Специално за "twirpx com". Многочлени над пръстен и поле
Изтегляне 0.54 Mb.
|
Специално за "twirpx.com".Многочлени над пръстен и полеСтанчо Павлов ( stancho_pavlov@ayhoo.com) Тялото се движи не от душата а от друго тяло. Рене Декарт (1596 – 1650 г.) 1. Многочлени над пръстени Нека R е пръстен с единица. С R[x] означаваме многочлените с променлива x с коефициенти от пръстена R. Многочлените от R[x] образуват пръстен спрямо обичайните операции с многочлени. Ако Rе комутативен пръстен то и R[x] е също такъв. Ако старшият коефициент на многочлена ( полинома) f(x) от R[x] е единица то f(x) се нарича нормиран (мономиален или моничен ) многочлен. Ако е ясно, че в многочлена f(x) променливата е x, често ще я пропускаме и ще пишем просто f. Елементът a от пръстена R се нарича корен на полинома f(x) от R[x], ако съществува разлагането на множители f(x)=(x-a)q(x), където q(x) е от R[x].
Елементът a от пръстена R се нарича нула на полинома f(x) от R[x] ако f(a)=0. Пример: Умножаване на полиноми в Z12 [x]. В Z12 [x] е изпълнено равенството (3x-2)(2x2+x+3)=6x3-x2+7x-6. + Замествайки коефициентите с техните остатъци по модул 6 получаваме странното равенство: (3x-2)(2x2+x+3)=5x2+7x. - Неприводим многочлен над пръстена R се нарича такъв, който не може да се разложи на произведение на многочлени от R[x], всеки от който е от ненулева степен. Неприводимите многочлени от R[x] с техните свойства са подобни на простите числа от пръстена на целите числа Z. Пример: Многочленът f(x)=x2 – x – 1 е неприводим над Z3 . + Ако съществува разлагане, то е от вида f(x)=(x-a) (x-b), където a и b са от Z3. Тогава a е нула на полинома f(x). Ще покажем, че f(x) няма нули в Z3 като направим проверка с всички възможности: f(0) = -1 = 2 (mod 3) f(1) = -1 (mod 3) f(2)= f(-1) = 1 (mod 3) - Подобието е още по пълно, ако R е поле. Ако R е поле то всеки многочлен от R[x] от първа степен е неприводим, а иначе –не! + Ясно е, че ако R е поле и f е полином от първа степен, той не може да се разложи на два полинома със степени по-големи от нула, защото deg(a.b)=deg(a)+ deg(b). В Z6 е изпълнено: 5x+1=(2x+1) (3x+1). - Пример:
Многочленът c(x)=xn-1 е приводим в пръстена R за произволен пръстен R и за всяко n, по-голямо от 1. Степента на многочлена f(x) се означава с deg(f). В пръстена не всички елементи са обратими. Например 2 няма обратим елемент в Z12 . Ще намерим реципрочния елемент на 5 в пръстена на остатъците по модул 12 – Z12 някои други реципрочни. +
Използвайки правилото за съкращаване: 
По този начин намирането на реципрочния елемент се извършва без прилагане на разширения елемент алгоритъм на Евклид. Остават без отговор въпросите, свързани с прилагане на този способ за аналогични действия по модул многочлен. Дали обичайните действия със дроби, например привеждане под общ знаменател, са приложими и в този случай - за крайни пръстени? Отговорите на тези въпроси ще ни отдалечи от разглежданите теми но ние не трябва да ги избягваме. - За пръстена на целите числа Z[x] е в сила твърдението: Един нормиран полином от е неприводим над Z тогава и само тогава, когато той и неприводим и над Q. Делението a(x):b(x) на многочлени от R[x], кадето R е пръстен, може да се извърши, ако старшият коефициент на b(x) е обратим. Ще извършим делението a(x): b(x) където a(x)=2x2+x+3 и b(x)=3x2+x+3 в R=Z14. +
a(x):b(x) частно 10 остатък 5x+1. В този лесен пример са записани само коефициентите на многочлените. Действията се извършват по модул 14. - Ако пръстенът R е без делители на нулата то степента на произведението на два многочлена от R[x] е сума на техните степени. deg(fg)= deg(f)+ deg(g). Критерий на Айзенщайн за неприводимост на многочлени над пръстена на целите числа Z Нека Доказателство: + Да допуснем противното и нека е разлагане на f(x) на два не константни множителя – многочлени от Z[x]. След разкриване на скобите и приравняване на коефициентите получаваме системата от равенства: 
Понеже p дели a0 но p2 не дели a0 , то точно един от множителите b0 и c0 се дели на p. Нека дели p, например, b0 и не дели c0. Тогава p дели b1c0 , понеже a1 се дели на p. Следоватерно b1 се дели на p, понеже c0 не се дели на p. От третото равенство следва че b2 се дели на p. Постъпвайки, по този начин, и по-нататък, ще получим, че an се дели на p, което е в противоречие с твърдението, че an не се дели на p. - Пример: Многочленът Простото число, удовлетворяващо критериия на Айзенщайн е p=3. Този критерий е повече приложим за построяването на неприводими многочлени от Z[x] , отколкото за проверка дали един многочлен от Z[x] е неприводим. Многочленът + Заместваме x с y+1 и прилагаме критериия на Айзенщайн. - Нека a(x) и b(x) са два многочлена от ненулеви степен от R[x], където R е пръстен. Делението на a(x):b(x) не може винаги да се изпълни за произволен делител b(x). Ако пръстена R е област на цялостност то и R[x] също е област на цялостност. + Това, че R[x] е комутативен пръстен с единица, го намирам за ясно. Ще обоснова липсата на делители на нула: Нека f(x) и g(x) са два ненулеви многочлена от R[x] със старши коефициенти a0 и b0 . Тогава старшият коефициент на произведението f(x).g(x) е a0.b0 , което е различен от нула, поради това, че пръстенът R е област на цялостност. Следователно и самото произведение е различно от нула. - Ако пръстена R е област на цялостност то всеки многочлен се разлага на произведение от неприводими многочлени. 2. Многочлени над полета Сега да разгледаме многочлените от F[x], където F е поле. В пръстена F[x] може да се извършва деление с частно и остатък, стига делителят да е различен от нула. Пример: Ще разделим полиномите 3x2+2x+1 и 2x-1 от пръстена Q[x] с частно и остатък. -
Частното е (3/2)x+(7/4) а остатъкът е (11/4). + За полиноми над поле F е в сила теоремата на Безу за полиноми. Остатъкът от делението на полинома f(x) на (x-α) в F[x] е равен на f(α). Доказателство: + Понеже делителят е полином от първа степен, то остатъкът от делението на него е от нулева степен – т.е. число. Нека при делението частното е q(x) и остатъкът е числото r. Тогава f(x) = q(x)(x-α) + r . Замествайки x с α получаваме равенството f(α) = q(x)(α - α) +r = r, което и твърдението на теоремата. - Следствия от теоремата на Безу: В R[x] множеството от нулите на полинома f(x) съвпада с неговите корени. Ако α — е цял корен на нормирания многочлен f(x) с цели коефициенти, то за всяко цяло число k числото f(k) се дели на α-k. 
Етиен Безу (31 март 1730, 27 септември 1783 г.) Френски математик, член Парижката академия на науките (1758 г.). Основните му работи се отнасят съм изследването на системи от алгебрични уравнения. Автор е на Курс по математика в шест тома (1764-1769 г.), който е бил нееднократно преиздаван.
+
x и y не са еднозначно определени , но съществуват такива, че |x|<|b/d| и |y|<|a/d|.
- Дефиницията за неприводимост на многочлени над поле е подобна на тази над пръстени. Ако старшият коефициент на многочлена f(x) от F[x] е единица то f(x) се нарича, да припомним, нормиран (мономиален или моничен ) многочлен. Примери за приводими и приводими многочлени над полетата Q и Zp : + x2-2x+2 е неприводим над полето Q. x2+2=(x+1)(x+2) в полето Z3 , следователно x2+2 е приводим в Z3 . x2+1=(x+2)(x-2) в полето Z5 , следователно x2+2 е приводим в Z5 . x4+1=( x2+2x+2)( x2+x+2) в полето Z3 , следователно x4+2 е приводим в Z3 . -
Област на главни идеали се нарича област на цялостност, за която всеки идеал е главен. Пример за области на главни идеали: + Всяко поле F е област на главни идеали - единствени негови идеали са 0 и F. Пръстенът на целите числа Z също е област на главни идеали. Пръстенът Q[x]/f(x) , състоящ се от остатъците при деление на f(x), където f(x) е неприводим над полето на рационалните числа Q, също е област на главни идеали. Пример за пръстен, който не е област на главни идеали F[x]/f(x), където f(x) е приводим. - Множеството Zp от остатъци при деление на простото число p образуват поле спрямо събирането и умножението по модул p. В полето Zp е изпълнено равенството (a+b)p=ap+bp , което не е вярно при реалните числа. + Това е така, понеже биномните коефициенти, освен първия и последние, се делят на p. - Нека f(x) е неприводим многочлен от Zp[x]. Нашата цел е да построим поле, съдържащо pn елемента, използвайки неприводимия многочлен f(x). Това поле ще означаваме с GF(pn) в чест на френския математик Еварист Галоа. В тази статия под GF(pn) се разбира не точно конкретно поле, а поле което съдържа pn на брой елемента . -
Еварист Галоа
Еварист Галоа - революционерът! + Френски математик, основател на теорията на групите и теорията на полетата. Галоа бил убеден републиканец. Арестуван е за участие в протеста срещу монархията на Луи-Филип. Убит е на дуел, веднага след освобождаването му от затвора. Галоа е преживял реставрацията и пред очите му буржоазията е отхвърлила идеите за социална справедливост и в зависимост от колебанията на политическото махало е провеждала политика ту вляво, ту вдясно, ту в центъра, в зависимост от своите интереси. Галоа е бил борец в най-прогресивната политическа партия на своята епоха - тази на републиканците. Те са считали, че равните права и задължения на гражданите са основата за социална справедливост - стремежът към която е същността на прогреса. Галоа революцинерът и математикът са двете прояви на страстната му привързаност към този свещен идеал. - Полето GF(pn) се състои от множеството от многочлени от степен по-малка от степента на f(x): 
То съдържа pn на брой елемента. За пълното дефиниране на полето GF(pn) е необходимо наличието на неприводим многочлен над полето Zp, многочлен, който ще означим с q(x). Действията събиране и изваждане в множеството от полиноми Zp[x] извършват по естествения начин - по модул p. Но за умножението и за делението е необходимо да се съобразяваме с многочлена q(x). Умножението се извършва в три стъпки: 1) Умножават се многочлените в пръстена на целите числа Z и ризултатът се отчита по модул p. Междинните изчисления могат да се ивършват по модул p. 2) Полученото произведение са разделя на многочлена q(x) - с частно и остатък от Q[x]. 3) Кофициентите на частното и остатъка се заменят с остатъците по модул p. Делението a/b в Zp[x] се свежда до намирането на реципрочния многочлен на b(x) и последващо умножение с a(x). 1) 2) Извършваме делението с честно и остатък и получаваме:
Междинните изчисления се отчитат по модул p. Степента на знаменателя, вече, е по малка от тази на b(x). Ако степента на s(x) е по-малка от тези на знаменателя, към числителя отново добавяме q(x). След това извършваме делението с частно и остатък, и преминаваме към 2). Продължаваме описаните процедури докато получим в знаменатела константа. Тези действия се наричат действия по двоен модул (mod q(x), p). Пример: Ще намерим произведението и частното на многочлените x+3 и 2x+3 и частното на x+3 и x+2 по двоен модул (mod x2+2, 5) в полето GF(52) и ще направим проверка. + Предварително определям: 
Умножавам многочлените и коефициентите на резултата отчитам по модул 5: 
Деля полученото произведение на многочлена q(x). Тогава произведението a(x)b(x) в GF(52) е полученото частно, с коефициенти, отчетени по модул p. 
Полученото произведение е 4x. Може и по по-лесен начин: От x2+2 =0 (mod x2+2) следва че x2 =-2 (mod x2+2) и при наличието на x2 в някакъв израз, просто мога да го заменя с (-2). Така че: (x+3)(2x+3)= 2x2+4x+4=2(-2) +4x+4=4x. ( Тук пропуснах означенията на двойния модул.) При проверката не може просто да заменя x с число от Z5 . Например при x=1 ще получим очевидното противоречие: 0=4 (mod 5). Сега да се заема с частното: Първо ще намеря реципрочното на x+2:
Изразявайки 1/(x+2) получавам: 
За проверката умножавам (x+2).(4x+2)=4x2+10x+4:  .
Заменям x2 с (-2) и получаваме -4, което е сравнимо с 1 по модул 5. За чатното a(x)/b(x) получавам:
- Ако полето E се съдържа в полето F то E се нарича разширение на F, което се означава така: E/F. F се нарича подполе на E. Символът E/F няма връзка с фактор-групи или фактор-пръстени по отношение на идеал. Знакът E/F в при тези разсъждения означава „Полето E е разширение на полето F.” Пример:
Да разгледаме полето Z2 и неприводимия полином над Z2 q(x)=x2+x+1. С помощта на q(x) ще получим разширение на полето Z2, състоящо се от четири елемента. Това поле е от вида GF(22). + Ще използвам разширението, получено чрез двойния модул (mod x2+x+1, 2). Елементите на GF(22) са {0, 1, x, x+1}. Събирането се извършва по модул 2. Ето я таблицата: 
От x2+x+1=0 (mod x2+x+1, 2) следва, че x2=-x-1=x+1 (mod x2+x+1, 2). За умножението: Първо се разкриват скобите и след това x2 се замества с x+1. Ето я таблицата: 
Накрая ще намеря реципрочното на x, чрез изчисление, въпреки, че вече знам отговора.  .
- Нека E е разширение на полето F ( E/F). Пример: Многочленът x2 – x – 1 е неприводим над Z3 . Нека E/Z3 (полето E е разширение на полето Z3) и α е такъв елемент от E, за който α2 – α – 1=0. Ще покажем, че α9 = α. + Вместо символът за сравнение - три хоризонтални чертички, по модул 3 ще използвам равенство. Ще използвам и равенството α2 = α + 1 за да изразя α3 като линейна комбинация на 1 и α над Z3: 
Ще повдигна това равенство на трета степен, като имам предвид равенствата a2=a+1 и (a+b)p = ap+bp, които са изпълнени при действията по двоен модул (mod x2 – x – 1, 3) .
Остава да използвам равенството α3 = 2α+1: - Полето GF(pn) съдържа pn на брой елемента. Ще докажем, че всеки един от тях удовлетворява уравнението За това доказателство се изискват основни знания от теорията на групите, например това, че редът на всеки елемнт на групата G дели редът на групата G. Въпреки, че построяването на GF(pn) изисква неприводим многочлен над Zp , в доказателството той не се използва! + Да разгледам мултипликативната група на GF(pn), която се означава с GF(pn)*. Тя съдържа всички елементи на GF(pn) без елемента нула. Следователно редът на тази група е |GF(pn)*|= pn - 1. Нека g е произволен елемент от GF(pn)* от ред |g|. Тогава |g| дели реда на групата GF(pn)* , който е pn - 1. Нека pn - 1=k|g|. Тогава: Умножавайки двете страни на последното равенство по g получавам: - Ще докажем съществуването на разширение на поле в което даден многочлен има корен. Тази основна теорема е доказана от Кронекер Теорема на Кронекер : Нека f е неприводим многочлен над полето F. 
Тогава съществува разширение E, на полето F, в което f притежава корен. Доказателство: + Разглеждам множеството от многочлени F[x] като пръстен. В него разглеждам главният идеал Той е множеството от многочлени, които се делят на f. 
Да означа с E фактор-пръстена E:=F[x]/I. Той се състои от множеството от остатъци при деление на неприводимия многочлен f(x). Това са многочлените със степен по-малка от тази на f. Остатъкът от делението на многочлена a(x) на f(x) ще означа с [a]. Ясно е, че [f]=0. Във F[x]/I въвеждам операциите събиране и изваждане по обичайния начин: [a]+[b]=[a+b] Произведението на два многочлена в E се дефинира като остатъкът на произведението им в F[x] при деление на f(x): [a].[b]=[a.b]. Сега ще дефинирам реципрочния многочлен на a от E. Понеже степента на многочлена a(x) е по-малка от тази на f, многочлените a и f са взаимно-прости. Тогава съществуват многочлени k1 и k2 от F[x], за които k1a+ k2f=1 ( съотношение на Безу). За [f]-1 приемам многочлена [k1]. Ще намеря стойността на многочлена f(x) при x=[x]:
Изглежда като магия, но всички, в частност Леополд Кронекер, твърдят че е вярно! -
Господ е сътворил целите числа. Останалото е дело на човешките ръце. Леополд Кронекер - кретка биография: Член на Петербургската (1872 г.) и Берлинската (1861 г.) академии на науките. Произхожда от богато еврейско семейство от гр. Легтица-Полша. В гимназията му е преподавал Ернст Кумер – станал по-късно известен немски математик. Кронекер в Берлинския университет, където защитил докторска дисертация по теория на числата. До 30-тата си година се е занимавал със селското си стопанството а с математика - през свободното си време. След като се е устроил материално и станал богат човек, той се е преместил в Берлин (1855 г.). Вече възрастен оглавявил катедра – след пенсионирането на Кумер. По негово убеждение в основата на математиката трябва да стоят числата. В математиката, според него, не съществува нищо друго освен това, което може да се представи като краен ред от положителни цели числа. Стремежът му да събере цялата математика в теорията на числата се изразява най-цялостно с изказването му на конференция в Берлин през 1886г., цитирано като мото. Веднъж, разговаряйки с Фердинанд фон Линдеман за неговото доказателство за трансцендентността и числото , той заявил: „Каква е ползата от вашето забележително изследване? Защо трябва да се занимаваме с такива проблеми, когато ирационалните числа не съществуват?" Видният математик Вайерщтрас, намирайки са на преклонна възраст, бил доведен до плач от забележките на Кронекер за „некоректността на всички изводи на така-наречения анализ”, а Кантор от нападките на Кронекер бил сломен духовно. Кронекер е бил нисък на ръст и от детството си се отнасял с подозрение към околните, с които е имал обтегнати, да не кажем враждебни отношения. Починал на 29 декември 1891 година в Берлин, няколко месеца след смъртта на своята съпруга. В последната си година от своя живот приел християнството. Неговото име носят математическите понятия: Символ на Кронекер, теорема на Кронекер, теорема на Кронекер-Капели, произведение на Кронекер. - Самата конструкция се нарича присъединяване към полето Zp един от корените на полинома f(x), да го означим с . Новополученото разширение се означава с Zp(). Разбира се, f(x) може да притежава и други корени в някакво разширение на Zp. Остава въпросът - Дали присъединяването на един корен на неприводимия полином f(x) присъединява и всички останали? Но за това – по-нататък. 3. Неприводими многочлени над GF(pn) Да припомним основни свойства за най-големия общ делител на два многочлена, които ще използваме. Нека F е поле и f(x) и g(x) са два многочлена от F[x]. Чрез разширения алгоритъм на Евклид, могат да се намерят многочлени a(x) и b(x) от F[x] такива, че a(x)f(x)+ b(x)g(x)= d(x), ( съотношение на Безу) където d(x) е най-големият общ делител на f(x) и g(x) : d(x)=(f(x), g(x)). Два многочлена f(x) и g(x) от F[x] се наричат взаимно-прости, ако (f(x), g(x))=1. Нека E/F е разширение на полето F. Тогава f(x) и g(x) могат да се разглеждат и като многочлени над разширението Е т.е. като многочлени от E[x]. Изчислителният процес на разширения алгоритъм на Евклид не налага напускането на полето F и използването на полето E. От това следва че най-големият общ делител на многочлените f(x) и g(x), разглеждани от F[x] е същият, който ще се получи ако ги разглеждаме като многочлени от E[x]. Твърдение: Ако многочлените f(x) и g(x) са неприводими, то те са взаимно-прости. + Ако това не е така и (f(x), g(x))=d(x) е многочлен от ненулева степен от F[x] то многочленът d(x) дели многочлените f(x) и g(x), което противоречи на предпоставката, че те са неприводими. - Ако полиномите f и g са взаимно прости над полето F, те не могат да имат общ корен и произволно разширение E/F. + Ако двата полинома имат общ корен в полето E, то техният най-голям общ делител (f, g) в полето E е различен от единица. Но (f, g)E=(f, g)F , което противоречи на това, че са взаимно прости в подполето F. - Ако многочленът f(x) е неприводим и степента на многочлена g(x) е по-малка от тази на f(x), то многочлените f(x) и g(x) са взаимно-прости. Това твърдение, вече, беше използвано в доказателството на теоремата на Кронекер. + Да допуснем, че (f(x), g(x))=d(x) е многочлен от ненулева степен от F[x]. Нека при делението на многочлените f на g се получава частно q(x) и остатък r(x). r(x) е ненулев многочлен, защото deg(g) Понеже f и g се делят на d(x) , следва, че r(x) се дели на d(x), което противоречи на предпоставката, че многочленът f е неприводим.
-
Отново да припомним отношението: Най-важното следствие от него е, че ако два многочлена от F[x] имат общ множител в разширението E то те имат такъв и в подполето F. Техните най-големи общи делители в двете полета съвпадат и този делител е от F[x], независимо от разширението E/F. Една основна теорема ограничава неприводимите многочлени от степен n над Zp като делители на универсалния многочлен Теорема: Ако f(x) е неприводим многочлен от степен n над Zp то f(x) е делител на Un(x). + f(x) е неприводим многочлен от степен n над Zp . Тогава съществува разширение на Zp - E=GF(pn), в което f(x) има корен (теорема на Кронекер). Разширението E има pn на брой елемента, като всичките те удовлетворят уравнението Un(x)=0 (беше доказано). Разширението Е се състои от многочлени от степен по-малка от n и действията с тях се извършват по двоен модул (mod f(x), p). f(x) в разширението E има корен, който ще означим с . е корен и на универсалния многочлен Un(x). Тогава многочлените f(x) и Un(x) имат общ делител в разширението E: (f, U)=d(x)1 (d е многочлен от ненулева степен). 
от където следва, че d/f. Понеже f е неприводим многочлен, то d=f. Следователно неприводимият многочлен f дели многочлена U. - Разширението E/F може да се разглежда като векторно пространство над полето F. Неговата размерност се означава с [E:F] и се нарича индекс на разширението. В нашия случай [GF(pn): Zp] = n, защото GF(pn) се състои от множеството многочлени от степен по-малка от deg(f)=n коефициенти от Zp . Доказахме, че ако f е неприводим многочлен от степен n то f дели универсалния многочлен
Ще докажем, че ако m Доказателство: Тогава f(x) има корен в GF(pm), понеже всички елементи от полето GF(pm) са корени на Um(x). Да разгледаме елементите 1, , 2,... m от GF(pm).
Разглеждаме ги като вектори от векторното пространство GF(pm)над полето Zp . Понеже [GF(pm) : Zp] = m то векторите 1, , 2,... m , които са m+1 на брой са линейно-зависими.
Следователно съществува тяхна нетривиална линейна комбинация с коефициети от Zp, равна на 0. Тогава има многочлен g от степен по-малка или равна на m, за който е корен.
Тогава (f,g)=d1 и и имат общ делител, който е многочлен от Zp[x]. Понеже f е неприводим d=f и следователно f/g.
Тогава m е по-малко или равно на n. n е минималната степен на многочлен, който се анулира от корен на f(x).
Ако F е поле и f(x) е полином от F[x] то Нека полиномът f от F[x] има корен в някакво разширение на полето F. Тогава той се разлага в E[x] на множители във вида:
където m>0 и h()0 ( не е корен на полинома h(x) ). Естественото число m се нарича кратност на корена .
Оказва се, че ние можем да разберем дали един полином има кратен корен във каквото и разширение на полето F и без да знаем кой е той. Твърдение: Полиномът f от F[x] има кратни корени в разширение на E/F тогава и само тогава, когато полиномите f и f/ не са взаимно прости - (f, f/ )=d1.
+
Ако f има кратен корен (кратността му е по-голяма от 1) в полето F или въоще в някакво разширение E/F то (x-) е общ делител в E на двата полинома f и f/ и следоватилно (f, f/ ) 1. Обратно: (f, f/ )F=d1 и Е/F е поле, в което d има корен . d(x) дели f. Но f има корен в полето F то x- е общ делител на двата полинома f и f/ и следователно кратнотта на е повече от едно. - Неприводим многочлен над поле F не може да има кратни корени в произволно разширение E/F. + Ако е корен на f(x) и на f/ (x) в каквото и да е разширение E на полето F то (f, f/)E=d(x) и степента на d е по-голяма от нула. d(x) е най големият общ делител на f и f/ в полето F, което противоречи на предпоставката, че f(x) е неприводим. - Беше описано построението на Кронекер за намиране на крайно поле с pn елемента - Zp(), в което неприводимият полином f(x) над Zp притежава корен. Разбира се, f(x) може да притежава и други корени в някакво разширение на Zp . Там беше поставен и въпросът дали присъединяването на един корен на f(x) присъединява и всички останали негови корени. Ще обосновем отговорът си: „Да!”. + В полето Zp() полиномът f(x) се разлага на множители:f(x)=(x- )h(x,). Тогава (f,h)=d(x)1 в полето Zp(). Следователно (f,h)=d(x) и в подполето Zp , а това противоречи на неприводимостта на f(x) в полето Zp . - В този, последен, пример ще разширим полето Z3 до полето GF(32) и полученото разширение - до GF(34). + Търся неприводим полином f(x) от втора степен от Z3[x] . Избирам f(x)=x2+1. Множеството от остатъци по двоен модул (mod x2+1, 3) са : GF(32)={0, 1, 2, x, x+1, x+2, 2x, 2x+1, 2x+2}. Събирането и изваждането в GF(32) се извършват по (mod 3). Например (2x+2)+(x+1)=3x+30 (mod 3). Умножението на два елемента от GF(32) се извършва, като те първо се умножат в Z3 , като междинните резултати, както и крайния се отчитат по (mod 3). Полученият полином се разделя на f(x)=x2+1, като резултатът отново се отчита по (mod 3). Например:  .
Заместваме x2 с (-1), отчитайки (mod x2+1 ). 
Следователно 
Съставяйки таблицата за умножение в GF(32) можем да намираме реципрочните елементи. 
Таблица на умножението 
Таблица на реципрочните елементи За да получа разширение на GF(32) от вида GF(34) трябва да намеря неприводим полином - q(y) от втора степен в GF(32)[y]. За q(y) ще предположа, че е нормиран. Тогава той ще има вида q(y)=y2+a1(x)y+a2(x), където a1(x) и a2(x) са полиноми от GF(32). Понеже q(y) е полином от втора степен, за неговата неприводимост е достатъчно да се убедя, че той няма нули в GF(32). Полиномът y2+1 не отговаря на това условие, защото той се анулира при y=x и се разлага: y2+1=(y-x)(y+x). Вторият множител е получен чрез делението (y2+1):(y-x). 
Ще направя таблица с неуспешни предложения за неприводими и техните корени.
Накрая попадам на полинома y2+(x+1), който няма корени в GF(32) следователно е неприводим над това поле. q(y)=y2+x+1 = 0 (mod y2+x+1) следователно y2 = 2x+2 (mod y2+x+1, 3). Множеството GF(34) ще се състои от остатъците при деление на полиномите от GF(32)[y] на q(x). Тези остатъци са от вида a0(x)y+a1(x), където a0(x) и a1(x) са полиноми от вида Ax+B, където A и B са остатъци по модул 3. Пример: Ще умножа и разделя елементите a и b от GF(34) , като a=(2x)y+(x+1) и b=y+(x). При това ще имам предвид равенствата: y2 = 2x+2, x2=-1, -1=2 и т.н. 
За намирането на частното a/b първо ще намеря реципрочния елемент на b. 
Да разделя полиномите с променлива у и коефициенти, които са многочлeни с променлива x. 
Получавам равенството, което ще го решиа спрямо 1/b: 
и после:
 .
Сега ще се възползвам от равенството x2 = -1. 
Вече лесно пресмятм a/b: 
- Ние сме накрая на тази научно-популярна статия. Да приветствам нейния внимателен читател. Той, не се съмнявам в това, си е задал някои въпроси. Например: Можем ли да намерим неприводим полином над Zp от степен n за всяко n и ако е така - колко са тези полиноми? Но такива може да има няколко. Всички ли разширения, които те пораждат, са по същество еднакви? В статията разширявахме само полето Zp до GF(pn) като използвахме неприводим полином от степен n. Можем ли да разширим полето GF(p2) до GF(p3) и изобщо за кои m и n съществува разширенията GF(pn)/ GF(pm)? Литература: 1. Журнал Квант 1986г. № 11 В. А. Олейников Неприводимость и иррационалность 2. В. В. Прасолов Многочлены 3. М. М. Постников Теория Галуа 4. Н.Г. Чеботарев Теория Галоа Изтегляне 0.54 Mb. Сподели с приятели:
|
където d=(a,m) получаваме:
е многочлен от Z[x]. 
е неприводим над полето на рационалните числа Q.
се нарича циклотомичен. Показва се, че циклотомичният Фn(x), където p е просто число е неприводим в полето на рационалните числа Q. 
.
:
.
.
В сила са свойствата
