Съпоставка между методите за устойчивост на откоси

Някои от най-често използваните методи за анализ на устойчивостта на склонове са на принципите на граничното равновесие и методa на кръгово-цилиндричната повърхнина. Това са: метод Fellenius, опростеният метод на Bishop, метод на Корпуса на инженерите, опростения и общ методи на Janbu, методът Spencer, и метод Morgenstern - Price. Приликите и разликите в тези методи са били неясни, до голяма степен поради:

1) липсата на еднаквост при формулирането на уравне­нията на равновесие;

2) неяснотата относно отчитането на междуламелните сили;

3) неизвестните граници на приложение на методите, наложени от некръгови повърхнини.
Теоретичните изследвания са показали, че една обща формулировка на равновесните уравнения може да се използва за всички методи. Коефициентите на устойчивост са получени по отношение на моментовото и/или силовото равновесие. Всички методи използват едното или двете уравнения. Включването на междуламелни сили в изчисле­нието на стабилитета, както и функционалната връзка (т.е., ламбда, λ) е била използвана, за да се съпоставят и сравняват коефициентите на устойчивост, изчислени по различните методи. Този подход е осигурил ясна и конкретна оценка на отклонението на коефициента на устойчивост.
През последните десетилетия, много методи са били предложени за изчисляване на двумерен модел за гранично равновесие с ламели. Най-често използваните методи са:

1. 
   Метод на кръгово-цилиндричната повърхнина. Други имена, дадени на този метод са Fellenius, шведски кръг и конвенционалния метод;
   
2. 
   Опростен метод на Bishop;
   
3. 
   Метод на Spencer;
   
4. 
   Опростен и генерален методи на Janbu;
   
5. 
   Силови методи на равновесие, като например метода на Lowe и Karafiath, метод на Корпуса на инженерите в САЩ;
   
6. 
   Методът на Morgenstern-Price.
   

Приликите и разликите в тези методи са били неясни, най-вече поради липсата на еднаквост по отношение фор­мулирането на коефициента на сигурност в уравненията. Неяснота съществува и относно хлъзгателните сили и неизвестните граници, наложени от некръгови повърх­ности. Количествените разлики в коефициентите на устойчивост, получени по различните методи (Bishop, 1955; Wright, 1969; Duncan и Wright, 1980), като цяло, не са съществени. Изключение прави методът на кръгово-цилиндричната повърхнина, който може да се различава с повече от 60 процента от другите методи. В литературата могат да се намерят публикации за връзката между различните методи, от теоретична гледна точка.

След завършване на училище през 1941 г., следва „архитектура и строителство“ в Норвежкия институт за технологии. Завършва през 1947 г. и става асистент в Института за структурен анализ. През 1948 заминава като стипендиант в Харвард, при тогавашните водещи в областта на земната механика Артур Казагранде и Карл фон Терцаги. Той получава магистърска степен през 1949 г., след което започва да пише докторската си дисертация в Харвард, която е защитил през 1954 година. Това една от най-известните му публикации. В нея той предлага различен метод за определяне устойчивостта на откоси. Поради изтичане на стипендията, Janbu се връща в Осло и от 1952г. работи в различни университети в Норвегия.

След дипломирането си от колежа Еманюел, Кеймбридж, той работил при Алек Скенптън и получава докторска степен през 1952 г. Дисертацията му: Стабилност на земни склонове, е известеният метод на Бишоп за изследване устойчивостта на откоси. Той работи усилено в областта на експерименталната земна механика и разработва модел на триаксиален апарат и апарат за плоскостно срязване.

Неговият принос към науката е широко признат и той е поканен през 1966 г. да изнесе лекция на „Шестата Ранкинова конференция“ на Британската геотехническа асоциация, на тема: „Силата на почвите като инженерен материал”.

В днешно време, част от лабораторията по земна механика в имперски колеж е кръстена на него, като признание за дългогодишната му работата в Кеймбринж.

Проф. Моргенщерн е поканен да се върне в универ­ситета в Торонто, и през през 1968 г. той постъпва като професор по гражданско инженерство в Албърта. Първо му изследвания в механиката на стабилност на склонове и се използва за оценката на свлачища и проектирането на откоси. Моргенщерн и учениците му изследват и разра­ботват хвостохранилища, петролоносните пясъци на Албърта и проектира геотехнически съоръжения.

Целта на тази статия е да представи общ метод на равнинно гранично равновесие и да покаже как всеки от методите, изброени по-горе е специален случай на общата постановка. (Наречена по-долу „Общ метод за гранично равновесие на склонове” или метода GLE). Методът на кръгово-цилиндричната повърхнина се превръща в изключение, който не може да бъде обвързан с общата формулировка, тъй като тя не отговаря на Нютоновите силови принципи между ламелите (Fredlund и Krahn, 1977). В статията също така е показано как в различните методи с използване на ламели може да бъде включено и не кръгово хлъзгане. Представени са примери за сравнение на коефициентите на устойчивост.

Уравненията на статиката, които могат да бъдат използвани за получаване на коефициента на устойчивост са: сума на силите по Х и Y и сума на моментите около избрана точка на въртене. Тези уравнения, заедно с критериите за разрушаване са недостатъчни, да се определи достоверно стабилността на склона. За решаването на този проблем се използват или допълнителни елементи на физиката или предположение за посоката или големината на някои от силите.

Всички методи разгледани в тази статия, използват тази методика и правят предположение относно силите в хлъзгателната повърхнина.

Теоретични изследвания са показали, че коефициентът на сигурност, може да бъде независимо получен от моментно и силово равновесие на пластовете, които са над предполагаема хлъзгава повърхност (Fredlund и Krahn, 1977 г.). Използва се също предполагаема функционална връзка за определяне на посоката на междуламелните сили. По-късно в тази статия, различните методи за определяне коефициента на устойчивост, се разглеждат като особени случаи на формулировка на GLE.

На Фигура 1 са показани силите, участващи в силовите и моментови уравнения, като равновесни условия за устой­чивост на кръгово цилиндричната хлъзгателна повърх­нина.

Където: W е общата вертикална сила, от масата на всяка ламела с ширина b и височина Н;

P - нормалната компонента на силата G в основата на ламелата;

S_m - сила на срязване, мобилизирана в основата на всяка ламела;

E - хоризонтални междуламелни сили;

Х - срязващи (вертикални) междуламелни сили;

R - радиус или рамо на силите спрямо предполагаем център на въртене;

х - хоризонталното разстояние от центърa на тежестта на всяка ламела до центъра на въртене;

a – перпендикуляр на хидродинамичната сила до центъра на въртене;

b - ширина на ламелата;

A –хидродинамична сила;

α - ъгълът между допирателната към центъра на основата на всяка ламела и хоризонталата.

Индексите L и R на променливите E, X, а и А определят съответно лявата и дясната страна на силата.

Величината на силата на срязване мобилизирана в основата на ламелата може да бъде написана според теорията на Mohr-Coulomb.

’ - ефективен ъгъл на вътрешно триене.

Равновесното моментово уравнение по метода GLE обхваща всички ламели чрез сумиране на моменти около центъра на въртене.

Силата, мобилизирана от срязване (S_m), е написана по отношение на критерий за сила на срязване [1]. В уравнение [2] тя може да бъде решена като коефициент на устойчивост по отношение на моментно равновесие, F_m.

Силовото равновесно уравнение за метода GLE е написано чрез сумиране на сили в хоризонтална посока за целия склон.

За пореден път срязващите между ламелни силите трябва да отпаднат. Ако мобилизираната срязваща сила се записва по отношение на теорията [1], уравнение [4] може да бъде решено, като коефициент на устойчивост F_f.

Нормалната сила (P), за уравнения [3] и [5] може да бъде намерена, чрез сумиране на вертикалните сили на всяка ламела.



Коефициента на устойчивост F, в уравнение [6] може да се решава по отношение на моментно или силово равновесно условие. Всяко едно от възможните предпо­ложения може да бъде направено, за да се изчислят срязващите между ламелни сили. Различните методи, които обикновено се използват могат да бъдат категоризирани по отношение на предположението, което правят и дали изчисления коефициента на устойчивост отговарят моментово и/или силово равновесие.

Фигура 2 показва силите, които се използват при получаването на моментово и/или силово равновесно условие в метода GLE за не кръгла хлъзгателна повърхнина (фиг. 2). Не кръгла част се приема, в случай има по-здрава скала, която не позволява на хлъзгателната повърхнина да проникне по-дълбоко. От теоретична гледна точка има две промени в моментното равновесно уравнение. Радиуса (R), свързан с мобилизираната срязваща силата става променлив. При нормалната сила (P), има отместване на рамото (f).

Уравнението за коефициента на устойчивост при моментно равновесно услови става:



Morgenstern и Price (1965) решават за коефициента на устойчивост да използват сумиране на тангенциални и нормални сили до основата на ламелата и сумиране на моменти около центъра на основата на всяка ламела. Формулите са написани за ламела с безкрайно малка дебелина. Моментово и силово равновесно уравнения се комбинират и чрез модифицирана числен техника Newton-Raphson се използва за намиране на коефициента на устойчивост. Решението изисква произволно допускане по отношение на посоката на резултантната на вътрешно ламелните срязващи и нормални сили. Фигура 3 показва типични функционални форми, които могат да бъдат описани с:

където: f (х) - функция, която описва начина, по който отношението на хоризонталните и вертикални между­ламелни сили варират;

λ - константа представляваща процент от използваната функция при намиране коефициента на устойчивост.


Фиг. 3 Типични функционални вариации за посоката на вътрешно ламелните сила по отношение на посоката на X

Коефициента на устойчивост може да бъде решен независимо за дадена функция f(х), като се приемат различни пробни стойности за λ. Най-точни резултати се получават, когато се използват моментовото и силовото равновесие. Разликата между Morgenstern-Price и GLE е в начина, по който се прилага нормалната сила, в основата на ламелата (Фигура 4). Като резултат, получената нормална сила P, може да има леко изместване от центъра на ламелата. Формулировка GLE предполага, че получената нормална сила действа в центъра на ламелата.

Fredlund и Krahn (1977) използват склон с височина 12,2 м и наклон 2:1 да представят разликата във коефициента на устойчивост, и λ между постановката на Morgenstern-Price и GLE. Първият пример е за кръгово цилиндрична повърхнина минаваща през еднородна почва с ефективен ъгъл на вътрешно триене ‘=20⁰ и ефективна кохезия С‘=28,7 кРа. Вторият примерът е не кръгова хлъзгателна повърхнина, чрез въвеждане на здрав пласт на дълбочина 1,52 м под върха на склона. Тънък слаб слой с ефективен ъгъл на вътрешно триене ‘ = 10⁰ и нула ефективна кохезия се намира непосредствено над твърд слой. Два коефициенти на порен натиск са използвани за всеки модел. Изчислените коефициента на сигурност и стойности на λ са представени в Таблица 1.

Таблица 1.

Сравнение на коефициента на устойчивост и λ, използвайки метода Morgenstern-Price и GLE

Форма на хлъзгат. повърхнина	ru	Посока на действие на силите	Метод Morgenstern-Price		GLE Method X
			F	λ	F	λ
Кръгово	0.0	Константна	2.085	0.257	2.076	0.254
цилиндрична	0.0	Полу синос	2.085	0.314	2.076	0.318
повърхнина	0.25	Константна	1.772	0.351	1.765	0.244
	0.25	Полу синос	1.770	0.434	1.764	0.304
Не	0.0	Константна	1.394	0.182	1.378	0.159
кръгова	0.0	Полу синос	1.386	0.218	1.370	0.187
повърхнина	0.25	Константна	1.137	0.334	1.124	0.116
	0.25	Полу синос	1.117	0.441	1.118	0.130

Средната разлика в коефициента на сигурност, получени по метода Morgenstern-Price и метода GLE е незначителна (по-малко от 0,01). Средната разлика в стойностите на λ е от порядъка на 0,1, при Morgenstern-Price е по-висока. Резултатите показват, че има малка разлика в изчисле­нията поради начина, по който се изчислява тази сила.

Методът Spencer

Методът на Спенсър предполага постоянна връзка между големината на срязващите и нормалните между ламелни сили (Spencer, 1967).

X / E = tan θ [9]

където: θ - ъгъл на получената вътрешно ламелна сила от хоризонталата.

Уравнение [9] е същото като уравнение [8], ако функцията на между ламелни сила f(x), е равно на 1. Тогава λ е равна на tanθ. Спенсър сумира силите перпендикулярна на между ламелните, за да получи уравнението на нормалните сили. Въпреки това, същото уравнение може да бъде получено, чрез сумиране на сили във вертикална и хоризонтална посока (т.е. уравнение [6]).

Spencer (1967), получава две уравнения за коефициента на устойчивост, едното удовлетворява силовото равно­весие. Тези уравнения са по същество същите като тези, предложени в предходните методи, когато функцията на междуламелните сили f(x), се очаква да бъде константа.

Представени са два примера, за да се демонстрира връзката между метода Spencer и останалите методи (Фигура 5).

Фиг. 5. Постановка на Пример 1 и 2

Пример № 1 е кръгово цилиндрична хлъзгателна по­върхнина, докато например № 2 е в композитна повърх­ност с основна скала. Примерите са подобни на тези, описани по-горе в тази статия (Fredlund и Krahn, 1977) с тази разлика, че на 3.05 m има пукнатинна зона без вода и коефициент на налягане на порите е 0.2.

Резултатите за пример № 1 (Фигура 6) показват, че методът Spencer и формулирането на GLE дават същите резултати. Също така, резултатите за пример № 2 (Фигура 7) показват съгласие между метода Spencer и формулировка GLE. Посоките на вътрешно ламелните сила на фигури 6 и 7 са представени от гледна точка на tan 0 (т.е., X).

Методът Bishop

Опростеният метод Bishop пренебрегва между ламелните срязващи сили. Уравнението на нормалната сила е същото като уравнение [6]. Коефициентът на устойчивост се получава, с моментово равновесие (ΣМ=0), или уравнение [3] (Фигура 6 и 7). Опростеният метод Bishop носи същата връзка към формулировка GLE (или Spencer уравнения), независимо от това дали повърхността на хлъзгане е кръгла или композит. Като цяло, разликата между коефициента на устойчивост по опростения метод на Bishop и по силовото и моментово равновесие, намалява при особени склонове с все по-равнинна част.

В извеждането на опростения метод Janbu е допуснато, че между ламелните срязващи сили са нула (Janbu et Ал, 1956 г.). Уравнението на нормалната сила е същото като уравнение [6]. Коефициентът на устойчивост се изчислява от уравнението за равновесие на хоризонталните сили (уравнение [5]). Той се умножава по емпиричен корекционен коефициент в опит да се отчете ефектът на между ламелните срязващи сили. Този коефициент е свързан със срязващите якостни свойства и формата на склона. Тогава моментовото равновесие не е удовлетворено. За примери № 1 и № 2, некоригираните коефициента на устойчивост са съответно 1.609 и 1.005 (виж фигури 6 и 7).

Обобщеният метод Janbu включва между ламелните сили като се прави предположение по отношение на точката, в която действат. Равновесното уравнение на нормалната сила се получава от сумирането на вертикалните сили уравнение [6].

Уравнение за коефициента на устойчивост се получава уравнение [5]. Между ламелните срязващи сили са изчислени като се сумират моментите около центъра на основата на всяка ламела.

X_R = E_R tanα_t - (E_R - E_L)t_R/b [10]

Където: α_t = ъгъл между линията на натиск върху дясната страна на ламелата и хоризонталата.

t_R = вертикално разстояние от основата на ламелата до линията на натиск върху дясната й страна.

Хоризонталните междуламелните сили, в уравнение [10], са получени чрез сумиране на хоризонтални сили във всяка ламелата.

E_L – E_R=S_m cosα – P.sinα [11]

След като Janbu обобщава уравнението за коефи­циента на устойчивост [5] решава, че е възможно да се начертае изчислената между ламелна срязваща и нор­мална сили. Целта е определяне на съответната стра­нична сила.

Пример № 3 (Фигура 8) се използва за да се демонстрира методът на Janbu. F = 1.19.

Фиг. 8. Пример № 3 да демонстрира метод Janbu
Съотношението между изчислената междуламелните срязващи и нормална сила спрямо разстоянието до хлъзгателната повърхнина е показан на Фигура 9. Полученият участъка се използва като функция на страничната сила f(x), методът Spencer използва същата формулировка. Коефициента на устойчивост при GLE λ=constant, води до получаването на същия коефициента на устойчивост, като и полученото по методът на Janbu. Сумиране на силите на всяка ламела може да се разглежда като средство за получаване на определен вид функция на страничната сила. По този начин, моментното равновесие е безусловно удовлетворено.



Фиг. 9. Функция на странични сила в ПРИМЕР № 3, използвайки методът на Janbu

Изводи

Общ метод за гранично равновесие с ламели (GLE метод) е обобщен метод за изследване на откоси. Той дава максимална свобода и отчита всички параметри. Всички други методи макар и по-използвани, могат да се разглеждат като частни случаи.

Bishop, A. W. (1953), ’The Use of the Slip Circle in the Stability Analysis of Slopes'¹, Geotechnique.

Janbu, N. (1980), "Critical Evaluation of the Approaches to Stability Analysis of Landslides and Other Mass Movements, Proc. International Symposium on Landslides, New Delhi, Vol. 2.

Janbu, N. (1954), "Application of Composite Slip Surfaces for Stability Analysis", Proceedings of the European Conference on Stability of Earth Slopes, Stockholm, Vol. 3.