Регионален инспекторат по образованието – стара загора общински кръг на олимпиада по математика, 11 март 2006 г



Дата28.10.2018
Размер43.06 Kb.

    РЕГИОНАЛЕН ИНСПЕКТОРАТ ПО ОБРАЗОВАНИЕТО – СТАРА ЗАГОРА

    Общински кръг на олимпиада по математика, 11 март 2006 г.



  1. клас

    1 зад. Открийте закритите с ,  и числа. Под еднаквите фигури стоят еднакви числа:

      7 200 =  +  + 

      69 715 =  : 8 + 

      100 000 -   : 5

    2 зад. За предстоящ футболен мач на 35 хиляден стадион продали от първи сектор 9 240 билета, които били три пъти повече от продадените билети от втори сектор. Продадените билети от трети сектор били с 3 280 повече от продадените от втория и два пъти по-малко от продадените от четвъртия сектор.

    а) Колко е броя на непродадените билети?

    б) Намерете общо колко лева не са постъпили в касите на стадиона, ако знаете, че четвъртинката от всички непродадени билети са по 5 лв, половината от останалите са по 3 лв, а другата половина – по 8 лв.

    3 зад. Обиколката на квадратен земен участък е 1 120 м. Десетинката от този участък е зеленчукова градина с форма на правоъгълник, на който едната страна съвпада със страната на квадрата. Зеленчуковата градина е заградена с дъски, а останалите три страни на земния участък с телена мрежа.

    а) Колко дъски са употребени, ако за един линеен метър са необходими 7 броя дъски?

    б) С колко метра дължината на мрежата е по-голяма от половин километър?

    в) Четвъртинката от площта на зеленчуковата градина е засадена с краставици. С колко квадратни метра тази площ е по-голяма от 1 дка?



    5 клас

    1 зад. Група ученици от горния курс на едно училище отишли на екскурзия. В групата включили и първокласници. Една четвърт от всички ученици са момчета. Една шеста от всички момичета са първокласнички. Две трети от момчетата не са първокласници. Колко са всички екскурзианти, ако броят им е по-голям от 75 и по-малък от 100?

    2 зад. От всички правоъгълници с периметър 12 см намерете този, който има най-голямо лице. Страните на правоъгълника имат дължините естествени числа.

    3 зад. Просто или съставно е числото 1112111?

    6 клас

    1 зад. Да се намери стойността на израза , ако a : b = 1 : 3 и a + b = 2c.

    2 зад. В затворена кутия с форма на правоъгълен паралелепипед има вода. Ако поставим кутията да лежи на различни стени върху масата, то височината на водата е съответно равна на 2, 3 и 4 см. Повърхнината на паралелепипеда е 104 см2. Колко литра вода има в кутията?

    3 зад. Просто или съставно е числото 11122111?

    7 клас

    1 зад. В един компютърен кабинет има 20 бюра, като на някои от тях има по един, по два или по три компютъра. Общият им брой е 37. Известно е, че броят на бюрата с по един компютър е равен на общия брой на бюрата с по два и три компютъра. Колко са компютрите, които са разположени по три на бюро?

    2 зад. След умножаването на изразите и x+3 се получава многочлен, който не съдържа x2. Да се пресметне стойността на получения многочлен, ако x е равно на стойността на израза .

    3 зад. В равнобедрения триъгълник ABC (AC=BC) са построени височина CH и ъглополовяща BM (HAB; MAC), които се пресичат в точка O. През O е построена права, перпендикулярна на BC, която пресича AB в точка K. Известно е, че MKO=40. Да се определят ъглите на триъгълник ABC.

    8 клас

    1 зад. Барман приготвя млечно-вишнев сок като изсипва в миксера различно количество мляко и вишнев сок, но еднакво струващи. Цената на един литър мляко е 0,80 лв, а на един литър вишнев сок – 1,20 лв. Колко струва един литър млечно-вишнев сок?

    2 зад. Графиката на функцията минава през точка A(-1, 0). Пресметнете:

    а) 2005+b-a

    б) 2006+a+b, ако е известно още, че точка B(0, 2) е върху графиката на функцията.

    3 зад. Нека ABCD е ромб с остър ъгъл при върха A равен на 60. Точките M и N са съответно върху страните му AD и CD такива, че DM+DN=AB.

    а) Докажете, че триъгълникът BMN е равностранен.

    б) При какво положение на M и N периметърът на DMN е най-малък?

    9 клас

    1 зад. Дадено е уравнението с корени x1 и x2. За кои стойности на параметъра p .

    2 зад. Окръжност k2 минава през центъра на окръжност k1. Допирателните от точка P (Pk2) към k1 пресичат k2 в точки M и N. Докажете, че MN е перпендикулярна на централата на окръжностите.

    3 зад. Числата a, b и c удовлетворяват равенството . Докажете, че стойността на една от дробите в равенството е -1, а стойностите на всяка една от останалите две е 1.

    10 клас

    1 зад. Да се реши уравнението .

    2 зад. Уравнението не притежава реални корени и a+b+c>0. Докажете, че:

    а) Числата a, b и c са положителни;

    б) От отсечките с дължини , и може да се построи триъгълник.

    3 зад. Нека AB е хорда, различна от диаметъра на окръжност k с център точка O. Точка M е среда на хордата AB. Произволна хорда PQ от k е допирателна към окръжността k1 с диаметър отсечката OM. Ако T е допирната точка на PQ с k1, докажете че .

    11 клас

    1 зад. Намерете всички стойности на реалния параметър a0, за които системата има решение.

    2 зад. Сумата на първите n члена на числова редица a1, a2, …, an е .

    а) Докажете, че редицата е аритметична прогресия.

    б) Колко еднакви члена съдържат прогресиите a1, a2, …, a100 и  5, 8, 11, …?

    3 зад. За триъгълна пирамида ABCO е известно, че AOB+BOC+COA>180. Докажете, че всяка една от отсечките OA, OB и OC има дължина, по-малка от полупериметъра на триъгълник ABC.

    12 клас

    1 зад. Дадена е функцията .

    а) Намерете най-голямата и най-малката стойности на f(x) в [0, 1].

    б) Докажете, че ако , то .

    2 зад. Нека ,  и  са ъглите на триъгълник ABC съответно при върховете A, B и C. Докажете, че ако:

    а)  :  = 1 : 2, то AC2 = BC2 + BC.AB.



    б)  :  :  = 1 : 2 : 4, то една от височините има дължина, равна на сбора от дължините на другите две височини.

    3 зад. Нека ABCD и A1B1C1D1 са основи на правилна четириъгълна пресечена пирамида ABCDA1B1C1D1. През телесния диагонал AC1 е прекарана равнина , успоредна на диагонала BD на основата ABCD. Намерете отношението от обемите на телата, на които пирамидата се разделя от , ако AC = 6 и A1C1 = 2.



Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©obuch.info 2019
отнасят до администрацията

    Начална страница