Решаване на статически определими пространствени ферми в матрична форма

1. 
   Формулировка на задачата и анализ за геометричната неизменяемост на фермата
   

Фиг.1. Изчислителна схема

За пространствената ферма от фиг.1 е известно ставното натоварване по направление и посока – по ос ; по ; по ; по , както и големините на силовите и геометричните параметри:

Решаване на фермата:

Първоначално се извършва анализ за геометрическата неизменяемост на прътовата конструкция. Необходимият глобален (аналитичен) критерий за това се дава с формулата:

където:

• 
  – степени на свобода на конструкцията;
  
• 
  – брой на възлите в конструкцията (без опорните);
  

• 
  – брой на прътите;
  
• 
  – брой на триъгълните полета в конструкцията.
  

Ставният триъгълник, състоящ се от прътите , е подпрян с прът към земята, с което се получава фермата в равнината . Фермата е подпряна към земята със пръти . Към получената по този начин неизменяема конструкция, е прибавен възела свързан с прътите – виж фиг.1.

2. 
   Класическо (калкулаторно) решение на
   

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

3. 
   Решение на задачата с пакета MathCAD
   

Фиг. 2. Избрани и нанесени посоки на единичните вектори на прътите

Тригонометричните функции от показаните ъгли са представени с геометричните зависимости между страните в правоъгълния триъгълник – виж фигури 1., 2. и 4. (Бердяев, В. Д., Стоянов, А. Д.)

Елементите на формираните матрици–стълбове са алгебрични проекции на единичните вектори на прътите от фермата върху осите на координатана система – виж фигури 2. и 4. (Бердяев, В. Д., Стоянов, А. Д.)

Фиг. 3. (Стоянов, А. Д.)

Фиг. 4. (Бердяев, В. Д., Стоянов, А. Д.)

Фиг. 5. (Бердяев, В. Д., Стоянов, А. Д.)

Заключение

Всички реални конструкции са пространствени. Те имат пространствени опорни закрепвания и носят пространствено натоварване.

Ръчното пресмятане на пространствена ставно–прътова конструкция е по-трудоемко в сравнение с пресмятането на равнинна ферма. В редица случаи ставно–прътовата система може да се опрости чрез разлагане на отделни равнинни ферми. Така се постъпва например, при пресмятане на пространствени ферми, представляващи решетъчни системи (Живейнов, Н. Н., Г. Н. Карасев, И. Ю. Цвей).

Виждат се предимствата генерирани от матричното решение с пакета MathCAD:

• 
  елиминирана е необходимостта от избор на възел с най-много три неизвестни усилия (задължително при ръчно решение с метода на изрязване на възлите);
  
• 
  възможностите на автоматизираното решение проличават по-добре, когато фермата се състои от повече пръти и е натоварена с повече сили във възлите;
  
• 
  намалява вероятността от допускане на банални грешки от изчислително естество – решението е проведено в синволен вид и проекциите на единичните вектори (виж фиг. 4) са представени с тригонометрични зависимости между страните в правоъгални триъгълници, които лесно се контролират.
  

Проведеното решение за определяне на прътовите усилия на пространствена стано–прътова конструкция с MathCAD запълва липсата от информация по този въпрос в теоретичната механика.

Живейнов, Н. Н., Г. Н. Карасев, И. Ю. Цвей, Строительная механика и металло–конструкции строительных и дорожнных машин, Москва, „Машиностроение”, 1988, стр. 21, 280 стр.

Стоянов, А. Д., Матрични операции с MathCAD в теоретичната механика – Статика, София, 2016, стр. 67, стр. 110, 161 стр. (под печат).

Уманский, А. А., Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественных зданий и сооруженний расчетно–теоретический, Издательство литературы по строительство, Москва, 1972, стр. 566, 600 стр.