Теория на игрите



Дата19.11.2018
Размер281.44 Kb.
ТипРеферат


ЮЗУ ,,НЕОФИТ РИЛСКИ’’, гр. БЛАГОЕВГРАД
РЕФЕРАТ

ПО

ИКОНОМЕТРИЯ

На тема:
ТЕОРИЯ НА ИГРИТЕ



Изготвили: Проверил:

Каймет Чолак Фак.номер: 0710009 доц. д-р Петър Миланов

Христина Шекерлийска Фак.номер: 0710024

Добринка Костадинова Фак.номер: 0710012

Дата: 25.05.2009г.
гр. Благоевград

Съдържание:

Глава 1. Теория на игрите – история, същност, основни понятия, класификация……….2



    1. История на Теория на игрите……………………………………………………………2

    2. Същност на Теория на игрите…………………………………………………………...2

    3. Основни понятия…………………………………………………………………………3

    4. Класификация…………………………………………………………………………….4

Глава 2. Теория на игрите – приложения в икономиката, задачи…………………………6

2.1. Приложения в икономиката……………………………………………………………..6

2.2. Задачи от Теория на игрите……………………………………………………………...9


Използвана литература……………………………………………………………………...16

Глава 1. Теория на игрите – история, същност, основни понятия, класификация

1.1. История на Теория на игрите


Теорията на игрите придобива голяма популярност през 50-те години на миналия век. Основите на теорията на игрите се поставят през 1944 г. в Принстън с издаването на монографията "Теория на игрите и икономическото поведение" на американските математици Джон фон Нойман и Оскар Моргенщерн (първият има унгарски произход, а вторият - австрийски). И двамата са работили в Принстънския университет.

Теорията на игрите е дисциплина, към която проявяват интерес не само математици и икономисти, но и военни.


1.2. Същност на Теория на игрите


Когато се решават практически задачи (в областта на икономиката, медицината, обществения ред, военното дело и други) се налага да бъдат анализирани ситуации, при които са налице две или повече страни, преследващи противоположни цели. Резултатът от всяко действие на една от страните зависи от това какви действия ще избере противникът. Такива ситуации се наричат конфликтни.

Пример 1: Всяка ситуация, която възниква в хода на военни действия, е конфликтна. Всяка от борещите се страни взема всички възможни за нея мерки, за да попречи на противника да постигне успех.

Пример 2: Ситуациите, възникващи при взаимодействието на човека с природата, на мениджъри с пазара, на потребителите с търговците са също така примери на конфликтни ситуации.

Нуждата от анализ на ситуации като разгледаните по-горе е предизвикала появатата и развитието на специален математически раздел - Теория на игрите. Така чрез този раздел от математиката, става възможно изработването на препоръки за обоснован и правилен начин на действие за всеки от противниците в хода на конфликтната ситуация. Когато трябва да се анализира математически една конфликтна ситуация, е необходимо да се пренебрегнат второстепенните фактори и да се построи опростен формален модел на ситуацията. Този модел се нарича игра. Страните, които участват в конфликтните ситуации, условно се наричат играчи, а резултатът – печалба на една от страните.

И така, Теорията на игрите е математическа дисциплина, която изучава математическите модели за вземане на оптимални решения в условията на конфликти. Възникването на конфликтни ситуации предполага наличието на следните множества:


  • множество М1 – състои се от участници, наречени коалиции на действието;

  • множество М2 - представлява стратегиите на участниците;

  • множество М3 от ситуации;

  • множество М4 от коалиции на интересите;

  • множество М5 от отношения.

Системата { М1 , М2 , М3 , М4 , М5 } се нарича игра, а елементите на М1 и М4 - играчи. В дефиницията за Теория на игрите се говори не въобще за решения, а за оптимални решения. Оптималността е формален модел в Теория на игрите на обективната разумност, изгодност, целесъобразност, справедливост, осъществимост, устойчивост.

Теорията на игрите изучава сферите на вземане на решения, където резултатът за един участник или играч зависи от действията на всички останали играчи. Така всеки участник в такава игра, когато избира хода си на действие или стратегия, трябва да вземе под внимание и изборът на другите. Но трябва да се отбележи, че през времето, в което играчът мисли върху решенията на другите играчи, опоненти му също мислят върху неговите такива. На свой ред играчът се опитва да вземете под внимание техните мисли за неговия ход и т.н. На пръв поглед изглежда, че този вид “мислене за мислите” е трудно и ловко нещо и в действителност, някои аспекти, като например изчисляването (разбирането) на мотивите на противниците, имат наистина сложни модели. Но от друга страна, много стратегически аспекти могат да се изучат и систематизират в наука, наречена Теория на игрите (на англ. Game theory). Теорията се занимава със стратегически игри, а не с игри на късмета. Теория на игрите е добре приложима на много места - от всекидневните социални взаимоотношения и спорта до бизнеса и икономиката, политиката, правото, дипломацията и войната. Някои биолози дори намират връзка между Теория на игрите и Теорията за еволюцията на Дарвин в борбата за оцеляване.

Основните елементи, които съдържа всеки проблем от Теория на игрите са:


  • играчи (хора, които взимат решения);

  • избори (осъществими дейности);

  • крайни резултати (точки);

  • преференции за крайните резултати (цели).

Необходимо е да се знае, когато един избор е по-добър от друг за определен играч.

1.3. Основни понятия


Играта е мероприятие, състоящо се от редица действия на страните А и В. Под правила на играта се разбира системата от условия, регламентираща възможните действия на двете страни, обемът информация на всяка от страните за поведението на другата, последователността от ходове (отделни решения, приети в процеса на играта), както и резултатът (изходът) от играта, към който води дадената съвкупност от ходове. Предполага се ,че резултатът (печалба или загуба) има количествен израз, т. е. може да се запише с число.

Развитието на игрите във времето се представя с ред последователни етапи – ходове на играта. Ход се нарича изборът на един вариант от предвидените от правилата на играта варианти. Ходовете се делят на лични и случайни.

Личен ход се нарича съзнателният избор на един от възможните в дадена ситуация ходове и неговото осъществяване. Наборът от възможните варианти при всеки личен ход се определя от правилата на играта и зависи от цялата съвкупност предшестващи ходове на двете страни.

Случаен ход се нарича онзи изход измежду ред възможни, осъществен не по решение на играча, а според някакъв механизъм на случайния избор (хвърляне на монета, на игрален зар, избор на случайна цифра, число и т.н.).

Играта е математически определена, ако за всеки ход на А са известни всички възможни резултати, които ще се получат след ответния ход на В, и обратно.

Някои игри се състоят само от случайни ходове (чисто хазартните игри, например рулетка), а други – само от лични ходове (шах, дама). Много игри са от смесен тип – съдържат както случайни, така и лични ходове (табла, карти, лотарии).

Игра с пълна информация се нарича онази игра, при която всеки играч при всеки личен ход знае резултатите от всички предишни ходове, както лични, така и случайни (например шах). Повечето игри с практическо значение не принадлежат към класа на игрите с пълна информация. Неизвестността относно действията на противника обикновено е съществен елемент на конфликтната ситуация. Математическият модел на тази неизвестност се изгражда въз основа на Теория на вероятностите.

Стратегия на играта се нарича всяка съвкупност от правила, определящи еднозначно избора на личен ход на играча в зависимост от ситуацията, настъпила в процеса на играта.

Обикновено решението (изборът) при всеки личен ход се извършва от играча в хода на самата игра в зависимост от настъпилата конкретна ситуация. Но теоретически нещата няма да се променят, ако си представим, че всички тези решения се приемат от играча предварително. За целта играчът би бил длъжен своевременно да представи списък на всички ситуации, възможни в хода на играта, и да предвиди своето решение за всяка от тях. Ако не практически, то по принцип това е възможно за всяка игра. Ако такава система от решения е приета, това означава, че играчът е избрал определена стратегия.

Играчът, избрал дадена стратегия, може да не участва лично в играта, а да замени участието си със списъка от правила, които вместо него ще прилага някое незаинтересовано лице (например съдията). Стратегията може да бъде зададена и на машина-автомат във вид на програма. Така например сега играят на шах компютрите.

В игрите, състоящи се само от случайни ходове, стратегии липсват. Понятието стратегия има смисъл, когато в играта има и лични ходове.

Целта на Теория на игрите е да изработи препоръки за поведение на играчите в конфликтни ситуации, т.е. да определи “оптимална стратегия” за всеки от тях. Оптимална се нарича такава стратегия на играча, която при многократно повторение на играта му осигурява максимално възможна средна печалба (или, което е все същото, минимално възможна средна загуба). При избора на оптимална стратегия основа на разсъжденията е предположението, че всеки от противниците е поне толкова разумен и предвидлив, колкото и другият, и прави всичко възможно да попречи на дугия да постигне целта си.


1.4. Класификация


Игрите могат да се класифицират според различни признаци:

  • Според броя на играчите:

1) игри с 2 участници;

2) игри с М участници.



  • Според броя на стратегиите:

1) крайни;

2) безкрайни.

Крайна е играта, в която всеки играч има само краен брой стратегии. Крайна игра, в която играчът А има m стратегии , играчът В – n стратегии, се нарича игра m x n (игра “ем по ен”).


  • Според характера на взаимоотношенията между играчите:

1) коалиционни (кооперативни);

2) без коалиционни (некооперативни).



  • Според характера на печалбата:

1) игра с нулева сума:

2) игра с ненулева сума:



.

При игрите с нулева сума с двама участници печалбата на единия играч е числено равна на загубата на другия играч, т.е. налице е антагонистичен конфликт между тях. Такива игри се наричат антагонистични. За участниците в антагонистични игри не е изгодно нито да се отклоняват от своите стратегии, нито да се договарят предварително за избор на съвместни стратегии. Следователно антагонистичните игри са подклас на безкоалиционните игри, т.е. една антагонистична игра се задава със системата (X, Y, H), където:

X - множеството от стратегиите на първия играч;

Y - множеството от стратегиите на втория играч;

H - печалбата на първия играч.

Антагонистични игри, в които всеки играч има крайно множество стратегии се наричат матрични игри, т.е.


, (i=1,2,3…m;j=1,2,3…n).
Безкрайните антагонистични игри се различават от матричните по това, че поне един от играчите разполага с безкраен брой стратегии. При игрите с нулева сума играчите могат да печелят или губят едновременно и затова в много случаи за тях е много по-изгодно да действат съвместно. Игрите с нулева сума се решават по-сложно. По принцип играта с ненулева сума може да се сведе дo изкуствена игра с нулева сума чрез въвеждането на фиктивен играч, който получава печалба в размер, равен на разликата между общата сума на печалбата и сумата на печалбите от различните играчи. В този случай се увеличава броя на играчите с 1, но допълнителният не е равностоен на останалите, в резултат, на което полученият приход не е безусловен изход от конфликтна ситуация.

Крайна игра с двама играчи с ненулева сума се нарича био-метрична игра, т.е. Г(X, Y, H1, H2 ).



  • Според фактора време:

1) статични игри;

2) динамични игри.



  • Според броя на коалициите на действието:

1) стратегически;

2) нестратегически.



  • Според формата на задаване:

1) игри в разгърната форма;

2) игри в нормална форма.




Глава 2. Теория на игрите – приложения в икономиката, задачи

2.1. Приложения в икономиката


Аналогията между стратегическите игри и икономическото и социалното поведение е толкова очевидна, че намира широк израз, както в мисленето, така и в езика на стопанството и политиката. Изрази като ,,политическа сделка’’ и ,,борсова игра’’ са познато отражение на всичко това. Връзката между игрите и тези дейности не е само повърхностна. Когато те се разглеждат с методите на съвременната математика, става ясно, че много от формите на икономическото и социалното поведение са съвсем идентични, а не само подобни на стратегическите игри. Така математическото изучаване на игрите дава възможността за едно ново разбиране и за точност при изучаването на икономиката.

Теорията на вероятностите възниква при изучаването на простите хазартни игри и от желанието на професионалните играчи да намерят пътища за ползването на случайността. Далеч по-трудни проблеми поставят стратегическите игри като покера, бриджа и шаха. В тези игри изходът зависи не само от случайността, но също и от играта на другите играчи, от очакванията на сегашните и бъдещите действия на всеки от тях и играчът трябва да избира между относително сложни стратегии.

Немският философ и математик Готфрид Вилхелм Лайбниц, изглежда, е разбрал, че изучаването на стратегическите игри би могло да послужи като основа за една теория на обществото. От друга страна, много философи и икономисти са правили по различни пътища опити за изграждане на теория за ,,рационалното поведение’’ на отделни личности, делови корпорации и даже на цели общности от хора.

Една такава теория трябва да бъде количествена, което означава тя да има математически характер. Една Tеория на игрите, удовлетворяваща тези изисквания, би трябвало да държи сметка за това, че участниците в една игра се различават по своята осведоменост и интелигентност, че имат различни предположения относно поведението на другите играчи и че пред тях са открити различни пътища за достигане на целите им. Теорията трябва също да допуска факта, че позицията на един играч (или, което е същото, на една икономическа единица или фирма) често силно отслабва, ако неговият противник узнае намеренията му. Играчът трябва да вземе мерки, за да се защити срещу тази евентуалност, а теорията трябва да му показва най-ефективните действия и какво означават за другите играчи неговите контрамерки.

Теория на игрите определя решението на всяка стратегическа игра като разпределение на плащания, които всеки играч трябва да направи в резултат от поведението на всички останали индивиди. Така решението трябва да посочи на всеки играч, борещ се за максималната си печалба, как да действа при всички възможни обстоятелства и при произволно поведение на останалите играчи. Очевидно тази концепция за решение е много изчерпателна и намирането на такова решение за кой да е тип игра, както и численото му пресмятане във всеки частен случай, създава огромни математически трудности. Теорията налага използването на математическата логика, на комбинаториката и теорията на множествата.

Когато отделен индивид играе сам, той се изправя пред най-простата задача за максимум; неговата най-добра стратегия е тази, която му носи предварително определената максимална печалба. Да разгледаме игра с двама участници: всеки играч иска да спечели максимално, но само за сметка на другия. Тази ситуация води до игра с нулева сума, тъй като сумата от печалбата на единия играч и загубата на другия играч (отрицателно число) е нула. Единият играч трябва да избере стратегия, която да му осигури максимално предимство. Но същото е вярно и за другия играч, който естествено иска да минимизира печалбата на първия и по този начин да максимизира своята печалба. Тази ясно очертана противоположност на интереси води до едно изцяло ново понятие, така наречената задача за ,,минимакса’’.

Някои задачи имат оптимална ,,чиста’’ стратегия. С други думи, съществува последователност от ходове, с които играчът ще постигне най-безопасната възможна стратегия независимо от действията на противника му. Неговата позиция няма да пострада дори и ако стратегията му бъде открита. В такива ,,строго определени’’ игри всеки ход и следователно всяка позиция, която е резултат от серия ходове, е ясна от самото начало. Двамата играчи имат пълна информация. Математическият израз на това условие е, че функцията, описваща изхода на играта, притежава ,,седлова точка’’. Този математически термин е основан на аналогията с формата на седло, което може да се разглежда като две криви, пресичащи се в една точка. Едната крива на седлото е тази, на която ездачът седи, а другата минава по гърба на коня, спускайки се надолу по двете му страни. Първата крива е ,,максималната’’ и нейната най-долна точка е ,,максиминът’’. Точката, в която двете криви се срещат в средата на седлото, е ,,седловата точка’’. В Tеория на игрите пресечената точка на две дадени стратегии е тъкмо седловата точка.

Има обаче други игри на две лица с нулева сума, които нямат нито една най-добра възможна стратегия. Такива игри са хвърлянето на монета, бриджът, покерът и повечето военни ситуации. Тези игри, в които би било катастрофално, ако стратегията на играча бъде разкрита от противника, не са строго определени. Главната грижа на играча е да защити своята стратегия от разкриване. Тук основният въпрос е: съществуват ли безопасни и добри стратегии за ,,нестрого определени’’ игри, така че техният избор да направи игрите строго определени, т.е. математически казано, винаги ли съществува седлова точка?

Тя съществува и доказателство първоначално дава през 1927г. Джон фон Нойман, създателя на Теория на игрите. Той използва различни основни средства от модерната математика, включително така наречената ,,Теорема за неподвижната точка” на холандския математик Брауер. Фон Нойман доказва чрез трудно, но точно прилагане на тази теорема към Теория на игрите, че съществува единствен ,,устойчив’’ или рационален път за действие, който представлява най-добрата стратегия или седловата точка даже за нестрого определени игри.

Този принцип може да бъде изразен и практически. Наблюдението показва, че в игри, където откриването на плана за действие на един играч би имало опасни последствия, той може да се защити, като не използва винаги само една чиста стратегия, а избира стратегиите си с определена вероятност. Статистическата стратегия не може да бъде разкрита от противника. Тъй като главната цел на играча трябва да бъде предотвратяване на всякакво изтичане на информация от него към другия играч, най-доброто средство затова е самият той да няма информацията. Така вместо избиране на фиксиран начин за действие се възприемат различни алтернативи с различни вероятности.

Поради естеството на нещата, случайните индивидуални събития не могат да се предсказват, така че действително използваната стратегия до решителния момент остава в тайна дори за самия играч, а оттук, разбира се, и за неговия противник.

Нека приложим този принцип към една проста икономическа задача. Да предположим, че двама производители си оспорват даден консумативен пазар и че всеки от тях има предвид по 3 различни стратегии за продажби. Възможните стойности на съответните стратегии за производителя ,,А” са показани на фигура 2.1.1.:




Стратегии за A\B

B - 1

B - 2

B - 3

A - 1

4

1

1

A - 2

0

3

1

A - 3

0

0

2

Фигура 2.1.1.
Тук няма единствена най-добра стратегия за производителя ,,А”. Ако ,,А” избере стратегия ,,А – 1”, в може да ограничи неговата печалба до единица, използвайки стратегия ,,В – 2” или ,,В – 3”; ако А избере стратегия ,,А - 2” или ,,А – 3”, В може да го лиши от печалба, избирайки стратегия ,,В – 1”. Така всеки производител рискува да загуби, ако повтаря един метод за продажба и неговият конкурент открие плана му. Анализът показва, че ,,А” ще загуби, ако не използва комбинация от ,,А - 1”, ,,А - 2” и ,,А - 3” – всяка през 1/3 от времето. От друга страна, ако производителят ,,В” пропусне да използва своята най-добра смесена стратегия – ,,В - 1” в 1/9 от времето; ,,В – 2” в 2/9 от времето и ,,В – 3” в 2/3 от времето, конкурентът му ще спечели. Тези смесени стратегии са най-безопасни. Те трябва да се използват, когато никой от производителите не знае какво друго да направи.

При преминаването към игри, включващи три или повече лица, ще установим появата на едно ново основно явление – именно тенденцията някои играчи да се обединяват срещу други, или в икономиката – създаване на картели и тръстове. Такива коалиции ще бъдат успешни само ако предлагат на индивидуалните участници нещо повече от това, което те биха получили, ако действат самостоятелно. Коалициите тогава се противопоставят една на друга като индивидуални играчи в игра с двама участници. Коалицията ще бъде от полза за играчите, които я формират, и те могат следователно да изискват заплащане или ,,компенсации’’ от новите играчи, които искат да влязат в нея и да участват в делата й. Обикновено членовете на коалицията се пазарят продължително при разпределението на изгодите или печалбите.

Подходът към задачата за коалиция в Теория на игрите може да бъде показана чрез една ситуация с трима участници, в която е прието, че един играч може да спечели във всяка конкретна игра само ако е в съюз с някой друг играч. Печалбите и загубите на индивидуалните играчи при всяка възможна коалиция са показани на фигура 2.1.2.:


Индивид. играчи

Коалиции




А


В


С

А, В

1/2

1/2

-1

А, С

1/2

-1

1/2

В, С

-1

1/2

1/2

Фигура 2.1.2.
Така например, ако ,,А” и ,,В” създадат коалиция, всеки печели по половин единица, а ,,С” губи една единица. Това, което задържа участниците в играта е, че всички имат шанс за печалба; задачата на всеки играч е да успее да създаде коалиция с някой от останалите двама във всеки конкретен случай. Тази опростена ситуация илюстрира същността на конфликта в съвременния икономически живот.

Днес важна характеристика на този вид игри е това, че няма единствено най-добро решение за всеки отделен играч. Например ,,А” може да спечели от коалицията си с ,,В” толкова, колкото и с ,,С”. Следователно всичките три възможни разпределения на плащания, ваети заедно, трябва да се разглеждат като решение на тази игра с трима участници.

Разбира се, има много други разпределителни схеми, които могат да бъдат използвани от играчите. Например един от партньорите в коалицията може да се разбере с третия играч и двамата да подобрят позициите си (третият да намали загубата си) за сметка на другия партньор. Какво би предпазило участниците в играта от всички тези други възможности? На този въпрос може да се отговори, като се въведе понятието за ,,доминиране’’. В математическата терминология различните възможни схеми за разпределение на плащанията се нарича ,,импутации’’. Казваме, че една импутация доминира друга, ако е явно по-изгодна за всички играчи от дадена коалиция. В описаната по-горе игра с трима участници импутациите, принадлежащи на едно решение, не се доминират една друга: в случая и трите импутации имат еднакви шансове да бъдат избрани; нито една от тях не е най-изгодна за играчите във всяка коалиция. Макар да е изключително трудно да се докаже математически съществуването на такова решение за всяка игра с произволен брой участници, може да се очаква, че този принцип е в сила и в този случай.

Теория на игрите хвърля и светлина върху по-деликатни социални явления. Макар да е прието, че всеки играч има пълна информация, може да има дискриминация: двама играчи може да направят трети играч ,,табу’’, като му определят фиксирано заплащане и го изключат от всякакви преговори и коалиции. Тази мярка все пак не води непременно до пълна експлоатация на третия играч. В практическия икономически живот, например картелите не унищожават всички външни фирми, въпреки че това технически не е трудно. Те по-скоро биха позволили страничните фирми да участват в производството, без да привличат ненужно внимание.

Тези и много други следствия могат да се получат от изучаване на прости игри с трима участници. Игри с повече от трима играчи носят нови интересни резултати, но с цената на големи и в много случаи все още непреодолими математически трудности.

2.2. Задачи от Теория на игрите


Теория на игрите е погрешно название на Теория на многоличностните решения, имайки предвид процеса на вземане на решение за действие,

  • когато има повече хора, които трябва да взимат решение;

  • където крайният резултат на всеки играч вероятно зависи от действията на другите играчи.

Тъй като предпочитанието за действие на всеки един играч зависи от това какви действия ще предприемат другите, може да кажем, че неговото действие ще зависи от неговото убеждение за това какво ще направят другите. Разбира се, какво ще направят другите играчи зависи от техните собствени убеждения за това какво ще направи всеки отделен играч.

Общо взето, в този случай действието на един играч зависи от:



  • възможните действия, с които разполага всеки играч;

  • предпочитанията на всеки играч за резултатите;

  • убеждението на всеки отделен играч относно това с какви действия разполага всеки друг играч;

  • начинът, по който всеки отделен играч ранжира (класифицира) възможните крайни резултати;

  • убеждението на всеки играч за по-нататъшното мнение на всеки играч и т.н.

При перфектно състезание има повече от един човек, който взима решение – всъщност безброй много. Все пак напълно допустимо е, че техните решения са разнообразни. Така например потребителят опитва да избере най-добрата потребителска кошница, която може да си позволи да заплати. В действителност не се знаят бъдещите цени. Решенията на потребителите зависят от техните очаквания за бъдещите цени, а бъдещите цени зависят от решенията на потребителите днес. Дори в перфектна конкурентна среда решенията на потребителите са повлияни от техните мнения за това какво правят другите потребители – като цяло.

Когато играчите мислят за това какво другите играчи ще направят, вземайки под внимание какво другите играчи мислят за тях, те могат да намерят ясен начин да играят играта.

Нека да разгледаме следната игра (фигура 2.2.1.):


1\2

L

m

R

T

(1,1)

(0,2)

(2,1)

M

(2,2)

(1,1)

(0,0)

B

(1,0)

(0,0)

(-1,1)

Фигура 2.2.1.



Те трябва да изберат своите стратегии едновременно.

Възможните крайни резултати за играчи 1 и 2 са посочени с числа в скоби, като първите числа са за Играч 1, а вторите – за Играч 2.

Например: Ако Играч 1 играе стратегия ,,Т” и Играч 2 играе стратегия ,,R”, тогава Играч 1 получава ,,2’’ точки, а Играч 2 – ,,1’’ точка.


1\2

R

T

(2,1)

Да допуснем, че:

  • и двамата играчи знаят, че точно това са стратегиите и точките;

  • всеки от играчите знае, че другия играч знае това;

  • всеки от играчите знае, че другия играч знае, че той знае това

и така до безкрай.

Играч 1 поглежда неговите възможни крайни точки и разбира, че независимо как ще играе другия играч, за него е по-добре да играе стратегия ,,М”, отколкото стратегия ,,В”.



1\2

L

m

R

M

(2,2)

(1,1)

(0,0)

B

(1,0)

(0,0)

(-1,1)

Ако Играч 2 играе стратегия ,,L”, то стратегия ,,M” носи на Играч 1 – ,,2’’ точки, а стратегия ,,B” му носи ,,1’’ точка.





1\2

L

M

(2,2)

B

(1,0)

Ако Играч 2 играе стратегия ,,m”, то стратегия ,,М” носи на Играч 1 – ,,1’’ точка, а стратегия ,,В” му носи ,,0’’ точки.



1\2

m

M

(1,1)

B

(0,0)

Ако Играч 2 играе стратегия ,,R”, то стратегия ,,М” носи на Играч 1 – ,,0’’ точки, а стратегия ,,В” му носи ,, –1’’ точка.




1\2

R

M

(0,0)

B

(-1,1)

Следователно Играч 1 разбира, че не трябва да играе стратегия ,,В”.

Сега трябва да сравни стратегия ,,Т” със стратегия ,,М”. Той разбира, че ако Играч 2 играе стратегия ,,L” или ,,m”, то стратегия ,,М” е по-добре от стратегия ,,Т”.


1\2

L

m

T

(1,1)

(0,2)

M

(2,2)

(1,1)

Но ако Играч 2 играе стратегия ,,R”, то стратегия ,,Т” е определено по-добра от стратегия ,,М”.



1\2

R

T

(2,1)

M

(0,0)

Ще изиграе ли Играч 2 стратегия ,,R”? Как ще играе той? За да намери отговор на тези въпроси, Играч 1 поглежда играта от гледната точка на Играч 2. Той разбира, че за Играч 2 няма стратегия, която да е напълно по-добра от всяка друга стратегия. Например: Стратегия ,,R” е най-добрата стратегия, ако Играч 1 играе стратегия ,,В”, но в противен случай е по-лоша от стратегия ,,m”. Дали Играч 2 мисли, че Играч 1 ще играе стратегия ,,В”? Той знае, че Играч 1 се опитва да получи максимален брой финални точки. Тогава трябва да направи заключението, че Играч 1 няма да играе стратегия ,,В”. По тази причина Играч 1 заключава, че Играч 2 няма да играе стратегия ,,R” (тъй като е по-лоша стратегия от ,,m” в този случай). Изключвайки възможността, че Играч 2 ще играе стратегия ,,R”, Играч 1 разглежда неговите крайни точки и вижда, че стратегия ,,М” сега е по-добра от стратегия ,,Т”. От друга страна, Играч 2 разсъждава по подобен начин и заключава, че Играч 1 трябва да играе стратегия ,,М”. Затова Играч 2 решава да играе стратегия ,,L”.

Този начин на мислене не винаги довежда до такава ясна прогноза. Представете си, че искате да се срещнете с приятел на едно от две възможни места, за които ви е напълно безразлично кое от двете ще е. За нещастие, вие не можете да се свържете един с друг докато не се срещнете. Тази ситуация е представена чрез следната игра, която се явява типичен пример за ,,чисто координационна игра’’ (фигура 2.2.2.):



1\2

Ляво

Дясно

Горе

(1,1)

(0,0)

Долу

(0,0)

(1,1)

Фигура 2.2.2.
Тук Играч 1 избира между горен и долен ред (озаглавени ,,Горе” и ,,Долу”), докато Играч 2 избира между лява и дясна колона (озаглавени ,,Ляво” и ,,Дясно”). Първата и втората цифра във всяко квадратче показват точките за всеки играч поотделно. Трябва да отбележим, че Играч 1 ще предпочете стратегия ,,Горе” пред стратегия ,,Долу”, ако знае, че Играч 2 ще играе стратегия ,,Ляво”; но той ще предпочете стратегия ,,Долу”, ако знае, че Играч 2 ще играе стратегия ,,Дясно”. На него му е безразлично ако знае, че съществува еднаква вероятност другият играч да играе, която и да е стратегия. Аналогично, Играч 2 ще предпочете стратегия ,,Ляво”, ако знае, че Играч 1 ще играе стратегия ,,Горе”. По този начин не може да се добие ясна представа за изхода от тази игра.

Едни може да търсят сигурни резултати с мисълта, че играчът няма причина да се отклонява, ако знае, че другият състезател прилага предпочитаната стратегия. Тук, стратегиите ,,Горе – Ляво” и ,,Долу – Дясно” са такива стратегии. Но ,,Долу – Ляво” и ,,Горе – Дясно” не са твърде предпочитани в това отношение. Например, ако се знае, че ще бъде играно стратегии ,,Долу – Ляво”, всеки играч би предпочел да се отклони – както е показано на фигура 2.2.3.:




1\2

Ляво

Дясно

Горе

(1,1)

←↓(0,0)

Долу

(0,0)↑→

(1,1)

Фигура 2.2.3.
(Тук, ↑ означава, че Играч 1 се отклонява Нагоре, → - Играч 1 се отклонява Надясно, и т.н.).

За съжаление, в тези игри, повечето състезатели имат различни предпочитания към изхода, като по този начин възниква конфликт.

В играта, която е позната като ,,Битката на половете’’, конфликтът и нуждата от координация са представени заедно (фигура 2.2.4.):


1\2

Ляво

Дясно

Горе

(2,1)

(0,0)

Долу

(0,0)

(1,2)

Фигура 2.2.4.
Тук, за пореден път състезателите биха желали стратегия ,,Горе” да съвпадне със стратегия ,,Ляво” и стратегия ,,Долу” със стратегия ,,Дясно”. Но сега Играч 1 предпочита да се кординират стратегии ,,Горе – Ляво”, докато Играч 2 предпочита ,,Долу – Дясно”. Желаните изходи също са стратегии ,,Горе – Ляво” и ,,Долу –Дясно”.

Сега нека си представим, че в ,,Битката на половете’’ Играч 2 знае как действа Играч 1, когато той прави своя избор. Това може да се покаже чрез следното дърво (фигура 2.2.5.):


ИГРАЧ 1




Горе Долу

ИГРАЧ 2 ИГРАЧ 2
Ляво Дясно Ляво Дясно

(2,1) (0,0) (0,0) (1,2)
Фигура 2.2.5.
Тук Играч 1 избира между стратегии ,,Горе” и ,,Долу”, тогава (знаейки какво е избрал Играч 1), Играч 2 избира между стратегии ,,Ляво” и ,,Дясно”. В края на краищата Играч 2 би избрал стратегия ,,Ляво”, ако Играч 1 е играл стратегия ,,Горе” и би избрал стратегия ,,Дясно”,ако Играч 1 играе стратегия ,,Долу”.Знаейки това, Играч 1 би играл стратегия ,,Горе”. Ето защо, някой може да оспори, че единственият логичен изход от тази игра е стратегии ,,Горе – Ляво”. Този вид логичност се нарича ,,обратна индукция”.

Когато Играч 2 е наясно как действа другият играч, той получава само ,,1’’ точка, докато Играч 1 взима ,,2’’ точки. Играч 2 предпочита Играч 1 да има информация за това как Играч 2 действа, докато той самият има информация за това как Играч 1 играе.

Нека разгледаме следните две упражнения към тази игра:
Упражнение 1

Ясно е, че тук основното е, че Играч 1 знае, че Играч 2 ще е наясно коя стратегия е избрал Играч 1, когато той е на ход. Представете си ситуацията, в която Играч 1 мисли, че Играч 2 ще знае какво избира Играч 1 с вероятност ,,π < 1”, и тази вероятност не зависи от това какво е избрал Играч 1. Какво би се случило с ,,разумното (логичното)“ равновесие?

Друга интерпретация е че Играч 1 може да общува с Играч 2 , който не може да общува с Играч 1. Това дава възможност на Играч 1 да провери своите действия.
Упражнение 2

Обмислете по-долната версия на последната игра: след като узнава какво Играч 2 е направил, Играч 1 получава шанс да промени неговите действия, после играта свършва. С други думи, Играч 1 избира между стратегии ,,Горе” и ,,Долу”; знаейки избора на Играч 1, Играч 2 избира между стратегии ,,Ляво” и ,,Дясно”; знаейки избора на Играч 2 Играч 1 решава дали да остане където е или да промени позицията си. Какво е “разумното” решение? Какво ще се случи ако промяната на неговото действие струва на Играч 1 ,,c’’ точки?

Представете си, че преди да играе ,,Битката на половете’’, Играч 1 има възможност да избира - да излезе от играта (при който случай всеки играч ще получи 3/2) или да играе ,,Битката на половете’’. Когато дойде реда на Играч 2 да играе той ще знае, че Играч 1 е избрал да играе ,,Битката на половете’’.

Има две “разумни” равновесия. Едното е, че Играч 1 излиза като си мисли, че ако той играе ,,Битката на половете’’, те ще играят стратегии ,,Долу – Дясно” (равновесие от ,,Битката на половете’’) носейки само ,,1” точка на Играч 1. Второто е, че Играч 1 избира да играе ,,Битката на половете’’, и във тази игра те играят равновесието ,,Горе – Ляво”.


1



Играй

1\2

Ляво

Дясно

Горе

(2,1)

(0,0)

Долу

(0,0)

(1,2)



Изход
(3/2,3/2) Фигура 2.2.6.
Някой ще спорят че първото решение не е наистина разумно? Защото когато дойде ред да играе, Играч 2 ще знае че Играч 1 е избрал да играе ,,Битката на половете’’, отказвайки се от 3/2 от резултата. Тогава той трябва да осъзнае, че Играч 1 вероятно не може да планира да играе стратегия Долу, което му носи максималната ,,1” точка. И така, когато дойде ред на Играч 2 да играе, той трябва да разбере, че Играч 1 планира да играе стратегия ,,Горе”. Следователно Играч 2 трябва да играе стратегия ,,Ляво”. Предвиждайки това, Играч 1 трябва да избере да играе играта ,,Битката на половете’’, в която ще играят стратегиите ,,Горе – Ляво”. По този начин разбираме, че вторият изход е единственият разумен изход (този вид решение се нарича ,,индукция”).

Ето и още няколко примерни игри:



  1. ,,Затворническата дилема” (,,Prisoners' Dilemma”) – фигура 2.2.7.





1\2

Признава си

Не си признава

Признава си

(10, 10)

(1, 20)

Не си признава

(20, 1)

(2, 2)

Фигура 2.2.7.
Двама затворници са обвинени в извършване на престъпление. Прокурорът им казва, че ако и двамата се признаят за виновни, ще получат присъди от по десет години. В случай че и двамата заявят пред съда, че са невинни, ще лежат само по две години. Ако обаче само единият се признае за виновен, той получава едногодишна присъда, докато другият ще трябва да лежи в затвора цели двадесет години. Успеят ли така да намерят гаранции един от друг, че ще отричат, те си осигуряват най-малката присъда - две години затвор. Да предположим обаче, че не се споразумеят. Всеки за себе си ще реши, че независимо от това как другият действа на процеса, той би бил по-добре, ако се признае за виновен (в най-лошия случай ще получи десет, а не двадесет години, които го очакват, ако отрече, когато другият е признал). В крайна сметка и двамата признават и получават десетгодишни присъди.

  1. Игра ,,Ястреб – Гълъб” – фигура 2.2.8.




1\2

Ястреб

Гълъб

Ястреб

[(v-c)/2,(v-c)/2)]

(v,0)

Гълъб

(0,v)

(v/2,v/2)

Фигура 2.2.8.
Това е основна биологична игра, но е подобна на много игри на икономическа и политическа основа. ,,V” е стойността на ресурса, който един от играчите ще спечели. Ако те си споделят ресурса, всеки играч ще получи ресурс на стойност ,,V/2”. Играч 1 застава зад стратегията, при която играчът не отстъпва ресурса. Все пак, ако и другият играч играе също стратегия ,,Ястреб”, те завършват биейки се и всеки един от тях печели ресурс на стойност ,,C/2”. От друга страна Играч 1 печели целия ресурс за себе си ако играе стратегия ,,Гълъб”. Когато ,,V>C” наблюдаваме игра, подобна на ,,Затворническата дилема”, където има борба. Когато ,,V

  • стратегия ,,Ястреб” ако неговият опонент играе стратегия ,,Гълъб”;

  • стратегия ,,Гълъб” ако опонентът му играе стратегия ,,Ястреб”.


Използвана литература:


  1. Интернет – www.gametheory.net, Мухамед Илдъз, Лекция 1

  2. Доц.к.ф.м.н. Геро Геров, доц.к.м.н. Весела Пашева, ,,Приложна математика за икономисти, изд. ,,Нов български университет”, София, 1996

  3. Боян Пенков, ,,Проблеми на съвременната математика”, Том 1,изд. ,,Наука и изкуство”, София, 1973



Каталог: files -> files
files -> Р е п у б л и к а б ъ л г а р и я
files -> Дебелината на армираната изравнителна циментова замазка /позиция 3/ е 4 см
files -> „Европейско законодателство и практики в помощ на добри управленски решения, която се състоя на 24 септември 2009 г в София
files -> В сила oт 16. 03. 2011 Разяснение на нап здравни Вноски при Неплатен Отпуск ззо
files -> В сила oт 23. 05. 2008 Указание нои прилагане на ксо и нпос ксо
files -> 1. По пътя към паметник „1300 години България
files -> Георги Димитров – Kreston BulMar
files -> В сила oт 13. 05. 2005 Писмо мтсп обезщетение Неизползван Отпуск кт


Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©obuch.info 2019
отнасят до администрацията

    Начална страница