Стохастичен модел на валеж–отток (rainfall-runoff) за еталонния „асеновградски”карстов басейн гл ас Юлия Атанасова Кирова
Изтегляне 117.46 Kb.
|
- Навигация на страницата:
- Прост математически модел на равновесието
- Фиг. 1 Траектории на зависимостта между валеж – отток в зависимост от стойностите на s – обозначени са траекториите при стойности на s = 0.04, 0.08 и 0.12
- Избор на вероятностен модел за описание на данните
- Сведения за устойчивите разпределения
- Фиг.3. Съответсвие между емпирчните данни и модели представени чрез Q-Q Plot
| СТОХАСТИЧЕН МОДЕЛ НА ВАЛЕЖ–ОТТОК (RAINFALL-RUNOFF) ЗА ЕТАЛОННИЯ „АСЕНОВГРАДСКИ”КАРСТОВ БАСЕЙН
Гл.ас Юлия Атанасова Кирова Национален Институт по Метеорология и Хидрология към БАН, 1784 София, E-mail – jkirova@abv.bg РЕЗЮМЕ Хидравличното поведение на водните ресурси в сложни хидрогеоложки формации, характеризиращи се със сложна физическа и геометрична хетерогенност във всички възможни нива и мащаби, е възможно да бъде моделирано чрез подходящо избрано отношение между входящи (P(t)) и изходящи (Q(t)) водни дебити. Математически те могат да бъдат представени като случайни, само-корелиращи се и крос-корелиращи се (не)стационарни процеси във времето (t). За всеки период от време за входяща информация може да се използва дискретното измерване на тоталния валеж, а за изходяща информация - дебитите на оттока. Разработеният стохастичен модел е реализиран компютърно, като резултатите са представени от една страна като Q-Q диаграми, показващи близостта между модела и експерименталните данни и диаграма на устойчивостта на детерминистичния процес, и нелинейно свързания с него стохастичен процес. Резултатите от компютърната обработка на конкретен емпиричен материал показват, че върху диаграмата(P(t)) - (Q(t)), спрямо точката на равновесие SE (P(t)) = (Stable Equilibrium) (Q(t)), се оформя фамилия от траектории на зависимостта между (P(t)) и (Q(t)), които в зависимост от въздействието на стохастичната компонента са в близост или се отдалечават спрямо детерминистичните траектории, трасиращи стабилност на процеса валеж-отток.
The elaboration stochastic model has computer realization, like results presents on one side in Q-Q – diagrams which one showed the closeness between present model and experimental data and nonlinearity stochastic process. The results of computer simulation in concrete empirical material showed that on diagram (P(t)) - (Q(t)) relation to SE (P(t)) = (Q(t)) (Stable Equilibrium) supposed dependency between (P(t)) и (Q(t)), which one is closed or far off toward deterministic trajectories, which tracing stability of rainfall-runoff process. Въведение С основополагащата се работа на Лабо и др. (Labat, Ababou, Mangin, 1999). за успешно реализиран модел на Волтер (Volterra expansion) в карстови терени се въведоха нетрадиционни насоки на стохастичното моделиране в хидрогеологията. Хидравличното поведение на водните ресурси в сложни хидрогеоложки формации, характеризиращи се със сложна физическа и геометрична хетерогенност във всички възможни нива и мащаби, е възможно да бъде моделирано чрез подходящо избрано отношение между входящи и изходящи водни дебити (.Трошанов, Н. 1992). Математически те могат да бъдат представени като случайни, само-корелиращи се и крос-корелиращи се (не)стационарни процеси във времето (t). За всеки период от време за входяща информация може да се използва дискретното измерване на тоталния валеж, а за изходяща информация - дебитите на оттока. При окончателния баланс трябва да се отчита и каква част от падналия валеж се оттича като повърхностен отток. Публикуваните до момента решения не следват точно решенията на диференциалните уравнения, а флуктуират около тях. Нашите изследвания на поведението на тези системи показва, че отчитането на флуктуациите е удачно да се реализира чрез подходящо избрано управляващо уравнение. Решението на вероятностните уравнения е близко до начина на решението на уравнението на Чепмен-Колмогоров. С този вариант на решение се определят както широко мащабните детерминистични изменения, така и флуктуационната част, която не се разглежда само като “случайна добавка” към детерминистичното уравнение. Според проведени от нас компютърни експерименти се показва категорично, че при подобно опростяване не може да се очаква близост на решението с експерименталните данни. Прост математически модел на равновесието Нека да приемем, че натрупването във времето на водни количества, които са резултат от регистрираните количества валежи има следната скорост:  , където i - са постъпили водни количества валежи, за времето ( t )  е коефициент на интензивност на валежите.
Нека да предположим, че валежи почти липсват и е налице източване на акумулирани водни количества, т. е.  , където z са източените водни количества, за времето (t), а  е коефициент на намаляване на акумулираните водни количества.
За да се изследва динамиката на взаимодействие между постъпващите и извличащите се водни количества трябва горните две уравнения да се обединят, т.е.   , където  е източеното водно количество за единица време ( t ). Скоростта на изменение на източваните водни количества може да се представи с аналогично уравнение:
 , където  е достигнатата скорост на акумулиране на водни количества в резултат от валежите за време ( t ).
Очевидно е, че отношението между т. нар. „вход-изход” (Input-output) водни дебити ще има цикличен характер. Когато валежите са много, то ще се увеличи и дебитът на водоизточника. Обратно, намаляването на валежите, ще доведе до намаляване на дебита на водоизточника. Разбира се, това на става моментално, а с известно закъснение, което се изразява с колебанията на обемите на валежите и водоизточника. Следователно, тези уравнения могат да се разглеждат в търсенето на точката на равновесие, т. е.  .
След като производните са равни на 0, то получаваме: 
За да изключим променливата  ; 
След стандартни преобразувания се получава:  .
Едно подходящо решение се дава от следното равенство:  , където  - константа, от която зависи отдалечаването на траекторията на решението спрямо точката на равновесие – ( ).
Типични решения са представени на фиг. 1. Вижда се, че решенията зависят много силно от стойността на 
Фиг. 1 Траектории на зависимостта между валеж – отток в зависимост от стойностите на s – обозначени са траекториите при стойности на s = 0.04, 0.08 и 0.12 Следователно, емпиричното определение на е твърде важно, тъй като тази константа отразява някакъв относително постоянен обем на подземните води, който естествено се колебае в зависимост от притока и оттока, но се предполага, че във времето тези колебания имат ергодичен характер. Известно е, че свойството ергодичност е налице когато средното и дисперсията на отделните реализации (измервания) са съответни на параметрите на разпределението като средно и дисперсия, т. е.:
  , където  е времето.
Установяването (неустановяването) на ергодичност в изследването на процеса валеж-отток ще позволява (или обратното) да се премине от ежедневно към седмично или към месечно замерване обемите на валежите и съответния отток. За точното определяне на Избор на вероятностен модел за описание на данните Изборът на вероятностен модел за описание на природните данни е много сложна задача. Преди появата на геостатистиката обработката на пространствените данни следваше рецептите на традиционната статистика, свързани с ползването в общо геоложката практика на статистически разпределения като нормално, гама, логнормално и др. Удачният избор на някое от тези разпределения, в контекста на приемливо за практиката адекватно описание на природния обект, се възприема от изследователските екипи като избор на вероятностен модел за описание на данните. В хидрогеоложката практика са известни измерени стойностите на проницаемостта, които представени чрез коефициента Kd варират в интервала от 10-17 до 10-12. Естествено, логаритмуването на такъв род данни потиска максимално дисперсията. Не случайно, бащите на геостатистиката Д. Криге (Krige, D., 1961) и Ж. Матерон (Matheron, G., 1963, 1971) определят за централна ролята на логнормалното разпределение при геостатистическо описание на повечето геоложки данни. След 1973г. един от учениците на Матерон - Давид, (David, M., 1977), въз основа на натрупан опит, препоръчват логнормалния закон за базов в геостатистиката. С това се прави опит за въвеждането на задължителното логаритмуване на всички данни, които съдържат екстремни стойности. Паралелно с това се въвежда и понятието и формализма на т.нар. логнормален Кригинг. Самото название определя изискването - разпределението на данните (нарастванията) да съответствува на Логнормалния закон. Обаче в последно време се натрупват факти, че логнормалната хипотеза не се потвърждава, особено при данни с високи стойности на дисперсията През 1960г. Бенуа Манделброт (Mandelbrot B., 1960) показва, че повечето от природните данни не покриват тестовете на Колмогоров - Смирнов за съгласуваност с логнормалната хипотеза. Алтернативното предложение е, че данните са разпределени по т.нар. Устойчив закон. Този клас разпределения са всъщност едно широко обобщение на нормалния закон. Доказана от Леви (Levi, P., 1925) и Хинчин (Khinchin, A., 1938) теорема гласи, че показателят  , който стои в степента на  над експонентата на характеристичната функция и който при нормалното разпределение е равен на 2, а при  дефинира безкрайна дисперсия. Както се спомена, практиката не може да осигури напълно този факт, тъй като това предполага безкрайна чувствителност и точност на измерванията.
Сведения за устойчивите разпределения Както се спомена, устойчивите разпределения са теоретично обосновани от Пол Леви (Levi, P., 1925) и обобщенията, извършени от Хинчин (khinchin, A., 1938) . До публикацията на Манделброт (Mandelbrot B., 1960) устойчивите разпределения не са имали широко практическо приложение, тъй като, с няколко изключения, нямат явни изрази за плътността или функцията на разпределение. Едно обобщение на теорията на устойчивите разпределения се дава през 1983 от Золоторьов. В тази монография се дават различни подходи и решения за описание на реални обекти и процеси чрез устойчивите разпределения. В най-общ вид, характеристичната функция от случайната величина  се дефинира като:
Това е всъщност комплексната трансформация на Фурие 
Параметърът Обяснението за безкрайността на математическото очакване  е следното: Нека разполагаме  на брой средни  получени от на брой извадки от дадена Генерална съвкупност от данни. При нормалното разпределение получените на брой средни са сходими към математическото очакване .
При разпределението на Коши плътността има формата: 
Извадъчните средни Общо взето има обширна литература, в която се показва, че това важи и за природните системи от данни. При появата на екстремни стойности, т.е. с утежняване на опашката на разпределението, параметърът  намалява пропорционално своята стойност. Параметърът  е мащабен, но не в пълния смисъл на това понятие. Повече сведения за Устойчивите разпределения могат да се намерят в цитираната литература.
Резултати и обсъждане Предлагания от нас подход беше апробиран върху реални данни за валежните количества, подхранващи карстовият резервоар „Асеновград” - виж. Табл. 1. Замерванията обхващат интервала от 1959 – 2003г. при едномесечно отчитане на количествата валежи. Карстовия резервоар „Асеновград”, се смята за еталонен, тъй като е напълно дрениран от своите извори Таблица 1 
Фиг. 2 Моделно решение по данните от таблица 1 и 2. С точки са показани емпиричните стойности, а с линии на ниво са показани траекториите на съответните решения
Изведеният стохастичен модел (виж фиг. 2) е реализиран компютърно, като резултатите са представени от една страна като Q-Q диаграми (виж фиг. 3) показващи близостта между модела и експерименталните данни и диаграма на устойчивостта на детерминистичния процес, и нелинейно свързания с него стохастичен процес. Фиг.3. Съответсвие между емпирчните данни и модели представени чрез Q-Q Plot  Резултатите от компютърната обработка на емпиричния материал от таблица 1 и 2 показват, че върху диаграмата на баланса, спрямо точката на равновесие SE, се оформя фамилия от затворени траектории на зависимостта между отношенията и . От графиката се вижда се, че в зависимост от въздействието на стохастичната компонента, детерминистичните траектории са в близост или се отдалечават спрямо детерминистичните траектории. По този начин, от една страна може да се прогнозира във времето водния баланс в хидрогеоложки басейн, а от друга страна може да се предскаже доколко случайните вариации, поотделно и между отношенията и , влияят върху устойчивостта на детерминистичните решения, характеризиращи динамиката на водния баланс.
В заключение трябва да се отбележи, че получените резултати имат предварителен характер, тъй като изведените траектории на моделното решение на равенството Литература David, M. 1977.Geostatistical Ore Reserve Estimation, Elsevier Khinchin. A. 1938. Limited laws for sums independed random variables. O.N.T.I., Moscow - St. Petersburg Mandelbrot., B. 1960. The Pareto-Levy random function and the multiplicative variation of income: Yorktown Height, N. Y.,IBM Research Center Rept. rige, D. G. 1961.`A statistical approach to some basic minevaluation problems on the Witwatersrand', J. Chem. Metall and Min. Soc. South Africa, 1951, vol. 52, No. 6, pp. 119-39. Labat, D., Ababou, R., Mangin, A. Nonlinearity and nonstationarity in rainfall-runoff relations for karstic springs. To appear in proceedings of XXVIII Congress of I.A.H.R. (Graz-Austria), 1999 – Reprint in S.E.R.R.A David, M. 1977.Geostatistical Ore Reserve Estimation, Elsevier Khinchin. A. 1938. Limited laws for sums independed random variables. O.N.T.I., Moscow - St. Petersburg Krige, D. G. 1961.`A statistical approach to some basic minevaluation problems on the Witwatersrand', J. Chem. Metall and Min. Soc. South Africa, 1951, vol. 52, No. 6, pp. 119-39. Levy, P. 1925. Calcul des probabilities. - Paris: Gauthier-Villars et Cie, 350. Mandelbrot., B. 1960. The Pareto-Levy random function and the multiplicative variation of income: Yorktown Height, N. Y.,IBM Research Center Rept. Matheron, G. 1971. The Theory of Regionalised Variables and its Applications , Cahier No. 5, Centre de Morphologie Math\' e matique de Fontainebleau Петров, В. 2004. Хидрогеология на плиоценския водоносен комплекс на територията на Софийската котловина. АВТОРЕФЕРАТ на дисертация за получаване на научната и образователна степен „доктор”, МГУ Трошанов, Н. 1992. Оценка на подземното дрениране на Севернородопския карст към Горнотракийската низина. Инж. геология и хидрогеология №22, изд. БАН, 10-27 Каталог: uploads uploads -> Доклад за работата на варненски окръжен съд 2014 uploads -> Програма на Португалски културен и езиков център „Камойнш София" 03 Sábado / събота Celebração da "Martenitza" Честита Баба Марта! Изтегляне 117.46 Kb. Сподели с приятели:
|
. За моментите на разпределението се използва израза: 
. За устойчивите разпределения е важно да се 
се смята, че е налице разпределението на Коши, което се характеризира с това, че математическото очакване 
са равни на безкрайност. 
са разпределени също по разпределение на Коши, т.е. имат също безкрайна дисперсия.