваме с определени параметри, за да получим определен резултат. Това понякога затруднява интерпретацията на получените резултати, тъй като системата не дава информация за отделните стъпки, на които е получено решението, за това, по какъв начин е решена поставената задача, защо резултатът действително е решение на задачата и т.н. Друг проблем е, че често при решаването на дадена задача е трудно да се избере най-подходящият за целта метод или алгоритъм измежду предлаганите от системата. Нещо повече, много от реализираните в “класическите” СКА алгоритми са различни от традиционно изучаваните в средното училище. Същевременно използването в средата на подходящо подбрани математически знания относно свойствата на типовете математически обекти, методите за решаване на различните класове задачи и т.н., представени в явен, декларативен вид, дава определени предимства в сравнение със системите от “класически” тип. Интегрирането на класическите подходи за създаване на СКА с методи и средства на изкуствения интелект в една специализирана програмна среда ще позволи преодоляването на недостатъци от типа на споменатите и ще придаде на средата характеристиките на интелигентна програмна среда. Тази среда ще притежава също така интелигентен интерфейс, ориентиран предимно към потребители, преподаващи и изучаващи математика.
Разглежданата тематика ежегодно е предмет на международни конференции (през настоящата година има поне 4 такива), като се издават томове с докладите или се подготвят “Electronic Proceedings”. Статии в тази област се публикуват в реномираното списание “International Journal of Computer Algebra in Mathematics Education” (IJCAME). Членове на колектива на настоящия проект са участвали с доклади и публикации в споменатите форуми (напр. [10] и [19] )
Съществува международна организация по проблемите на СКА в обучението, с име CAME (Computer Algebra in Mathematics Education) и на нейния адрес [22] в Интернет може да се намери информация за многобройни приложения на СКА в обучението по математика както в средните училища, така и в университетите.
4. Изводи
Приложението на СКА и АК в обучението по математика е предизвикателство за преподавателите по математика и макар, че е свързано с проблеми от различен характер, тяхното решаване си струва усилията. СКА трябва да намерят своето естествено място в часовете по математика . Но този процес трябва да бъде подпомогнат и това е особено актуално за нашата страна. В този смисъл считаме, че публикуването на материали в Интернет (наши изследвания и обзори) и улесняването на достъпа до подходяща информация в световната мрежа е особено полезно.


4. Наши изследвания по темата
В секция "Изкуствен интелект" на ИМ при БАН има натрупан около 20 годишен опит в областта на СКА. В част I. на приложената литература са представени публикации върху основните резултати в секцията в тази област.

Съществена част от изследванията в областта на СКА е свързана с развитие и приложение на системите REDUCE, SAC-2, FORMAC, MAPLE и MATHEMATICA.

Разработена е концепция за интелектуализирани аналитично-изчислителни системи (ИАИС) [I.8,15,29], различни аспекти от която са реализирани в някои специализирани СКА, създадени в секцията [I.10,18,21].

Разработени са специализирани СКА и програмни пакети с различно предназначение. Предвижданото приложение на някои от тях е свързано с обучението в някои университетски курсове.


Някои публикации на членове на колектива, напр. [10, 19, 20, 21] разглеждат проблеми на приложението на СКА в обучението.
Част от изследванията са свързани с два договора с НФНИ и с две съвместни теми с чуждестранни институти. (CNRS, Франция и Университета в Беер Шева, Израел).
Във Факултета по математика и информатика на Софийския университет "Св. Климент Охридски" (катедра “Компютърна информатика”) се извършват изследвания върху различни аспекти на създаването на интелигентни СКА [II.11-15].

Създадена е експериментална интелигентна система за компютърна алгебра, наречена STRAMS [9,10]. Изследвана е потенциалната приложимост на STRAMS в обучението по различни математически дисциплини:



  • като "експерт", който може да решава задачи от съответната област (включително стъпка по стъпка) и да обяснява по подходящ начин резултатите от своята работа;

  • като средство за изграждането на отделни модули на интелигентни системи за обучение в областта на елементарната алгебра, тригонометрията, математическия анализ и др.

В изследванията в тази област участват и дипломанти.

ЛИТЕРАТУРА
I. ПУБЛИКАЦИИ, СВЪРЗАНИ С РАЗРАБОТКИ В ОБЛАСТТА

НА СИСТЕМИТЕ ЗА КОМПЮТЪРНА АЛГЕБРА

В СЕКЦИЯ "ИЗКУСТВЕН ИНТЕЛЕКТ" НА ИМИ ПРИ БАН

1. В. Томов, М. Спиридонова, Ал. Геров, Възможности на съвременните системи за аналитични преобразования. АСУ, 983, No. 1

2. Спиридонова, М., Хр. Казасов, Аналитично извършване на Лапласово преобразование с помощта на ЕИМ. АСУ, 1983, N 3.

3. Brankov, G., M. Spiridonova, K. Ishtev, Ph. Philipov, Modelling of Building structures behavior under seismic loading with use of an algebraic manipulation system. Proceedings of the 7th European Conference on Earthquake Engineering, Athens, 1982.

4. Томов, В., Й. Харизанов, Система аналитичного вычисления неопределенных интегралов рациональных функции. Сборник докладов конференции по системам для автоматизированного информационного обслуживания, Варна, 3-8 октября 1983 г.

5. Спиридонова, М., Л. Хаджиков, П. Динева, Исследование реакции динамической модели со сосредоточенными массами при помощи системы аналитических преобразовании REDUCE-2. Сборник докладов конференции по системам для автоматизированного информационного обслуживания, Варна, 3-8 октября 1983.

6. Спиридонова, М., К. Ищев, Ф. Филипов, Применение структур-ного метода при аналитическом решении волновых задач. Сборник докладов конференции по системам для автоматизированного информационного обслуживания, Варна, 3 - 8 октября 1983 г.

7. Геров, А., А. Григоров, Аналитично-вычислительная система для работы с матрицами. Сборник докладов конференции по системам для автома-тизированного информационного обслуживания, Варна, 3-8 октября 1983 г.

8. Tomov, V., M. Spiridonova, A. Gerov, Intelligent Computer Algebra Systems. International Conference on Artificial Intelligence - Methodology, Systems, Applications, Varna, 17-20 Sept. 1984.

9. Spiridonova, M., M. Djambazova, Knowledge-based Extension of REDUCE-2 System. International Conference on Artificial Intelligence-Methodology, Systems, Applications, Varna, 17-20 Sept. 1984.

10. Геров, А., Н. Куманов, Автоматизированная среда для аналитических преобразований. International Conference on Artificial Intelligence - Methodology, Systems, Applications, Varna, 17-20 Sept. 1984.

11. Томов, В., М. Спиридонова, А. Геров, Развитие и возможности систем аналитических преобразований. Международная конференция на тему "Автоматизация научных исследований", Пловдив, 15-20 октября 1984.

12. Геров, А., Е. Дечева, Аналитическое вычисление собственных значений и собственных векторов матриц. Международная конференция на тему "Автоматизация научных исследований", Пловдив, 15-20 октября 1984

13. Нишева, М., Т. Тонев, Основные возможности аналитично-вычислительной системы для работы с непрерывными дробями. Международная конференция на тему "Автоматизация научных исследований", Пловдив, 15-20 октября 1984.

14. Спиридонова, М., М. Джамбазова, Создание и использование баз математических знаний при работе с системой REDUCE 2. Международная конференция на тему "Автоматизация научных исследований", Пловдив, 15-20 октября 1984.

15. Геров, А., Ю. Капитонова, М. Спиридонова, В. Томов, Интеллектуальные системы аналитических преобразований. В книге "Представление знаний в человеко-машинных и робототехнических системах", том С - "Прикладные человеко-машинные системы, ориентированные на знания", ВЦ АН СССР, ВИНИТИ, Москва, 1984.

16. Томов, В., М. Спиридонова, А. Геров, С. Върбанов, Аналитично-изчислителни системи. III международна школа "Автоматизация и научно приборостроене", Варна, 1984.

17. Томов, В., А. Геров, М. Спиридонова, Системи за аналитични преобразования. В сб. "Математика и математическо образование. Доклади на ХIV пролетна конференция на СМБ, Слънчев бряг, 6-9 април 1985 г. ", Издателство на БАН, София, 1985, стр. 92-103.

18. Геров, А., Н. Куманов, Планиране на действията в аналитично-изчислителните системи. В сб. "Математика и математическо образование. Доклади на ХIV пролетна конференция на СМБ, Слънчев бряг, 6-9 април 1985 г. ", Издателство на БАН, София, 1985, стр. 362-367.

19. Nisheva, M., T. Tonev, A System for Continued Fractions Manipulation. International Conference on Complex Analysis and Applications, Varna, May 5-11, 1985.

20. А. Геров, Интегрированные численные и символьные вычисления на основе языка АЛДЕС. Сборник трудов Международного совещания по аналитическим вычислениям на ЭВМ и их применению в теоретической физике, Дубна, 17-20 сентября 1985, с. 126-129.

21. А. Геров, Реализация специализированной аналитично-вычислительной системы в области линейной алгебры. Пети семинар с международно участие "Проблемы информатики и ее применения в управлении, обучении и научных исследованиях", Гьолечица, 6-9 юни 1986г.

22. М. Спиридонова, Организация и применение баз символьных преобразований на основе системы REDUCE. Сборник трудов Международного совещания по аналитическим вычислениям на ЭВМ и их применению в теоретической физике (Дубна, 17-20 сентября 1985), с. 28-32.

23. С. Вырбанов, Система факторизации полиномов, Труды Международного совещания по аналитическим вычислениям на ЭВМ и их применению в теоретической физике, 17-20 сентября 1985, Дубна, СССР, 59-64.

24. V. Tomov, M. Nisheva, T. Tonev, Computer Algebra System for Continued Fractions Manipulation. Proceedings of the European Conference on Computer Algebra EUROCAL'87, Leipzig, LNCS ¹ 378, Springer Verlag, 1989

25. Spiridonova, M., Some Extensions and Applications of REDUCE System, Proceedings of the European Conference on Computer Algebra EUROCAL'87, Leipzig, LNCS 378, Springer Verlag, 1989

26. М. Спиридонова, М. Нишева. Аналитико-вычислитеьные системы: остояние и перспективы. Сб. трудов Первого научного семинара с междунар. участием "Проблемы и применения искусственного интеллекта", Варна, 21-25 сент., 1987 г.

27. Тренков, И., М. Спиридонова, Аналитическое решение математических дадач для применения в высшей геодезии, Труды Первого научного семинара с международным участием "Проблемы и применения искусственного интеллекта", Варна, 21-25 сентября, 1987 г.

28. Спиридонова, М., Ч. Докев, И. Диков, Система за аналитични преобразования на степенни редове, Математика и математическо образование, Сб. доклади на XVIII пролетна конференция на СМБ, Албена, 1989

29. Спиридонова, М., М. Нишева, Интеллектуализированные системы аналитических преобразований и их применение в научных исследованиях и проектировании. Сб. трудов международного семинара "Теория и применение искусственного интеллекта" - ИИ'89, Созопол, 29 мая - 2 июня, 1989 г.

30. Диков, И., Обръщане на степенни редове, Сб. доклади на XIX пролетна конференция на СМБ, 1990

31. Dikov, I., Computing the general term of power series, Proc. of the Intern. conf. on Computer Algebra Systems in Phis. Res., Dubna, 1990

32. Trenkov I., M. Spiridonova, M. Daskalova, Bases of symbolic transformations for mathematical geodesy problems, Proc. of the Intern. conf. On Computer Algebra Systems in Phis. Res., Dubna, 1990

33. Trenkov I., M. Spiridonova, M. Daskalova, An application of the REDUCE system for solving a mathematical geodesy problem, Proc. of the 1991 Intern. Symposium on Symbolic and Algebraic Computation ISSAC'91, July 15-17, 1991, Bonn, Germany, ACM Press, 1991

34. M. Spiridonova. The Computer Algebra System MAPLE - a convenient tool for scientific computations, Mathematical Modelling: Methodology, Software Tools and Applications, Proc. of the Intern. Conference on Mathematical Modelling and Scientific Computation, Sozopol, September 14-18, 1993, E.Popova (Ed.), DATECS Publ., Sofia,1993, pp. 54-57

35. М. Spiridonova, J. A. Desideri. Symbolic Computations for the Analysis of Finite-Difference Schemes by the Modified Equation Approach, International Workshop "Computer Algebra Applications", July 9, 1993, Kiev, Ukraine, Extended Abstracts of Contributions, St. Petersburg, 1993, рр. 46-49

36. М. Спиридонова, М. Байчева, Символьное выполнение преобразования Лежандра, Сп. "Программирование", N 4, 1994, Наука, Москва, стр. 77-85

37. М. Dascalova, M. Тоmеv, M. Spiridonova, Symbolic and Numerical Computations for Mathematical Geodesy Problem Solving by MGCOMP, ИНФОРМАТИКА'94, Сб. доклади на конференцията на Съюза по автоматика и информатика - ноември, 94 г., София, стр. 75-82

38. Spiridonova M., L. Alamanov, P. Kenderov, Implementa- tion of Convex Analysis Operations Using Maple, W. Kuechlin (Ed.), Posters of the ISSAC'96 Conference, ETH, Zurich, 1996, pp. 79-82

39. Spiridonova M., Approaches to Development and Use of Formulae Bases, Proc. of the Intern. Workshop "Applications of Artificial Intelligence Methods in the Humanities", sponsored by UNESCO-ROSTE, Sozopol, Sept. 18-22, 1996, pp. 132-136

40. Spiridonova, M., J.-A. Desideri, Symbolic Derivation of Linear and Nonlinear Modified (Partial Differential) Equations, Математика и Математическо Образование, Сб. Доклади на XXVII Пролетна конф. на СМБ, 9-11 април, 1998, стр. 234-238


II. ДРУГИ ЛИТЕРАТУРНИ ИЗТОЧНИЦИ, ЦИТИРАНИ В ТЕКСТА

1. Bosma, W., J. Cannon. Handbook of MAGMA Functions. Sydney, 1994.

2. Calmet, J., I. Tjandra. On the Design of an Artificial Intelligence Environment for Computer Algebra Systems. In: D. Shirkov, V. Rostovtsev, V. Gerdt (Eds.), Computer Algebra in Physical Research. World Scientific, Singapore, 1991, 4-8.

3. Calmet, J., I. Tjandra. A Unified-Algebra-based Specification Language for Symbolic Computing. LNCS, 722 (1993), Springer-Verlag, 122-133.

4. Carbonell, J. Learning by Analogy: Formulating and Generalizing Plans from Past Experience. In: R. Michalski, J. Carbonell, T. Mitchell (Eds.), Machine Learning. Tioga, CA, 1983, 137-161.

5. Clarkson, M. Praxis: Rule-based Expert System for Macsyma. LNCS, 429 (1990), Springer-Verlag, 264-265.

6. Jenks, R., R. Sutor. AXIOM. Springer-Verlag, 1992.

7. Kapitonova, Y., A. Letichevsky, M. L'vov, V. Volkov. Tools for Solving Problems in the Scope of Algebraic Programming. LNCS, 958 (1995), Springer-Verlag, 30-47.

8. Letichevsky, A., J. Kapitonova, S. Konozenko. Computations in APS. Theoretical Computer Science, 119 (1993), 145-171.

9. Silver, B. Precondition Analysis: Learning Control Information. In: R. Michalski, J. Carbonell, T. Mitchell (Eds.), Machine Learning, Vol. 2. Morgan-Kaufmann, 1986, 647-670.

10. Calmet, J., K. Homann, I. Tjandra. Hybrid Representation for Specification and Communication of Mathematical Knowledge. In: K. Homann, S. Jacob, M. Kerber, H. Stoyan (Eds.), Proceedings of the Workshop on Representation of Mathematical Knowledge, 12th European Conference on Artificial Intelligence, Budapest, 1996.

11. Nisheva-Pavlova, M. Experimental Software Tool for Developing Computer Algebra Systems for Personal Computers. In: D. Shirkov, V. Rostovtsev, V. Gerdt (Eds.), Computer Algebra in Physical Research. World Scientific Publishing Co., Singapore, 1991, pp. 27-30.

12. Нишева-Павлова, М., Ц. Димова. STRINT - eкспериментална интелигентна система за символно интегриране. В сб. "Математика и математическо образование. Доклади на XXIV пролетна конференция на СМБ, Свищов, 4-7 април 1995 г.", София, 1995, стр. 443-448.

13. Нишева-Павлова, М. Експериментална система за компютърна алгебра, основана на знания. В сб. "Математика и математическо образование. Доклади на юбилейната XXV пролетна конференция на СМБ, Казанлък, 6-9 април, 1996", София, 1996, стр. 205-208.



14. Nisheva-Pavlova, M. A Knowledge-Based Approach to Building Computer Algebra Systems. Proceedings of JCKBSE'96 (Sozopol, 1996), pp. 222-225.

15. Nisheva-Pavlova, M. KAM - A Knowledge-Based Tool for Developing Computer Algebra Systems. To appear in Ann. Univ. Sofia, Fac. Math. 90 (1996).


База данных защищена авторским правом ©obuch.info 2016
отнасят до администрацията

    Начална страница