Разрезни усилия дефиниране на разрезни усилия. Метод на сечението



Дата24.10.2018
Размер464.68 Kb.
ГЛАВА 1

РАЗРЕЗНИ УСИЛИЯ

    1. ДЕФИНИРАНЕ НА РАЗРЕЗНИ УСИЛИЯ. МЕТОД НА СЕЧЕНИЕТО.

Разглежда се натоварена греда, намираща се в равновесие под действие на външни товари. Те предизвикват нейното деформиране. При това разстоянието между частиците на гредата се променя, а това предизвиква изменението на силите на взаимодействие между тях. Допълнителните сили на взаимодействие, възникващи в тялото, се наричат вътрешни сили. Те представляват интерес, защото са свързани със съпротивляването на тялото на външното въздействие, а следователно, и с неговата якост. Вътрешните сили са количествена мярка за взаимодействието на две части от едно тяло, разположени от различни страни на едно сечение.

Вътрешните сили се определят с универсалния метод на сечението. Същността му се състои в следното: Нека гредата на фиг. 1.1. е в равновесие под действие на системата сили Тези товари се наричат външни. Те включват тези от външното въздействие, а също и определените предварително опорни реакции.

Фиг. 1.1: Натоварена греда


С равнина, перпендикулярна на надлъжната ос на гредата, тялото се разделя на две части. Те си граничат с напречно сечение. Отстранява се едната част (обикновено тази с по-голям брой товари). Разглежда се другата част на гредата, например лявата.


Фиг. 1.2: Лява част на натоварената греда
В Съпротивление на материалите е в сила хипотезата за локалното равновесие. Ако едно тяло е в покой, то всяка негова част ще бъде също в покой. От тази хипотеза следва, че и разглежданата лява част от гредата трябва да бъде в равновесие под действие на товарите. Външните сили, действащи върху тази част на гредата не са в равновесие. Затова в напречното сечение трябва да се добавят други сили. Тези допълнителни товари са вътрешни сили, които отразяват влиянието на дясната част вурху лявата.

Ако след мисления рарзрез на гредата се избере дясната част, то в напречното сечение трябва да се въведат вътрешни сили, отразяващи влиянието на лявата част върху нея. Съгласно с принципа за действието и противодействието вътрешните сили, действащи върху едната, и тези, действащи върху другата отделена част, винаги са с равни големини, еднакви направления и противни посоки.

Вътрешните сили са приложени в безброй многото точки на напречното сечение и не могат да се определят. Затова се използва общата методология на теоремата на Poinsot от курса по Теоретична механика за привеждане на произволна система сили към зададен център. Louis Poinsot (1777-1859) е френски математик.

Редуцирането на системата вътрешни сили се извършва за центъра на тежестта на напречното сечение и в резултат се получават главен вектор и главен момент . Проекциите им върху осите на декартова координатна система се наричат разрезни усилия,

В пространствения случай на натоварване при разглеждана лява част се въвежда координатна система с начало в центъра на тежестта на напречното сечение. Оста е перпендикулярна на равнината му и е насочена извън него, т.е. съвпада с външната нормала на сечението. Осите и са в равнината на напречното сечение. Трите оси , и образуват дясна координатна система.

Фиг. 1.3: Разрезни усилия в пространствения случай

Векторите и са представени чрез проекциите си върху осите на тази декартова координатна система. Ако разглежданата част е лява, то тези проекции се нанасят винаги в посока на осите.

Ако се избере дясна част, то в центъра на напречното сечение се въвежда дефинираната по-горе координатна система. Видно е, че оста е насочена към сечението. Тогава всички разрезни усилия се нанасят в посока, обратна на тази на съответната ос.



Разрезните усилия п пространствения случай са шест на брой и се означават по следния начин:

- нормална (надлъжна) сила; - напречна сила по оста ;

- напречна сила по оста ; - усукващ момент;

- огъващ момент спрямо оста ; - огъващ момент спрямо оста .

Ако външните сили, действащи върху гредата, са разположени в една равнина и оста на гредата лежи в нея, то задачата е значително по-проста. В този равнинен случай на натоварване в центъра на тежестта на напречното сечение се въвеждат осите и на декартова координатна система. Оста има посока на външната нормала на напречното сечение. Оста е насочена надолу. Посоката на оста се избира така, че координатната система да е дясна.

В този случай разрезните усилия са три на брой. Означават се така:

- нормална (надлъжна) сила;- напречна сила по оста ;- огъващ момент.

Разрезните усилия се въвеждат винаги с техните положителни посоки. За лява и за дясна част те са показани на схемите:



лява част дясна част
Фиг. 1.4: Разрезни усилия в равнинния случай
Нормалната сила е положителна, ако има посоката на външната нормала на сечението. Векторът на положителната напречна сила се начертава, като векторът на нормалната сила се завърти на 900 по часовниковата стрелка. Положителният огъващ момент се изобразява с дъгичка, която е в посока от долната към горната част на гредата и не я пресича.

Важно е да се отбележи, че разрезните усилия са понятие, свързано с конкретно напречно сечение.


1.2.ОПРЕДЕЛЯНЕ НА ФУНКЦИИТЕ НА РАЗРЕЗНИТЕ УСИЛИЯ И ПОСТРОЯВАНЕ НА ДИАГРАМИТЕ ИМ

За разглежданата лява или дясна част на гредата се записват условията за равновесие на действащите външни и вътрешни сили. Те са проекционни и моментови условия и имат следния вид:



  1. при пространствения случай

(1.1)

(1.2)

  1. при равнинния случай

(1.3)

Видно е, че от така записаните равновесни условия всяко разрезно усилие се определя от уравнение с едно неизвестно.

При конкретна задача е необходимо да се определят разрезните усилия не в едно сечение, а да се проследи изменениято на дадено разрезно усилие по дължината на гредата. За тази цел се постъпва по следния начин:

Най-напред гредата се разделя на отделни участъци. Граница на участък е сечението, в което има концентрирана сила или момент. Ако върху гредата действа разпределен товар, то такава граница е сечението, което е начало или край на този товар, а също и сечението, в което се променя неговият закон на разпределение. Ако оста на гредата не е права, то граница на участък е мястото на чупката.



След това за всеки участък се разглежда произволно сечение, дефинирано с координатата . Тя може да се измерва от началото на гредата, но по-често - от левия или от десния край на участъка. След мислен разрез през това сечение се избира едната част от гредата, записват се равновесните условия за нея и се получават изразите за разрезните усилия във функция на координатата . Графиките на тези функции представляват диаграми на разрезните усилия. За тяхното построяване най-напред мащабно се начертава реперна линия, която съвпада с оста на гредата. Характерни стойности за всяка от функциите на разрезните усилия се нанасят перпендикулярно на реперната линия и в избран мащаб. Тези характерни точки се съединяват последователно и се изчертава всяка диаграма на разрезно усилие. Дефинират се следните правила :

  1. за права равнинно натоварена греда – Под долната част на гредата се чертае пунктирна линия. Положителните стойности на огъващия момент са от страната на тази линия, а положителните стойности на нормалната сила и на срязващата сила са от страната, обратна на пунктирната линия.

  2. за равнинно натоварена греда с начупена ос – Горното правило се прилага за всички участъци, като за вертикалните и за наклонените с пунктир се отбелязва условно наречена долна част.

  3. за пространствено натоварена греда - Стойностите на разрезните усилия , , и се нанасят успоредно на оста . Върху положителната й част са положителните ординати на , а върху отрицателната й ос – положителните ординати на , и . Стойностите на и се нанасят успоредно на оста . Върху положителната й част се нанасят отрицателните им ординати.

Така построените диаграми дават възможност визуално да се определи положението на застрашеното сечение, при което действа максимално по модул разрезно усилие. В това сечение за еднакви други условия е най-вероятно разрушението при даден вид натоварване. Затова диаграмите на разрезните усилия предопределят конкретните въпроси за якост, коравина и надежност на конструкцията.

Задача 1.1. Да се построят диаграмите на разрезните усилия за показаната греда.

Опорните реакции се определят от условията:







Проверка:



Гредата има три участъка: , и . За всеки от тях се определят функциите на разрезните усилия.


участък












участък





участък






За построяване на диаграмите на разрезните усилия може да се прилага и принципът на суперпозицията. Съгласно с него силите действат независимо, т.е. ако върху тялото статично действа съвкупност от сили, то резултатът от тяхното действие върху някаква величина (опорна реакция, разрезно усилие) е алгебрична сума от стойностите на тази величина при поотделно действие на всяка от тези сили. Този подход се използва, когато решението от отделните товари е много лесно.



Задача 1.2. Да се построи моментовата диаграма на показаната греда, като се приложи принципът на суперпозицията.

Най-напред се построява моментовата диаграма на гредата под действие само на силата, а после – под действие само на момента. При тези два вида натоварване опорните реакции, а след това и диаграмите се определят лесно. След това се сумират характерните стойности от тези две диаграми и се построява окончателната моментова диаграма от действие на силата и огъващия момент.


1.3. ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ НА РАЗРЕЗНИТЕ УСИЛИЯ

1.3.1.В РАВНИННАТА ЗАДАЧА

Разглежда се показаната на фиг. 1.5. права греда, натоварена с концентрирани сили, моменти и равномерно разпределени напречни и осови товари.




Фиг. 1.5: Права греда
За извеждане на диференциалните уравнения на разрезните усилия от участъка с разпределените товари се отделя диференциален елемент.

Фиг. 1.6: Диференциален елемент от гредата

Записват се условията за равновесие, като моментът е за дясното сечение на елемента.

1) (1.4)

2) (1.5)

3) (1.6)



Членът е безкрайно малък от втори порядък и може да се пренебрегне. Така се получава зависимостта (1.7)

Може да се докаже, че в случая, когато функциите на разпределените товари и са произволни непрекъснати функции, са в сила следните диференциални уравнениия за разрезните усилия в равнинната задача:

(1.8)

Разпределените товари и са положителни, когато посоките им съвпадат с положителните посоки на разрезните усилия и за лява част от гредата.

Разглежда се малък елемент от гредата с дължина . Предполага се, че върху него действат разпределени товари и , които се представят чрез непрекъснати функции.


Фиг. 1.7: Малък елемент от гредата
Координатите и се измерват от левия край на участъка. е до центъра на тежестта на лявото сечение на разглеждания елемент, а е до произволно сечение от елемента. При координатата разпределените товари имат интензивности и . В двете сечения на елемента се въвеждат разрезните усилия с техните положителни посоки. Понеже дължината е малка, то двата товара и могат да се разгледат като равномерно разпределени с интензивности, равни съответно на и , като ; . Тогава равнодействащите на двата товара са ;. Тяхната приложна точка е върху разглеждания елемент. Разстоянието от нея до десния край е някаква част от дължината , т.е. , където .

Разглежданият елемент е в равновесие и могат да се запишат следните условия, като моментът е за дясното му сечение:

1) (1.9)

2) (1.10)

3) (1.11)

В тях се заместват изразите за и и след разделяне на се получава:



;; (1.12) . (1.13)

Извършва се граничен преход . Тогава . Изразите (1.12) и (1.13) приемат вида (1.8).

Тези диференциални зависимости важат, когато координатата се измерва от левия край на участъка. Ако тя се мери от десния му край, те имат вида:

(1.14)


1.3.2. В ПРОСТРАНСТВЕНАТА ЗАДАЧА

Диференциалните уравнения на разрезните усилия при координата , мерена от левия край на участъка, са:



(1.15)

(1.16)

В десните страни на тези зависимости функциите са дефинирани по следния начин: - интензивност на осовия разпределен товар; и - интензивности на напречните разпределени товари по осите и ; , и - интензивности на разпределените моменти по трите оси на декартовата координатна система.

Ако координатата се измерва от десния край на участъка, то диференциалните зависимости имат вида;

(1.17)

(1.18)
Задача 1.3. Да се определят функциите на разрезните усилия за показаната греда и да се направи проверка чрез диференциалните им уравнения.


Най-напред се определят опорните реакции от равновесните условия:





Проверка:




участък







Диференциална проверка (проверка с диференциалните уравнения за разрезните усилия):




участък








Диференциална проверка:





участък





Диференциална проверка:





1.4. ИНТЕГРИРАНЕ НА ДИФЕРЕНЦИАЛНИТЕ УРАВНЕНИЯ НА РАЗРЕЗНИТЕ УСИЛИЯ
Този метод се прилага най-често при сложни разпределени товари, действащи върху права греда, а също и в случая, когато гредата е с криволинейна ос. Същността на метода се състои в интегриране на диференциалните уравнения на разрезните усилия (1.8) във всеки участък на гредата.

За определяне на интеграционните константи се записват гранични условия за равновесие на части от гредата. Тези части се отделят от гредата чрез сечения, разположени безкрайно близо до краищата на участъците. В граничните условия не трябва да участват неизвестните опорни реакции.

След получаване на функциите на разрезните усилия се изчертават техните диаграми.
Задача 1.4. Да се определят изразите за функциите на разрезните усилия на показаната греда, като се приложи методът на непосредственото интегриране.
Гредата има два участъка. За всеки от тях се записват диференциалните уравнения (1.8) и се интегрират.

участък



Функцията е квадратна парабола и има вида . За определяне на константите , и се използват условията: ; и . От тях се получава: ; ; . Тогава .

Записва се диференциалното уравнение

От него след интегриране се получава

След това се разглежда диференциалното уравнение

. След интегриране се получава изразът

За определяне на интеграционните константи се разглеждат двете граници А и В.


Граница А:

.

Граница В:


От тези три условия се определят интеграционните константи .

Така вече са известни изразите за разрезните усилия в участък АВ и могат да се начертаят диаграмите им.

За участъка ВС се прилага познатият метод на сечението и се разглежда дясната част.




1.5. ПРОВЕРКИ НА ФУНКЦИИТЕ И НА ДИАГРАМИТЕ НА РАЗРЕЗНИТЕ УСИЛИЯ

1.5.1. ПРОВЕРКА НА ФУНКЦИИТЕ НА РАЗРЕЗНИТЕ УСИЛИЯ

Разглеждат се диференциалните уравнения за разрезните усилия (1.8) в равнинния случай и (1.12), (1.13) – в пространствения.

Тази проверка е показана в зад. 6.3.


1.5.2. ПРОВЕРКА НА ДИАГРАМИТЕ НА РАЗРЕЗНИТЕ УСИЛИЯ

а) за вида на диаграмите

Последните две диференциални уравнения от (1.8) се преобразуват във вида

. (1.19)

От него е видно, че ако в даден участък , то функцията на срязващата сила трябва да е линейна, а - квадратна функция. Ако , то функцията трябва да е константа, а - линейна.

Може да се извърши и друга проверка. Ако в даден уачстък разпределеният товар е насочен надолу, то функцията трябва да е падаща, а диаграмата на - издута надолу. Ако разпределеният товар е насочен нагоре, то функцията трябва да е качваща, а диаграмата на - издута нагоре.



б) проверка за скокове и чупки в диаграмите


Ако в дадено сечение на гредата действа концентрирана напречна на оста сила , то на това място трябва да има скок в диаграмата на и чупка по посока на силата в диаграмата на .



Ако в сечение на греда има концентрирана сила по оста, то скокът в - диаграмата има посока на завъртяната на 90 0 по часовниковата стрелка външна сила.

Ако в дадено сечение на гредата действа концентриран момент , то на това място в диаграмата на няма особености, а в диаграмата на има скок с големина, равен на концентрирания момент.









в) проверка с правилото за площите

За всеки участък на гредата се разглеждат диференциалните уравнения (1.8) и се извършват преобразованията:



; . (1.20)

С е означена дължината на участъка. Десният интеграл представлява площта на диаграмата в участъка. Тогава от (1.20) се получава



. (1.21)

По аналогичен начин могат да се интегрират другите две диференциални уравнения от (1.8).

; . (1.22) ; . (1.23)

По дефиниция ; (1.24)

са равнодействащите на разпределените товари и . Тогава са в сила зависимостите:

; . (1.25)


Задача 1.5. Да се извърши проверка с правилото на площите за задача 1.1.
участък

; ; ;

; ; ;

; ; .


участък

; ; ;

; ; ;

; ; .


участък

; ; ;

; ; ;

; ; .




г) проверка с изрязване на възел

Правят се сечения, безкрайно близо до възела. След това върху тях се въвеждат съответните разрезни усилия. Ако във възела действат концентрирани сили и моменти, се добавят и те. Записват се условията за равновесие и се проверява дали са изпълнени.







База данных защищена авторским правом ©obuch.info 2016
отнасят до администрацията

    Начална страница