Проверка на законите на въртеливото движение с махалото на обербек теоретична част

Махалото на Обербек (фиг.1) се състои от четири метални пръчки, закрепени на една втулка под прав ъгъл една спрямо друга. На същата втулка са поставени две шайби с различни радиуси r₁ и r₀ . Цялата тази система може да се върти свободно около хоризонтална ос. На металните пръчки могат да се поставят четири еднакви тежести с маса m₀ , които могат да се закрепват на различни разстояния от оста на въртене, а с това да се изменя инерционния момент на махалото. На една от шайбите се навива здрав конец, към свободния край на който се завързва тежест с маса m. Под действие на тежестта конецът се развива и привежда махалото в равноускорително въртеливо движение около хоризонтална ос О'О''.

Уравнението на постъпателното движение на тежестта m, завързана в края на конеца, е

където mg е теглото на тялото, T – силата на опъване на конеца, a – ускорението на постъпателно движение на тялото. Силата, която създава въртящия момент, е силата на опъване на конеца и нейната стойност от горното равенство ще е

Под действие на този въртящ момент (момент на силата) М махалото извършва ускорително въртеливо движение движение с ъглово ускорение_. При въртене около постоянна ос въртящият момент се дефинира като произведение от силата и нейното рамо. Ако шайба с радиус r се върти под действие на силата на опъване T на навит на нея конец, въртящият момент, предвид и (1), ще бъде

От друга страна, ако означим с _инерционният момент на махалото без допълнителните тежести m₀, основното уравнение на динамиката на въртеливото движение ще бъде



Това уравнение ще проверяваме експериментално и по-конкретно: ако една от величините е постоянна, връзката между другите две отговаря ли на тяхното съотношение от (3).

В (2) и (3) участват величините a и _, които могат опитно да се определят по следния начин: със секундомер измерваме времето t за спускане на тежестта m на височина h, измерена с милиметрова скала. При равноускорително постъпателно движение без начална скорост имаме

_ → _ (4)

Ако конецът се развива по шайбата без хлъзгане, връзката между ъгловото и линейното ускорение е







За два различни момента на силата М₀ и М₁ (конеца се навива на две шайби с различни радиуси _) и _= const, основното уравнение (3) ще бъде _ и _, откъдето следва след разделяне на двете уравнения



Моментите М₀ и М₁ се определят като се използва (2), а съответните им ъглови ускорения _и _ - като се използва (5). Дадената връзка между М и ε в основното уравнение (3) се проверява чрез приблизителното равенство на лявата и дясната страна на (6).

За да проверим опитно равенството (6), постъпваме по следния начин. Снемаме допълнителните тежести m₀ от пръчките на махалото. С техническа везна определяме масата m на тежестта, окачена на конеца. С шублер измерваме диаметъра на шайбата 2_, на която сме навили конеца, а с ролетка определяме височината h, на която се спуска тежестта при движението си надолу.

Чрез завъртане на махалото с ръка навиваме конеца на шайбата с радиус _, след което пускаме в движение махалото. Със секундомер измерваме времето t₀ за спускане на тежестта m на височина h. Опита повтаряме няколко пъти и вземаме средната стойност на t₀. По същия начин определяме времето t₁, когато конецът е навит на другата шайба с радиус _. След като определим средните стойности на времената t₀ и t₁ за спускане на тежестта m, по формули (4) и (5) намираме съответните линейни и ъглови ускорения, а по (2) – моментите M₁ и M₂ . Накрая определяме отношенията _ и _ , с което проверката на закона (6) е извършена.

Предложената методика на проверка на (6) изисква междинни числени пресмятания на величините, участващи в по-горните равенства, което може да доведе до междинни технически грешки при изчисленията. Тези числени пресмятания могат да се облекчат, ако предварително намерим израз за (6), в който участват само буквените означения на измеряемите величини и чак тогава да се замества с числените стойности. Ако поставим индекс нула на измеряемите величини, когато конецът е навит на шайбата с радиус _ , а индекс единица, когато конецът е навит на шайбата с радиус _ и разпишем подробно равенствата от (1) до (5), ще получим:

_ , _ , _ , _ (7)

_ , <sub>

</sub> , _ (8)

От (7) и (8) следва







Заместваме (9) в (6)





Проверката за равенство на двете страни на (6) се свежда до проверка за равенство на двете страни на (10), което предполага по-лесни и бързи числени пресмятания.

m kg	h m	r0 m	r1 m	t0(средно) s	t1(средно) s



Ако конецът е навит на шайбата с радиус _, от (3), (7) и (8) може да се изчисли _ по следния начин:





Данните се вземат от таблицата.

За да запазим момента М на силата постоянен, трябва при опита да използваме една и съща шайба (с по-големи радиус _) и една и съща тежест на конеца с маса m. При преместване на допълнителните тежести m₀ по пръчките (фиг.1) на различни разстояния R₁ и R₂ от оста на въртене (така се променя разпределението на масата на системата), махалото ще има различни инерционни моменти I₁ и I₂ . Ако смятаме допълнителните тежести за малки (материални точки) с маса m₀ всяка, намиращи се на разстояние R от оста на въртене, приносът на всяка от тях към инерционния момент на махалото ще бъде _. Тогава общият инерционен момент на махалото (системата) ще бъде



където _ е инерционният момент на махалото без допълнителните тежести, който изчислихме във 2-ра задача (тежестите са 4 и са раположени на еднакво разстояние R от оста).

Опитно връзката между инерционните моменти на махалото и съответните ъглови ускорения се проверява по следния начин. Измерваме масата _ на всяка от допълните тежести и ги закрепваме на равни разстояния R₁ от оста на въртене на махалото. Повтаряме всички измервания, указани в първата задача, в резултат на което могат да се пресметнат инерционният момент на системата I₁ и ъгловото ускорение _ за даденото разположение на масите спрямо оста на въртене. Прилагайки (3), (5) и (12) за този случай, получаваме

_, _ , _ (13)

Повтаряме същите опити при закрепване на тежестите _ на друго разстояние R₂ от оста на въртене и аналогично на (13) за този втори случай на разпределение на масата на системата можем да запишем:







От първите равенства на (13) и (14) получаваме търсената връзка, която ще проверяваме:_







и след заместването на величините в (15) проверката на връзката се свежда до сравняване на числените стойности на двете страни на равенството



Резултатите от измерванията се нанасят в следната таблица:

kg	kg.m2	R1 m	t1 s	R2 m	t2 s