Съставни криви от елементи на безие

за непрекъснатостта на наклона на първата производна на кривата (С¹-непрекъснатост), е необходимо да е изпълнено:

където k₀ и k₁ са дължините да допирателните вектори в съвпадащите краища, които в общия случай могат да имат различни стойности. От горните две равенства следва, че точките r₂⁽¹⁾, r₃⁽¹⁾ = r₀⁽²⁾ и r₁⁽²⁾ трябва да лежат на една права.

За да намалим броя на умноженията в програмата за чертане на един сегмент от кривата, използваме правилото на Хорнер за пресмятане на стойността на полином в точка:

За постигане на С¹-непрекъснатост независимо от задаваните данни (при положение, разбира се, че се изключва наличието на съвпадащи съседни характеристични точки) може входният масив да съдържа само точки, съответстващи на r₁⁽ⁱ⁾ и r₂⁽ⁱ⁾, а за точките r₀⁽ⁱ⁾ и r₃^(i-1) да се смята че лежат на средата на отсечките |r₁⁽ⁱ⁾ – r₂^(i-1)| т.е. да се приеме, че k₀ = k₁. С това естествено ще се намалят степените на свобода на кривата.

Броят на задаваните точки в този случай трябва да е четен: n = 2k+2, където k отново е броят на сегментите.

Нека сега разгледаме случая, в който се изисква кривината в точките на съединяване да е непрекъсната. Можем да използваме формулите за кривината в краищата на един сегмент, като ги приравним като вектори, защото кривите, които разглеждаме, са равнинни и векторното произведение в числителя има постоянна посока. Посоката на векторите в знаменателя пък съвпада заради непрекъснатостта на посоката на първата производна. Тогава ще получим:

Тогава ще получим:

Това уравнение се удовлетворява (от свойствата на векторното произведение) тогава, когато:

където c е произволен скалар. Като елиминираме r₁⁽²⁾ и като положим λ=k₁/k_0, μ=3c/k₀, ще получим:

С това успяхме да изразим точките на характеристичната начупена на втория сегмент чрез тези на първия, а именно:

Тези две уравнения имат следния геометричен смисъл. За да има непрекъснатост на кривината е необходимо:

1. 
   Точките r₂⁽¹⁾, r₃⁽¹⁾ = r₀⁽²⁾ и r₁⁽²⁾ да са колинеарни;
   
2. 
   Точката r₂⁽²⁾ да лежи на правата, носеща вектора r₃⁽¹⁾ – r₂⁽¹⁾ и минаваща през точката Р = r₃⁽¹⁾+ λ ²(r₁⁽¹⁾ – r₁⁽²⁾).