С т у д е н т и. Линейна алгебра. Скалари и вектори

Величината, която освен с големина, се характеризира с приложна точка, направление и посока, се нарича векторна величина. Векторни величини са силата, скоростта, ускорението и т.н.

Геометрично векторът се представя чрез насочена отсечка, на която първата точка е приложна точка, а втората – крайна точка, в която се поставя стрелката.

Векторите се означават с две главни букви или с една малка буква, придружена със стрелка над буквите . Големината или модулът на един вектор се означава само с буква, например или .

Векторите биват свободни, плъзгащи и свързани. В цялото изложение ще говорим за свободни вектори, които за простота ще наричаме само вектори.

Вектори, успоредни на една и съща права, се наричат колинеарни.

Вектори, успоредни на една и съща равнина, се наричат компланарни.

Два колинеарни вектора са равни, ако имат равни модули и еднакви посоки. За да означим, че векторите и са равни, пишем .

Два колинеарни вектора, които имат равни модули и са с противоположни посоки, се наричат противоположни.

Когато двата края на един вектор се сливат, той се нарича нулев вектор. На него не се приписва посока и се счита, че дължината му е нула.

С се означава еденичният вектор на вектора , т.е. векторът, който има модул еденица и посока, еднаква на тази на вектора . Този вектор се нарича ортогонален. От дефиницията на следва, че .

Действия с вектори.

1.Събиране и изваждане на вектори. Векторна сума.

Сумата на векторите и е нов вектор , който се получава съгласно правилото на триъгълника по начин показан на фиг.№ 1.

В произволна точка построяваме вектора и в края построяваме вектора . Векторът с начало и край е сумата на дадените вектори, т.е. или . При действие събиране на вектори е в сила комутативният ( разместителен ) закон, т.е. . Правилото за събиране на два вектора може да се приложи и за произволно число вектори . Събирането им е показано на фиг.№ 2. Векторът , който има за начало и краят му е в края на последния вектор, е сумата на дадените вектори, т.е. . Векторът се нарича векторна сума ( фиг.№ 2 ), или многоъгълник на Вариньон.

При събиране на вектори е в сила асоциативният ( съдружителен ) закон . За всеки вектор е в сила равенството .

Изваждането на два вектора и може да се извърши по правилото на триъгълника, като към вектора умаляемо прибавим противоположния вектор на вектора умалител, т.е. .Действието изваждане е показано на фиг.№ 3.

2. Умножение на вектор със скалар ( число ) Ако произволно число и ако е произволен вектор, то произведението е нов вектор, колинеарен на дадения, модулът му е равен на произведението на модула на вектора с абсолютната стойност на числото , т.е. като посоката съвпада с тази на вектора , когато или е противоположна, когато . Ако поне едно от числата и е нула, то е нулев вектор.

За произволни реални числа и и произволни вектори и са в сила следните равенства:

.

Всеки вектор е равен на модула си, умножен с единичния си вектор: откъдето следва .

Проекция и компоненти на вектор.
Проекцията на произволен вектор върху една ос е равна на модула на вектора, умножен с косинуса на ъгъл ( фиг.№ 4 ) заключен между положителната посока на оста и посоката на вектора, т.е.

Когато направлението на вектора е перпендикулярно на оста, т.е. когато или , то проекцията на вектора е равна на нула. Проекцията върху една ос на сумата от няколко вектора е равна на сумата от проекциите върху същата ос на отделните вектори събираеми. Ако имаме то . Нека е дадена пространствена правоъгълна координатна система и произволен вектор ( фиг.№5 ) Очевидно е равенството . Понеже и получаваме . Или , където ; . Тези три вектора се наричат векторни компоненти на вектор по направлението на трите оси ,а са скаларни компоненти или координати. Ако с означим проекциите ( координатите ) на вектора върху направленията на трите оси, а с означим основните еденични вектори, то в сила са следните три равенства : от които можем да напишем, че Компонентите на вектора са равни на проекциите умножени с еденичните вектори.

1.Два вектора и са равни, т.е. ако са изпълнени равенствата .

2. Модулът на вектора е равен на корен квадратен от сумата на квадратите на неговите проекции: .

3. Ако и са ъглите, които векторът сключва с положителните посоки на координатнита оси, то .

Това са направляващите директори на вектор . Тези три косинуса са свързани с равенството . Еденичният вектор на вектора може да се запише , защото като приемем , то следва, че координатите на са .

4. Проекциите от сумата от няколко вектора са равни на сумата от съответните проекции на отделните вектори. Ако са дадени векторите: , то можем да напишем за тяхната сума .

5. Проекциите на произведението на скалар с вектор са равни на произведението на този скалар със съответните проекции на вектора, т.е. .
Скаларно произведение на два вектора.
Скаларно произведение на два вектора се нарича числото, което е равно на произведението на модулите на векторите, умножени с косинуса от ъгъла между тях:

. От определението и следва, че , т.е. скаларното произведение на два вектора е равно на произведението от модула на единичния вектор с проекцията на другия вектор върху направлението на първия ( фиг. № 6 ). Ако един от векторите и е нулев вектор, то . И още:

. Скаларното произведение притежава следните свойства:

- комутативния закон; - асоциативния закон; - разпределителен ( дистрибутивен ) закон.

Ако векторите и са колинеарни, то . В частност . Изразът се нарича скаларен квадрат на вектора , където . Скаларното произведение на два вектора е равно на нула, когато поне единият от векторите е нулев, или векторите са взаимно перпендикулярни.

За основните еденични вектори имаме и . Ако два вектора са дадени чрез своите компоненти и , тяхното скаларно произведение е равно на сумата от произведението на едноименните им координати .

Проекцията на вектора по направлението на вектора се записва аналитично така .

Нека векторите и да сключват помежду си ъгъл . От равенството следва или в координатна форма .

Ако два вектора са колинеарни, то техните проекции са пропорционални:.

Векторно произведение на два вектора.

1. Има модул, равен на лицето на успоредника, построен върху векторите , т.е., където е ъгълът между векторите и е в интервала .

2. Перпендикулярен е на векторите и .

3. Посоката му е такава, че векторите образуват дясно ориентирана система ( фиг.№ 7 ),т.е. посоката на е такава, че един наблюдател застанал по с лице към първия вектор, втория вектор да остава от лявата му страна.

4. Векторното произведение е равно на нула, когато поне един от векторите е нула или когато тези вектори са колинеарни.

Модулът на векторното произведение на два вектора и с взаимно перпендикулярни направления е равен на произведението от модулите им,т.е., тъй като ъгълът между векторите е равен на .

За еденичните вектори имаме, че .

При размяна местата на множителите и във векторното произведение същото променя знака си, т.е.. Следователно за векторното произведение е в сила антикомутативният закон.

Векторното произведение се подчинява на сдружителния закон при умножението на един вектор със скалар, т.е. .

За векторното произведение е в сила разпределителният закон . Ако са дадени два вектора чрез своите компоненти , то за векторното произведение се получава изразът:. Ако векторите са колинеарни, т.е. , получаваме, че . Модулът на векторното произведение геометрично определя лицето на успоредника или двойното лице на триъгълника, построен върху векторите и . Затова лицето на успоредникът се определя по формулата .

Пример №2. Дадени са радиус-векторите и на три последователни върха на успоредника . Намерете радиус-вектора на четвъртия връх .

Решение: Нека е радиус-векторът на четвъртият връх . От дефинициятя зя сума на вектори следва, че . Тъй като , то .

3. Пример №3. Дадени са векторите и . Да се представи векторът като линейна комбинация на векторите и .

Решение: Нека , където и са неизвестни коефициенти. Тъй като равните вектори имат равни координати, а координатите на линейната комбинация са равни на съответните линейни комбенации на едноименните координати, то получаваме системата . След решаването на системата намираме и . Окончателно намираме, че .

Пример № 4. Дадени са векторите и спрямо базиса от еденични вектори и . Да се намери представянето на векторите:

а) . б) .

Решение: а) Спрямо дадения базис векторът има представянето , а векторът- . Тогава . т.е.. Това е търсеното представяне на вектора .

б) Като използваме представянета на вектора и формулите , (изразяващи едно достатъчно условие за колинеарност на векторите и ), получаваме: , т.е. .

Пример № 5. Да се провери колинеарността на векторите и ., зададени спрямо един и същия базис. Да се провери дали те са еднопосочни или противопосочни.

Решение: За да проверим колинеарността на векторите и , е достатъчно да се установи, че единият от тях се получава от другия чрез умножаване с подходящо число, т.е., че . В такъв случай следват равенстата: . От едно от уравненията, например второто определяме . За тази стойност на се удеволетворяват и другите уравнения, откъдето следва колинеарността на векторите и . Тъй като , то и са противоположни.

Колинеарността на два вектора се проверява по-лесно като се провери дали съответните координати спрямо дадения базис са пропорционални. За случая емаме: .