Теорема за полицаите: Ако аn е сходяща и има граница D, cn е сходяща и има граница D, an bn cn за n > k, k N bn – сходяща и има граница D;
Доказателство:
Избираме > 0;
тогава съществува N1 N, такова че при n > N1, |an – D| <
D - < an < D + ;
oсвен това съществува N2 N, такова че при n > N2, |cn – D| <
D - < cn < D + ;
в такъв случай при n > max (N1, N2, k) имаме:
D - < an bn cn < D + bn е сходяща и има граница D;
Теорема на Кантор: Нека е дадена една свиваща система от интервали [a1, b1], [a2, b2], …, [an, bn]. Тогава съществува единствена точка C, такава че C [an, bn] за всяко n N;
Доказателство:
аn аn+1 за всяко n N, т.е. { an} е растяща редица;
bn bn+1 за всяко n N, т.е. { bn} е намаляваща редица;
освен това a1 an bn b1 an, bn са ограничени редици
an – сходяща, нека an A при n ;
bn – сходяща, нека bn B при n ;
bn – an B – A при n , но по определение bn – an 0 при n
B – A = 0, т.е. A = B;
Нека C = A = B;
an – монотонна растяща и клони към C an C;
bn – монотонна намаляваща и клони към C C bn;
an C bn за всяко n N;
Да допуснем, че съществува друга точка C, такава че
an C bn за всяко n N; нека за определеност C < C;
в такъв случай аn C < C bn за всяко n N;
an – сходяща и има граница C;
нека = (C - C) / 2 > 0;
тогава съществува индекс N N, такъв че при n > N;
|an – C| < C - < an < C + an > C - = (C + C) / 2 > C - противоречие (an C за всяко n N) точката C е единствена;
Теорема на Болцано – Вайерщрас: Всяка ограничена редица притежава поне една точка на сгъстяване; друга еквивалентна формулировка е, че от всяка ограничена редица може да се избере сходяща подредица;
Дефиниция на Хайне: Казваме, че числото А е граница на функцията f (x) в точката a, ако за всяка редица { xn} със свойствата:
xn a при n , xn a за всяко n N да е в сила:
{ f (xn) } A при n ;
Дефиниция на Коши: Казваме, че числото A е граница на функцията f (x) в точка а, ако за всяко > 0 съществува > 0, такова че за всяко x, такова че 0 < |x – a| < е в сила |f (x) – A| < ;
Дефиниция на Хайне: Нека функцията f (x) е дефинирана в околност на точката a; казваме, че f (x) е непрекъсната в точката a, ако за всяка редица { xn } а е в сила f (xn) f (a);
Дефиниция на Коши: Нека функцията f (x) е дефинирана в околност на точката a; казваме, че f (x) e непрекъсната в точката a, ако за всяко > 0 съществува > 0, такова че от |x – a| <
|f (x) – f (a)| < ;
Теорема 1 (Болцано – Коши): Нека функцията f (x) е дефинирана и непрекъсната в затворения интервал [a, b]; нека f (a) и f (b) имат различни знаци, т.е.
f (a).f (b) < 0 съществува c [a, b], такова че f (c) = 0;
Теорема 2 (за междинните стойности): Нека f (x) е дефинирана и непрекъсната в затворения интервал [a, b]; нека е число между f (a) и f (b); тогава съществува c [a, b], такова че f (c) = ;
Доказателство: Разглеждаме помощната функция (x) = f (x) - ;
имаме: (a) = f (a) - < 0, (b) = f (b) - > 0, (x) – непрекъсната в
[a, b] съществува x0, такова че (x0) = 0 f (x) = ;
Теорема 3 (на Вайерщрас): Нека f (x) е дефинирана и непрекъсната в затворения интервал [a, b]; тогава f (x) е ограничена в [a, b];
Доказателство: Допускаме противното; нека за определеност f (x) е неограничена отгоре в интервала [a, b]; в такъв случай за всяко M R съществува x [a, b], такова че f (x) > M;
Нека M1 = 1; избираме x1, такова че f (x1) > M1;
Нека M2 = 2; избираме x2, такова че f (x2) > M2;
…
Нека Mn = n; избираме xn, такова че f (xn) > Mn;
…
Разглеждаме редицата { xn}; за нея a xn b за всяко n N; по теоремата на Болцано – Вайерщрас, съществува сходяща подредица
{ xnk} x0 [a, b]; получаваме, че f (xnk) > nk за всяко k N редицата f (xnk) при k ; oт друга страна f (x) е непрекъсната
по Хайне { f (xnk) } f (x0) – получаваме противоречие f (x) наистина е ограничена в [a, b];
Teoрема 4 (на Вайерщрас): Нека f (x) е дефинирана и непрекъсната в затворения интервал [a, b]; тогава тя достига най-голяма стойност (супремум) и най-малка стойност (инфимум);
Доказателство: f (x) непрекъсната в [a, b] f (x) е ограничена множеството X = { f (x) | a x b} притежава точна горна граница;
нека M = sup { f (x) | a x b}; тогава за всяко > 0, M - не е горна граница на X;
Нека 1 = 1; тогава съществува x1 [a, b], такова че f (x1) > M - 1;
Нека 2 = 1/2; тогава съществува x2 [a, b], такова че f (x2) > M - 2;
…
Нека n = 1/n; тогава съществува xn [a, b], такова че f (xn) > M - n;
…
Получаваме една редица { xn}, за която xn [a, b] и f (xn) > M – 1/n
за всяко n N; тъй като { xn} е ограничена, тогава по теоремата на Болцано-Вайерщрас съществува сходяща подредица
{ xnk} x0 [a, b]; тъй като f (x) е непрекъсната по Хайне
{ f (xnk) } f (x0) за k ;
от друга страна M – 1/nk < f (xnk) M; от теоремата за полицаите
f (xnk) M f (x0) = M;
по същия начин се установява, че f (x) достига най-малка стойност;
Теорема (на Ферма): Нека f (x) е дефинирана в околност на точката x0 и f (x) е диференцируема в точката x0; тогава ако f (x) има локален екстремум в точката x0, f (x0) = 0;
Доказателство:
Нека за определеност f (x0) е локален максимум за f (x);
разглеждаме диференчното частно (f (x0 + h) – f (x0))/h;
нека h 0 с положителни стойности; тогава f (x0 + h) – f (x0) 0, h > 0
диференчното частно е 0 след граничен преход f (x0) 0; (1)
нека h 0 с отрицателни стойности; тогава f (x0 + h) – f (x0) 0, h < 0
диференчното частно е 0 след граничен преход f (x0) 0; (2)
от (1) и (2) получаваме, че f (x0) = 0;
Теорема (на Рол): Нека f (x) е дефинирана и непрекъсната в затворения интервал [a, b]; освен това f (x) е диференцируема в отворения интервал (a, b) и f (a) = f (b); в такъв случай съществува поне една точка (a, b), за която f () = 0;
Доказателство:
Функцията f (x) е непрекъсната в [a, b] по теоремата на Вайерщрас f (x) е ограничена в [a, b]; нека m е най-малката стойност и М е
най-голямата стойност на f (x);
Ако m = М, от m f (x) М f (x) е константа за всяко x [a, b]
f (x) = 0 за всяко x (a, b) и теоремата е доказана;
Ако m < M, тогава по теоремата на Вайерщрас съществуват две точки
x1 и x2, такива че f (x1) = m, f (x2) = M; поне една от тези две точки е вътрешна за интервала [a, b] – в противен случай ще получим, че
m = M = f (a) = f (b), което е противоречие; ако x1 (a, b), тогава x1 е локален екстремум f (x1) = 0 по теоремата на Ферма; ако x1 = a или
x1 = b, тогава x2 (a, b) е локален екстремум и f (x2) = 0 по теоремата на Ферма; с това теоремата е доказана;
Теорема за крайните нараствания (на Лагранж): Нека f (x) е дефинирана и непрекъсната в затворения интервал [a, b] и диференцируема в отворения интервал (a, b); тогава съществува
(a, b), такова че f (b) – f (a) = f ().(b – a);
Доказателство:
Да отбележим, че при f (a) = f (b) получаваме теоремата на Рол, която е частен случай на теоремата на Лагранж;
Разглеждаме функцията g (x) = f (x) – k.x, където
k = (f (b) – f (a))/(b – a);
в такъв случай g (a) = g (b); действително
g (a) = g (b) f (a) – k.a = f (b) – k.b f (b) – f (a) = k (b – a), което очевидно е изпълнено;
освен това g (x) е дефинирана и непрекъсната в затворения интервал [a, b] и g (x) е диференцируема в отворения интервал (a, b); налице са условията в теоремата на Рол съществува (a, b), такова че
g () = 0 f () – k = 0 f (b) – f (a) = f ().(b – a);
Следствие 1 (основна теорема на интегралното смятане): Нека функцията f (x) е дефинирана и диференцируема в интервал ; тогава ако f (x) = 0 за всяко x f (x) е константа в този интервал;
Доказателство: Фиксираме две точки x1 < x2 ; в затворения интервал [x1, x2] очевидно са изпълнени условията на теоремата на Лагранж съществува точка (a, b), такава че
f (x2) – f (x1) = f ().(x2 – x1), но f () = 0 за всяко f (x1) = f (x2); точките x1 и x2 са избрани произволно f (x) е константа в ;
Обобщена теорема за крайните нараствания (на Коши): Нека функциите f (x) и g (x) са дефинирани и непрекъснати в затворения интервал [a, b] и диференцируеми в отворения интервал (a, b); нека освен това g (x) 0 за всяко x (a, b); в такъв случай, съществува
(a, b), такова че (f (b) – f (a))/(g (b) – g (a)) = f () / g ();
Доказателство:
Теоремата на Лагранж е частен случай на теоремата на Коши, при нея g (x) = x;
Ще покажем, че g (a) g (b); действително, ако g (a) = g (b), тогава за функцията g (x) ще са изпълнени условията на теоремата на Рол съществува (a, b), такова че g () = 0, което е противоречие;
Разглеждаме функцията (x) = f (x) – k.g (x), където
k = (f (b) – f (a))/(g (b) – g (a));
в такъв случай (a) = (b); действително
(a) = (b) f (a) – k.g (a) = f (b) – k.g (b) f (b) – f (a) = k.(g (b) – g (a)), което очевидно е изпълнено;
освен това (x) е дефинирана и непрекъсната в затворения интервал [a, b] и (x) е диференцируема в отворения интервал (a, b); налице са условията в теоремата на Рол съществува (a, b), такова че
() = 0 f () – k.g () = 0 (f (b) – f (a))/(g (b) – g (a)) = f ()/g ();
Дефиниция: Казваме, че функцията f (x) е изпъкнала в интервал , ако за всеки x1, x2 и всеки две числа p1, p2 > 0,
такива че p1 + p2 = 1 е изпълнено f (p1.x1 + p2.x2) p1.f (x1) + p2.f (x2);
Дефиниция: Казваме, че функцията f (x) е вдлъбната в интервал , ако за всеки x1, x2 и всеки две числа p1, p2 > 0,
такива че p1 + p2 = 1 е изпълнено f (p1.x1 + p2.x2) p1.f (x1) + p2.f (x2);
Теорема Тайлор: Нека f (x) е дефинирана и (n+1) пъти диференцируема в интервал [x0, x] ([x, x0]), n N; тогава за всяко p 0 имаме:
f (x) = f (x0) + f (x0).(x – x0)/1! + f (x0).(x – x0)2/2! + …+
+ f (n)(x0).(x – x0)n/n! + Rn, където Rn = (x – x0)p.(x – t0)n-p+1.f (n+1)(t0)/(p.n!),
където t0 (x0, x) ( (x, x0));
Теорема (за средните стойности): Нека f e дефинирана и непрекъсната в затворения интервал [a, b]; тогава съществува
t [a, b], такова че = f (t).(b – a);
Доказателство: По теорема на Вайерщрас f е ограничена; нека
m = inf f (x), a x b; M = sup f (x), a x b;
за всяко x [a, b] имаме:
m f (x) M
m.(b – a) M.(b – a) m /(b – a) M;
по теорема на Вайерщрас m = f (x1), M = f (x2) и по теоремата за междинните стойности съществува t [x1, x2], такова че
f (t) = /(b – a) = f (t).(b – a);
Теорема (на Лайбниц – Нютон): Нека f : [a, b] R е непрекъсната функция; тогава функцията F (x) = е диференцируема и нейната производна е f (x) за всяко x (a, b);
Доказателство: нека x (a, b);
записваме диференчното частно на F (x);
(F (x + h) – F (x))/ h = ( - )/h = ()/h
съгласно теоремата за средните стойности съществува точка
uh (x, x+h), такава че ()/h = f (uh);
сега като извършим граничен преход при h 0, получаваме че
uh x f (uh) f (x), тъй като функцията f е непрекъсната;
(F (x + h) – F (x))/h f (x) F (x) = f (x) за всяко x (a, b);
Теорема (формула на Лайбниц – Нютон): Нека F (x) е дефинирана и непрекъсната в [a, b] и диференцируема поне в (a, b); тогава ако
f (x) = F (x) е интегруема в Риманов смисъл в [a, b], то
= F (b) – F (a);
Твърдение (интегриране по части): Нека функциите f (x) и g (x) са дефинирани и диференцируеми в интервала [a, b] и производните им са непрекъснати; тогава е изпълнено равенството:
a
b
= f (x).g (x) | - ;
Доказателство: Като вземем предвид, че функцията f (x).g (x) е един неопределен интеграл на функцията f (x).g (x) + f (x).g (x) получаваме:
a
b
= f (x).g (x) |
a
b
+ = f (x).g (x) | , което е точно исканото равенство;
П
0
ример: = = x.sinx| - = 2;
Tвърдение (смяна на променливата): Нека функцията f (x) е непрекъсната в интервала [a, b] и нека функцията g : [p, q] [a, b]
( [q, p] [a, b]) притежава непрекъсната първа производна, освен това g (p) = a, g (q) = b; тогава = ;
Доказателство: Разглеждаме функцията F (x) = ;
= по теоремата на Лайбниц – Нютон F (x) = f (x) за всяко x (a, b); тогава (F (g (t))) = f (g (t)).g (t) функцията F (g (t)) е примитивна функция на f (g (t)).g (t) в интервала (p, q)
p
q
= F ( g (t))| = F ( g (q)) – F (g (p)) = F (b) – F (a), но
= F (b) – F (a) твърдението е доказано;
Пример: ; правим субституция x = R.cost, t = arccos(x/R),
Сподели с приятели: |