Спектрален анализ на дискретизиран сигнал I. Цел на упражнението

За­по­з­на­ва­не с пра­к­ти­че­с­ко­то при­ло­же­ние на Фуриеровия анализ за об­ра­бо­т­ка на ди­с­к­ре­ти­зи­ран ана­ло­гов си­г­нал. Усвояване и прилагане на специализираните функции в MATLAB: fft, ifft, abs, angle, прозоречните функции HAMMING, HANN, BARTLETT, HANNING. Конфигуриране на звуковата карта на персонален компютър чрез MATLAB за снемане на сигнал.

Персонален компютър (със звукова карта),микрофон, MATLAB.

1. Вклю­че­те ­ком­пю­тъ­ра, стартирайте MATLAB.

2. Създайте програма, която да генерира синусоидален сигнал с параметри:

f = 500 Hz, A = 1V, Fs = 5000 Hz, N = 128.

f – честота на сигнала, А – амплитуда на сигнала, Fs – честота на дискретизация, N – брой точки на сигнала.

3. По­лу­че­те АЧХ и ФЧХ на създадения сигнал. Анализирайте ги.

%======================= примерна програма към т.2 =====================

clear; % нулиране на Workspase

f=500; %честота на генерирания сигнал в Hz

N=128; %брой на точките от сигнала

Fs=5000; %честота на дискретизация в Hz

Ts=1./Fs; %период на честотата на дискретизация

t=(0:Ts:(N-1)*Ts); %моментите на дискретизация

x=sin(2*pi*f*t+pi/6); %стойностите на функцията

subplot(311), stem(x,'.'), grid on, axis([0 N-1 -2 2])

xlabel('n'), ylabel('x(n)'), title('time discrete signal');

X=fft(x,N);

Xf=abs(X)./N;

fi=angle(X);

fa=(0:Fs/N:(N-1)*Fs/N);

subplot(312), stem(fa,Xf,'.'), grid on, axis([0 Fs 0 N+2])

xlabel('f,Hz'), ylabel('X(f)'), title('DTF spectrum');

subplot(313), stem(fa,fi,'.'), grid on, axis([0 Fs -5 5])

xlabel('f,Hz'), ylabel('fi(f)'), title('angle');

Функцията за бързо преобразувание на Фурие има вида:

fft(x,N) ,

където x – векторът със стойностите на функцията;

N – броя на точките.

където: f1, f2 – честоти на синусоидалните сигнали, А1, А2 – максимални амплитуди,

ψ1, ψ2 – начални фази. N и Fs са като в т.2

4. Използвайте теглови прозорци преди преобразуването на Фурие -

HAMMING, HANN, BARTLETT, HANNING и др. Форматът на функциите има вида:

W=HAMMING(N) – където N е броя на точките.

%======================== примерна програма към т.3 и т.4 ====================

clear;

N=128;

Ts=1./Fs;

t=(0:Ts:(N-1)*Ts);

x=sin(2*pi*f*t+pi/6)+ 0.5*sin(2*pi*(f+100)*t+pi/4);

subplot(311), stem(x,'.'), grid on, axis([0 N-1 -2 2])

xlabel('n'), ylabel('x(n)'), title('time discrete signal');

W=HAMMING(N);

x=x.*W';

xlabel('n'), ylabel('x(n)*Window'), title('time discrete signal * Window');

pause;

X=fft(x,N);

fi=angle(X);

fa=(0:Fs/N:(N-1)*Fs/N);

subplot(313), stem(fa,Xf,'.'), grid on, axis([0 Fs 0 N+2])

xlabel('f,Hz'), ylabel('X(f)'), title('DTF spectrum');

5. Конфигурирайте звуковата карта на компютъра за възприемане и подаване на сигнал към MATLAB. Използвайте следните опции: продължителност на възприемане = 1s, честота на дискретизация = 44100 Hz, Тип на тригериращото въздействие – мигновенно ('Immediate').

6. Запишете гласа си чрез микрофон.

%===================примерна програма към т.5 и т.6 ====================

d = 1;

OB = analoginput('winsound',0);

addchannel(OB, 1);

set(OB, 'SampleRate', 44100);

rate = get(OB, 'SampleRate')

set(OB, 'SampleRate', rate);

set(OB, 'SamplesPerTrigger', rate*d);

set(OB, 'TriggerType', 'Immediate');

start(OB);

wait(OB,1+d);

A = getdata(OB);

delete(OB);

clear OB;

plot(A);
6. Запишете събраната информация във файл чрез save().

7. Направете спектрален анализ на гласа си. Изведете АЧХ, ФЧХ.

8. Направете обратно Фурие преобразувание на гласа си и сравнете получената графика с оригинала.

%===================примерна програма към т.7 и т.8 ====================

Fs = 44100;

Ts = 1./Fs;

N = size(F)

t = 0:Ts:(N-1)*Ts;

N = N(1);

fa=0:Fs/N:(N-1)*(Fs/N)

DFT = fft(F,size(F));

A4X = abs(DFT);

A4X = A4X./N; %нормиране

F4X = angle(DFT);

subplot(4, 1, 1)

stem(fa, A4X, '.');

title('AЧХ');

subplot(4, 1, 2)

plot(fa, F4X);

title('ФЧХ');

subplot(4, 1, 3)

plot(t,ifft(DFT));

title('Обратно Фурие преобразувание');

subplot(4, 1, 4)

plot(t , F);

title('първообраз');


IV. Информационна част

1. Преобразуване на Фурие.

На­ми­ра­не­то на спе­к­тъ­ра на за­да­ден вхо­ден си­г­нал се да­ва от фор­му­ла­та:

Модулът се нарича амплитуден спектър:

Обратното преобразуване на Фурие се дава от израза:

Функциите и описват в различна форма един и същ процес. Ако разглеждаме , то състоянието на системата се представя в равнината амплитуда-време. Ако разглеждаме , то състоянието на системата се разглежда в равнината амплитуда-честота. Не е задължително дименсията на аргумента да е обезателно за измерване на време. Ако едната функция, например, има за аргумент величина с дименсия метър, то нейният Фурие образ ще има за аргумент величина с дименсия метър^-1.

Избрано е преобразуването на Фурие да е разложение като сума от синусоидални и косинусоидални функции, защото тези функции са собствени функции на линейния филтър, т.е. те не изменят формата си при преминаването при него и от тази гледна точка са най-удобни за работа.

Следват Фурие образите на някои функции:

а)  ;

б)  ;

в)  ;

г)  ;

д)  ;

е)  .

При реално изчисляване на спектъра на сигнал, след дискретизиране на N точки от него, обикновено се търсят N точки от неговия спектър. За дискретизираният сигнал x(kT) спектърът се изчислява по формулата:

Полученият дискретен спектър в следствие на дискретизацията е симетричен спрямо честотата , т.е. .

За дискретното обратно преобразуване на Фурие е справедлива формулата:

,
където е стъпката с която е изчисляван спектъра.

3. Бързо преобразуване на Фурие.

Горните формули са свързани с голяма количество изчисления, чийто брой нараства с квадрата на броя точки N. За ускорено получаване на преобразуването на Фурие са разработени множество бързи алгоритми. Най-популярен сред тях е Бързото Преобразуване на Фурие - алгоритъм, разработен от Кули и Тюки. При него броят на изчисленията нараства приблизително линейно с броя на точките. Известни са също така и алгоритъма на Виноградов. При преобразуването на Уолш спектърът се получава само посредством операции събиране (без умножения) и времето за изчисляване е много по-малко. По аналогичен начин на бързото преобразуване на Фурие са разработени и алгоритми за бързо преобразуване на Уолш.

1. 
   Кои са източниците на грешка при изчисляване на спектъра на дискретизиран сигнал и как биха могли да се намалят те?