Теорема за полицаите



Дата09.09.2016
Размер220.32 Kb.
Теорема за полицаите: Ако аn е сходяща и има граница D, cn е сходяща и има граница D, an  bn  cn за n > k, k  N  bn – сходяща и има граница D;

Доказателство:

Избираме  > 0;

тогава съществува N1N, такова че при n > N1, |an – D| <  

D -  < an < D + ;

oсвен това съществува N2N, такова че при n > N2, |cn – D| <  

D -  < cn < D + ;

в такъв случай при n > max (N1, N2, k) имаме:

D -  < an  bn  cn < D +   bn е сходяща и има граница D;
Теорема на Кантор: Нека е дадена една свиваща система от интервали [a1, b1], [a2, b2], …, [an, bn]. Тогава съществува единствена точка C, такава че C  [an, bn] за всяко n  N;

Доказателство:

аn  аn+1 за всяко n  N, т.е. { an} е растяща редица;

bn  bn+1 за всяко n  N, т.е. { bn} е намаляваща редица;

освен това a1  an  bn  b1  an, bn са ограничени редици 

an – сходяща, нека an  A при n  ;

bn – сходяща, нека bn  B при n  ;

 bn – an  B – A при n  , но по определение bn – an  0 при n  

 B – A = 0, т.е. A = B;

Нека C = A = B;

an – монотонна растяща и клони към C  an  C;

bn – монотонна намаляваща и клони към C  C  bn;

 an  C  bn за всяко n  N;

Да допуснем, че съществува друга точка C, такава че

an  C  bn за всяко n  N; нека за определеност C < C;

в такъв случай аn  C < C  bn за всяко n  N;

anсходяща и има граница C;

нека  = (C - C) / 2 > 0;

тогава съществува индекс N  N, такъв че при n > N;

|an – C| <   C -  < an < C +   an > C -  = (C + C) / 2 > C - противоречие (an  C за всяко n N)  точката C е единствена;


Теорема на Болцано – Вайерщрас: Всяка ограничена редица притежава поне една точка на сгъстяване; друга еквивалентна формулировка е, че от всяка ограничена редица може да се избере сходяща подредица;
Дефиниция на Хайне: Казваме, че числото А е граница на функцията f (x) в точката a, ако за всяка редица { xn} със свойствата:

xna при n  , xna за всяко n  N да е в сила:

{ f (xn) }  A при n  ;
Дефиниция на Коши: Казваме, че числото A е граница на функцията f (x) в точка а, ако за всяко  > 0 съществува  > 0, такова че за всяко x, такова че 0 < |x – a| <  е в сила |f (x) – A| < ;
Дефиниция на Хайне: Нека функцията f (x) е дефинирана в околност на точката a; казваме, че f (x) е непрекъсната в точката a, ако за всяка редица { xn }  а е в сила f (xn)  f (a);
Дефиниция на Коши: Нека функцията f (x) е дефинирана в околност на точката a; казваме, че f (x) e непрекъсната в точката a, ако за всяко  > 0 съществува  > 0, такова че от |x – a| <  

|f (x) – f (a)| < ;


Теорема 1 (Болцано – Коши): Нека функцията f (x) е дефинирана и непрекъсната в затворения интервал [a, b]; нека f (a) и f (b) имат различни знаци, т.е.

f (a).f (b) < 0  съществува c  [a, b], такова че f (c) = 0;


Теорема 2 (за междинните стойности): Нека f (x) е дефинирана и непрекъсната в затворения интервал [a, b]; нека  е число между f (a) и f (b); тогава съществува c  [a, b], такова че f (c) = ;

Доказателство: Разглеждаме помощната функция  (x) = f (x) - ;

имаме:  (a) = f (a) -  < 0,  (b) = f (b) -  > 0,  (x) – непрекъсната в

[a, b]  съществува x0, такова че  (x0) = 0  f (x) = ;


Теорема 3 (на Вайерщрас): Нека f (x) е дефинирана и непрекъсната в затворения интервал [a, b]; тогава f (x) е ограничена в [a, b];


Доказателство: Допускаме противното; нека за определеност f (x) е неограничена отгоре в интервала [a, b]; в такъв случай за всяко M  R съществува x  [a, b], такова че f (x) > M;

Нека M1 = 1; избираме x1, такова че f (x1) > M1;

Нека M2 = 2; избираме x2, такова че f (x2) > M2;

Нека Mn = n; избираме xn, такова че f (xn) > Mn;




Разглеждаме редицата { xn}; за нея a  xn  b за всяко n  N; по теоремата на Болцано – Вайерщрас, съществува сходяща подредица

{ xnk}  x0  [a, b]; получаваме, че f (xnk) > nk за всяко k  N  редицата f (xnk)   при k  ; oт друга страна f (x) е непрекъсната

 по Хайне { f (xnk) }  f (x0) – получаваме противоречие  f (x) наистина е ограничена в [a, b];
Teoрема 4 (на Вайерщрас): Нека f (x) е дефинирана и непрекъсната в затворения интервал [a, b]; тогава тя достига най-голяма стойност (супремум) и най-малка стойност (инфимум);

Доказателство: f (x) непрекъсната в [a, b]  f (x) е ограничена  множеството X = { f (x) | a  x  b} притежава точна горна граница;

нека M = sup { f (x) | a  x  b}; тогава за всяко  > 0, M -  не е горна граница на X;

Нека 1 = 1; тогава съществува x1  [a, b], такова че f (x1) > M - 1;

Нека 2 = 1/2; тогава съществува x2  [a, b], такова че f (x2) > M - 2;

Нека n = 1/n; тогава съществува xn  [a, b], такова че f (xn) > M - n;



Получаваме една редица { xn}, за която xn  [a, b] и f (xn) > M – 1/n

за всяко n  N; тъй като { xn} е ограничена, тогава по теоремата на Болцано-Вайерщрас съществува сходяща подредица

{ xnk}  x0  [a, b]; тъй като f (x) е непрекъсната  по Хайне

{ f (xnk) }  f (x0) за k  ;

от друга страна M – 1/nk < f (xnk)  M; от теоремата за полицаите 

f (xnk)  M  f (x0) = M;

по същия начин се установява, че f (x) достига най-малка стойност;


Теорема (на Ферма): Нека f (x) е дефинирана в околност на точката x0 и f (x) е диференцируема в точката x0; тогава ако f (x) има локален екстремум в точката x0, f (x0) = 0;

Доказателство:

Нека за определеност f (x0) е локален максимум за f (x);

разглеждаме диференчното частно (f (x0 + h) – f (x0))/h;

нека h  0 с положителни стойности; тогава f (x0 + h) – f (x0)  0, h > 0

 диференчното частно е  0  след граничен преход f (x0)  0; (1)

нека h  0 с отрицателни стойности; тогава f (x0 + h) – f (x0)  0, h < 0

 диференчното частно е  0  след граничен преход f (x0)  0; (2)

от (1) и (2) получаваме, че f (x0) = 0;
Теорема (на Рол): Нека f (x) е дефинирана и непрекъсната в затворения интервал [a, b]; освен това f (x) е диференцируема в отворения интервал (a, b) и f (a) = f (b); в такъв случай съществува поне една точка   (a, b), за която f () = 0;

Доказателство:

Функцията f (x) е непрекъсната в [a, b]  по теоремата на Вайерщрас f (x) е ограничена в [a, b]; нека m е най-малката стойност и М е

най-голямата стойност на f (x);

Ако m = М, от m  f (x)  М  f (x) е константа за всяко x  [a, b] 

f (x) = 0 за всяко x  (a, b) и теоремата е доказана;

Ако m < M, тогава по теоремата на Вайерщрас съществуват две точки

x1 и x2, такива че f (x1) = m, f (x2) = M; поне една от тези две точки е вътрешна за интервала [a, b] – в противен случай ще получим, че

m = M = f (a) = f (b), което е противоречие; ако x1  (a, b), тогава x1 е локален екстремум  f (x1) = 0 по теоремата на Ферма; ако x1 = a или

x1 = b, тогава x2  (a, b) е локален екстремум и f (x2) = 0 по теоремата на Ферма; с това теоремата е доказана;


Теорема за крайните нараствания (на Лагранж): Нека f (x) е дефинирана и непрекъсната в затворения интервал [a, b] и диференцируема в отворения интервал (a, b); тогава съществува

  (a, b), такова че f (b) – f (a) = f ().(b – a);

Доказателство:

Да отбележим, че при f (a) = f (b) получаваме теоремата на Рол, която е частен случай на теоремата на Лагранж;

Разглеждаме функцията g (x) = f (x) – k.x, където

k = (f (b) – f (a))/(b – a);

в такъв случай g (a) = g (b); действително

g (a) = g (b)  f (a) – k.a = f (b) – k.b  f (b) – f (a) = k (b – a), което очевидно е изпълнено;

освен това g (x) е дефинирана и непрекъсната в затворения интервал [a, b] и g (x) е диференцируема в отворения интервал (a, b); налице са условията в теоремата на Рол  съществува   (a, b), такова че

g () = 0  f () – k = 0  f (b) – f (a) = f ().(b – a);


Следствие 1 (основна теорема на интегралното смятане): Нека функцията f (x) е дефинирана и диференцируема в интервал ; тогава ако f (x) = 0 за всяко x    f (x) е константа в този интервал;

Доказателство: Фиксираме две точки x1 < x2  ; в затворения интервал [x1, x2] очевидно са изпълнени условията на теоремата на Лагранж  съществува точка   (a, b), такава че

f (x2) – f (x1) = f ().(x2 – x1), но f () = 0 за всяко     f (x1) = f (x2); точките x1 и x2 са избрани произволно  f (x) е константа в ;
Обобщена теорема за крайните нараствания (на Коши): Нека функциите f (x) и g (x) са дефинирани и непрекъснати в затворения интервал [a, b] и диференцируеми в отворения интервал (a, b); нека освен това g (x) 0 за всяко x (a, b); в такъв случай, съществува

  (a, b), такова че (f (b) – f (a))/(g (b) – g (a)) = f () / g ();

Доказателство:

Теоремата на Лагранж е частен случай на теоремата на Коши, при нея g (x) = x;

Ще покажем, че g (a)  g (b); действително, ако g (a) = g (b), тогава за функцията g (x) ще са изпълнени условията на теоремата на Рол  съществува   (a, b), такова че g () = 0, което е противоречие;

Разглеждаме функцията  (x) = f (x) – k.g (x), където

k = (f (b) – f (a))/(g (b) – g (a));

в такъв случай  (a) =  (b); действително

 (a) =  (b)  f (a) – k.g (a) = f (b) – k.g (b)  f (b) – f (a) = k.(g (b) – g (a)), което очевидно е изпълнено;

освен това  (x) е дефинирана и непрекъсната в затворения интервал [a, b] и  (x) е диференцируема в отворения интервал (a, b); налице са условията в теоремата на Рол  съществува   (a, b), такова че

 () = 0  f () – k.g () = 0  (f (b) – f (a))/(g (b) – g (a)) = f ()/g ();
Дефиниция: Казваме, че функцията f (x) е изпъкнала в интервал , ако за всеки x1, x2   и всеки две числа p1, p2 > 0,

такива че p1 + p2 = 1 е изпълнено f (p1.x1 + p2.x2)  p1.f (x1) + p2.f (x2);



Дефиниция: Казваме, че функцията f (x) е вдлъбната в интервал , ако за всеки x1, x2   и всеки две числа p1, p2 > 0,

такива че p1 + p2 = 1 е изпълнено f (p1.x1 + p2.x2)  p1.f (x1) + p2.f (x2);


Теорема Тайлор: Нека f (x) е дефинирана и (n+1) пъти диференцируема в интервал [x0, x] ([x, x0]), n N; тогава за всяко p 0 имаме:

f (x) = f (x0) + f (x0).(x – x0)/1! + f (x0).(x – x0)2/2! + …+

+ f (n)(x0).(x – x0)n/n! + Rn, където Rn = (x – x0)p.(x – t0)n-p+1.f (n+1)(t0)/(p.n!),

където t0  (x0, x) ( (x, x0));


Теорема (за средните стойности): Нека f e дефинирана и непрекъсната в затворения интервал [a, b]; тогава съществува

t  [a, b], такова че = f (t).(b – a);

Доказателство: По теорема на Вайерщрас  f е ограничена; нека

m = inf f (x), a  x  b; M = sup f (x), a  x  b;

за всяко x  [a, b] имаме:

m  f (x)  M 

m.(b – a)   M.(b – a)  m  /(b – a)  M;

по теорема на Вайерщрас m = f (x1), M = f (x2) и по теоремата за междинните стойности съществува t  [x1, x2], такова че

f (t) = /(b – a)  = f (t).(b – a);
Теорема (на Лайбниц – Нютон): Нека f : [a, b] R е непрекъсната функция; тогава функцията F (x) = е диференцируема и нейната производна е f (x) за всяко x (a, b);

Доказателство: нека x  (a, b);

записваме диференчното частно на F (x);

(F (x + h) – F (x))/ h = ( - )/h = ()/h

съгласно теоремата за средните стойности съществува точка

uh  (x, x+h), такава че ()/h = f (uh);

сега като извършим граничен преход при h  0, получаваме че

uh  x  f (uh)  f (x), тъй като функцията f е непрекъсната;

 (F (x + h) – F (x))/h  f (x)  F (x) = f (x) за всяко x  (a, b);
Теорема (формула на Лайбниц – Нютон): Нека F (x) е дефинирана и непрекъсната в [a, b] и диференцируема поне в (a, b); тогава ако

f (x) = F (x) е интегруема в Риманов смисъл в [a, b], то



= F (b) – F (a);
Твърдение (интегриране по части): Нека функциите f (x) и g (x) са дефинирани и диференцируеми в интервала [a, b] и производните им са непрекъснати; тогава е изпълнено равенството:


a

b
= f (x).g (x) | - ;

Доказателство: Като вземем предвид, че функцията f (x).g (x) е един неопределен интеграл на функцията f (x).g (x) + f (x).g (x) получаваме:




a

b
= f (x).g (x) | 


a

b
+ = f (x).g (x) | , което е точно исканото равенство;
П
0


ример: = = x.sinx| - = 2;
Tвърдение (смяна на променливата): Нека функцията f (x) е непрекъсната в интервала [a, b] и нека функцията g : [p, q] [a, b]

( [q, p]  [a, b]) притежава непрекъсната първа производна, освен това g (p) = a, g (q) = b; тогава = ;

Доказателство: Разглеждаме функцията F (x) = ;

= по теоремата на Лайбниц – Нютон  F (x) = f (x) за всяко x  (a, b); тогава (F (g (t))) = f (g (t)).g (t)  функцията F (g (t)) е примитивна функция на f (g (t)).g (t) в интервала (p, q) 




p

q
= F ( g (t))| = F ( g (q)) – F (g (p)) = F (b) – F (a), но

= F (b) – F (a)  твърдението е доказано;
Пример: ; правим субституция x = R.cost, t = arccos(x/R),


База данных защищена авторским правом ©obuch.info 2016
отнасят до администрацията

    Начална страница