Точност на измерванията (основни сведения от теорията на грешките) Теоретична част

Измерванията са преки, когато изследваната физична величина се определя чрез непосредствено отчитане на измервателния уред и косвени, когато физичната величина се намира въз основа на известна зависимост между нея и пряко измервани величини. Измерванията на големината на електричния ток с амперметър, на температурата с термометър и др. са преки измервания. Пример за косвено измерване е определянето на скоростта на едно тяло, движещо се равноускорително без начална скорост v = 2s/ t .

При измерване не е възможно да се получи абсолютно точната, истинска стойност на измерваната физична величина. Получава се само приблизителната й стойност, съдържаща винаги някаква грешка, т. е. измерването се извършва с някаква точност.

Под точност на измерването се разбира най-малката част от измерителната единица, до която със сигурност може да се извърши измерването. Степента на точност на едно измерване зависи от използуваните уреди и методи на измерване. Задачата на едно измерване е да се намери не само приблизителната стойност, най-близка до истинската на измерваната величина, но и да се направи оценка на допуснатата грешка при измерването, да се определи интервалът в който със сигурност се намира измерваната величина.

1. 
   Грешки при преки измервания
   

При еднократно пряко измерване на величината x се въвежда максимална абсолютна грешка ∆x, която се определя от точността на уреда, с който се мери. Тази грешка се нарича още инструментална и е равна на най-малката част от мерната единица, до която със сигурност може да се извърши измерването (едно най-малко деление по скалата на уреда). За уреди, снабдени с нониусна скала, инструменталната грешка е равна на константата на нониуса; при цифровите уреди е равна на единица от последната значеща цифра, ако в паспорта на уреда не е посочено друго. Абсолютната грешка ∆x определя интервала, в който лежи истинската стойност _ на измерената величина x, което се записва така: _= x ± ∆x.

Отношението ε =_ се нарича относителна грешка и най-често се изразява в проценти - ε % =_.

Точността на измерването обикновено се характеризира с относителната грешка.

Абсолютната грешка не дава представа за степента на точност, с която се работи. Колкото по-голяма е стойността на измерваната физична величина с един и същ уред (една и съща абсолютна грешка), толкова по-голяма е степента на точност на даденото измерване (по-малка относителна грешка). Абсолютната грешка характеризира точността на метода на измерване.

Пример: С ролетка (точност 1 mm) са измерени дължините на две тела - _ и _. Определете грешките при измерванията.

Абсолютната грешка е една и съща и е равна на инструменталната грешка - ∆l = 0,1 _.

За относителните грешки при двете измервания се получава:

_=_0,1%

_=_10%

Вижда се, че относителната грещка при измерване на _ е 0,1% от стойността на измерваната величина, докато грешката при измерване на _ е 10% от стойността й, т.е. величината _ е измерена с по-голяма степен на точност (по-малка грешка) от величината _.



Въпросът за намирането и намаляването на случайните грешки е предмет на цяла област в науката, наречена теория на грешките, разработена от Гаус при следните условия:

1. Грешките имат непрекъснат ред стойности.

2. При голям брой измервания грешките с еднаква големина, но с противни знаци, се срещат еднакво често.

3. Вероятността за поява на грешките намалява бързо с увеличаване на техните големини, т. е. малките грешки се срещат по-често от големите.

В теорията на грешките се доказва, че при многократно пряко измерване на една величина най-вероятната й стойност е средната аритметична _ на всички n измерени стойности _:







ε =_ (3)

Резултатът от измерванията се записва във вида:
х = x_ср ± Δ x или х = x_ср ± ε % (4)
Когато се правят ограничен брой измервания (а не безкрайно много), за да попадне с по-голяма вероятност истинската стойност на измерваната величина в определен интервал, изчислената стойност на абсолютната грешка (средноквадратичната грешка σ) се коригира с определен коефициент t(n) – коефициент на нормираните отклонения при малък брой измервания (коефициенти на Стюдент), чиято стойност зависи от броя на измерванията n. Стойностите на t(n) се вземат от таблици. Стойностите на t(n) при вероятност 95% са дадени в долната таблица:

Когато се разширява чрез коефициент на Стюдент, поради ограничен брой измервания, вероятният интервал, в който лежи истинската стойност на измерваната величина, абсолютната грешка _ се изчислява така:



Тази коригирана стойност на _ се поставя в (4) за определяне на интервала при ограничен брой преки измервания.

3 3,182 9 2,262 15 2,131

4 2,776 10 2,228 16 2,120

5 2,571 11 2,201 17 2,110

6 2,447 12 2,179 18 2,103

7 2,365 13 2,160 19 2,093

8 2,306 14 2,145 20 2,086

2. 
   Грешки при косвени измервания
   

Пресмятането на грешките при косвени измервания се базира на следните предположения:

1. Абсолютните грешки при измерванията са винаги много по-малки по стойност от измерваните величини (разглеждат се като техни безкрайно малки изменения).

2. Ако физичната величина, която се определя косвено, е функция на една или няколко непосредствено измервани величини, то абсолютната грешка на функцията е също безкрайно малка величина.

Например: B е функция на няколко аргумента B = f (x, y, z, ...), където x , y , z , ... са стойностите на пряко измерените величини.

Относителна грешка ε на функцията се определя по следния начин:

1. Логаритмува се функцията B = f (x, y, z, ...)

2. Диференцира се получения логаритъм по всички аргументи.

3. Заменят се безкрайно малките dx , dy , dz , ... с абсолютните грешки: Δx , Δy , Δz , ... на съответните аргументи. За да се получи максималната възможна грешка, знаците “–” се заменят със знаци “+”.

След определяне на относителната грешка се пресмята и абсолютната грешка:

ΔB = ± ε . B и оттам интервала, в който лежи истинската стойност (В ± ΔB).

ПРИМЕР: Скоростта на тяло (материална точка) при равномерно движение се определя от закона _ където s е пътят, който тялото изминава за време t. В резултат на едно измерване са получени следните резултати: s = 1 m (измерен с ролетка с точност Δs = 1 mm (0,001 m); t = 10 s (измерено с хронометър с точност 0,1 s). Да се определи интервалът, в който лежи истинската стойност на скоростта _.

Изчисляваме стойността на _: _

Логаритмува се функцията _

_

Диференцира се полученият логаритъм по всички аргументи

Заменят се безкрайно малките dV, ds, dt с абсолютните грешки Δ V, Δ s, Δ t. За да се получи максималната възможна грешка, знаците “–” се заменят със знаци “+”.


Абсолютната грешка е:
ΔV = ε V = 0,011.0,1 = 0,0011 m/s _

Интервалът, в който лежи истинската стойност на V е :
V=_ или V = 0,1 _± 1,1%

Закръгляне на резултатите от измерванията

Абсолютната грешка винаги се закръгля до една значеща цифра, ако тази цифра не е единица, и до две значещи цифри, ако първата от тях е единица. Стойността на измерваната величина се закръгля до онази значеща цифра, до която е закръглена абсолютната грешка. Нулите преди първата цифра не са значещи, както и нулите след последната цифра на запетаята.

Прилагането на това правило е особено важно при пресмятане с калкулатори и компютри, които дават резултатите от пресмятанията с голям брой значещи цифри и създават лъжливо впечетление за голяма точност на измерванията.

Най-често графичните зависимости се строят в правоъгълна (декартова) координатна система с подходящи мащаби по осите. Стойностите на аргумента се нанасят по абцисната ос X (хоризонталната права), а тези на функцията - по ординатата Y (вертикалната права). При избора на мащаба трябва да се спазват следните изисквания:

- Графиката да бъде достатъчно точна; най-малкото разстояние, което може да се отчита от нея да бъде не по-малко от абсолютната грешка на измерваната величина.

- Графиката да заема по възможност квадратно пространство т.е. разстоянието между крайните точки до ординатната и до абцисната ос да бъдат приблизително равни (ако графиката представлява права линия, тя трябва да е с наклон ± 45 ^o ). Отклонения от тези изисквания са възможни, в случаите, когато точността на измерване на едната величина е много по-малка от точността на другата.

- Двете оси на координатната система се разграфяват с чертички (белези) и се получава скалата на координатната ос. Всяка скала има два елемента – интервал и стъпка. Интервал се нарича разстоянието между два съседни белега, а стъпка – разликата между числата на тези белези. Равномерните скали имат както равномерен интервал така и равномерна стъпка. Всяка скала трябва да се “чете” лесно без всякакви пресмятания. Това се постига чрез избор на подходяща стъпка. Удобно е десетичния множител да бъде заедно с измерителната единица. Тогава деленията по осите могат да се отбелязват с 1, 2, 3, ..., а не с 0,00001, 0,00002 или 100 000, 200 000. По осите се поставят цифри за големи мащабни единици. Не е необходимо всеки белег (щрих) да “носи” цифра. Осите не бива да се претрупват с цифри. По координатните оси трябва да се записва названието или символа на величината, а след него измерителната единица.

- Необходимо е да се отбележи, че не е задължително началото на координатната система да има координати (0, 0). Началото на координатната система е необходимо да се пренесе в произволна точка, така че да се използва пълно площта на графиката. След нанасяне на стойностите на аргумента и функцията в координатната равнина се получава набор от точки. Поради наличието на грешки при измерване на дадена физична величина е неизбежно разсейването на експерименталните точки. За това трябва да се прекара линия не през всички точки, а по възможност плавно, така че еднакъв брой експериментални точки да лежат над и под нея.

- При нанасяне на няколко криви на една и съща координатна система е необходимо или да се номерира всяка крива, или да се използват различни знаци (например кръстчета, кръгчета, триъгълници и др.). В свободното поле се записва названието, означението, числената стойност и измерителната единица на параметъра.

Най-лесно през експерименталните точки е да се прекара права, а сравнително по-трудно парабола, синусоида или друга по-сложна крива. Понякога е възможно чрез полагания функционалната зависимост да се сведе до линейна, което облекчава построяването на графиката. Примерно функцията y = ax² , чиято графика е парабола, може с полагането x² = t да се сведе до линейната функция y = at , чиято графика е права линия.