Смесено разширение на безкоалиционни игри

Както в антагонистични игри, смесената стратегия на играча отъждествяваме с вероятното разпределение на множеството на частните стратегии. Ще предложим, че множествата Х са крайни.

Нека

Г=i}_iЄj, {H_i}_iЄj> е произволна безкоалиционна игра.

Pⁱ=(pⁱ₁,pⁱ₂ …Pⁱ_mi)pⁱ_j≥0, Σpⁱ_j = 1 на моножеството на частните му стратегии x_i = ( x_i⁽¹⁾, xi⁽²⁾ … x_i^(mi)).

С pi = pi(xi) означаваме вероятността, която се преписва на частната стратегия хi Є Xi. Множеството от всички смесени стратегии на i-тия играч ще означаваме с Pi.

Нека всеки от играчите iЄJ избираме свояте смесена стратегия Pi. Предполагаме, че вероятността за настъпване на ситуацията х=(х₁,х₂ ... х_n) е равна на произведението на вероятностите с които се избират съставещите я стратегии, т.е.

P(x)=p⁽¹⁾(x1)_x P⁽²⁾(x2)_x …p⁽ⁿ⁾(xn)

Определение. Наборът p=(p⁽¹⁾,p⁽²⁾, … p⁽ⁿ⁾) наричаме ситуация в смесени статегии р реализира различни ситуации в чисти стратегии с някакви вероятности, ето за това платежнате сума на всеки играч е сличайна величина. Тогава стойността на платежната функция на i-тия играч в ситуацията p е математическото очакване на случайната величина.

H_i(p)=ΣH_i(x)p(x)= Σ … ΣH_i(x₁,x₂ … x_n)p⁽¹⁾(x1)p⁽²⁾(x2) … p⁽ⁿ⁾(xn), iЄJ, x=(x₁,x₂ … x_n)ЄX

Oпределение. Смесено разширение на безкоалиционната игра

Г=i}_iЄj, {H_i}_iЄj>

Наричаме безкоалиционната игра

Г=i}_iЄj, {H_i}_iЄj>

Където Pⁱ – множество на смесените стратегии на i- тия играч, а функциите H_i се определят с H_i(p)=ΣH_i(x)p(x)= Σ … ΣH_i(x₁,x₂ … x_n)p⁽¹⁾(x1)p⁽²⁾(x2) … p⁽ⁿ⁾(xn), iЄJ, x=(x₁,x₂…x_n)ЄX

Определение. Ситуацията p0=p(1)0, p(2)0 … p(n)0) наричаме равновесна по Неш в смесени стратегии в играта Г, ако

Hi(p0||p(i))≤Hi(p0), iЄj , P(i) Є P(i)

Теорема Необходимо и достатъчно условие ситуацията p=(p⁽¹⁾,p⁽²⁾, … p⁽ⁿ⁾) да е равновесна в играта Г (в смесени стратегии) е за всеки играч i с произволна негова частна стратегия xi, да е в сила неравенството

Hi(p0||p(i))≤Hi(p0)

Теорема на Наш. В сяка крайна безкоалиционна игра съществува поне една равновестна по Наш ситуация в смесени стратегии.

Нека играта

Г=

е безкоалиционна игра с двама играчи, за която

X≡Y,H2(x,y)=H1(y,x).

Нека освен това q0 е оптималната смесена стратегия на II играч в антагоничната игра

Г1=

и равенството

H1(q0,q0)=V

е изпълнено почти навсякаде. Тогава ситуацията (q0,q0) е равновестна в играта Г.

Определение. Игрите

Г’=

Г’’=

Наричаме стратегически еквивалентни, ако за всяко iЄJ, xЄX е в сила равенството H’’i(x)=kiH’i+Ci , ki>0 Ci –са реални константи.

По същество стратегическите еквивалентни игри се различават с различни начални капитали и мащаби на полезност на играчите, който за различни играчи могат да бътат различни.

Решение на някои класове безкоалиционни игри.

Биматрични игри

Няма общи методи за намиране на равновесни ситуации в произволни крайни безкоалиционни игри. Обаче има и някой безкоалиционни игри, който се подават на решение един такаъв клас са крайните безкоалицонни игри с двама играчи – биматрични игри.

Теоремеа Нека Г(Н1,Н2) е биматрична игра, а матриците Н1,Н2 се неизродени. Ако играта има напълно смесена равновестна ситуация, то тя е единствена и се пресмята по формулата.

p=V2eH-12

q=V1H-11e

където

Нека матриците H1, H2 имат вида

g1 g2 g1 g2

H1= h1||h11 h12|| H2= h1||g11 g12||

h2||h21 h22|| h2||g21 g22||

Кадето с h1,h2 и g1, g2 се означават първата и втората стратегия на I и II играч

За простота предполагаме, че числата h11,h22,h21,h22 (g11, g12, g21, g22) са различни.

1)Случай: В изходната игра Г, един от играчите, например I има строго доминираща стратегия 11. Тогава играта Г и нейното смесено разширение Г^ има единствена равновесна по Наш ситуация.

Действително от неравенството h11>h21,h12>h22

следва, че в играта Г^ чистата стратегия 11 строго доминира всички смесени стратегии на I играч. Ето защо ситуацията (11.21) е равновестна , ако g11>g12 или (11.22) е равновестна, ако g11

II случай: Играта Г няма равновесна по Нащ ситуация. Тук са възможни две взаимни изключващи се изхода:

А) h21

B) h11

Където detH1≠0, detH2≠0 следователно са изпълнени условията на теорема 4.4.

Ето защо съществува равновестна ситуация (p0,q0), където

p0={(g22-g21)(g11-g12)/(g11+g22-g12-g21)²}

q0={(h22-h21)(h11-h12)/(h11+h22-h12-h21)²}

а съответствуващите равновесни печалби V1 и V2 се определят по формулите

V1={(h11h22-h12h21)/(h11+h22-h12-h21)} , V2={(g11g22-g12g21)/(g11+g22-g12-g21)}

III случай: Играта Г има две равновестни ситуации. Този случай се получава, като се изпълнява едно от двете условия:

А) h21

2

B) h11

1

В случай а) равновесни са ситуациите (11,21)(12.22), а в случая б) – ситуациите (11,21)(12.22), но в смесеното разширение има още една напълно смесена равновена ситуация (p0.q0). определена с формули:

p0={(g22-g21)(g11-g12)/(g11+g22-g12-g21)²}

q0={(h22-h21)(h11-h12)/(h11+h22-h12-h21)²}

Разглежданите случаи изчерпват напълно 2.2 игри при условие, че елементите на матриците са различни.

Определение. Ситуациите, който удовлетворяват неравенството

Hi(p0||p(i))≤Hi(p0), iЄj , P(i) Є P(i)

За I и II играч пооделно в биматричната игра Г(H1.H2), се наричат променливи.

Множеството от всички равновестни по Наш ситуации се намира от сечението на множествата променливи ситуации за всеки един от играчите . Ако H1≠0, H2≠0, то играта Г има равновестна по Наш ситуация в напълно смесени стратегии.