Том 44-45, свитък III, Механизация, електрификация и автоматизация на мините, София, 2002, стр. 105-108



Дата28.02.2018
Размер171.38 Kb.


  1. Годишник на Минно-геоложкия университет "Св. Иван Рилски"


том 44-45, свитък III, Механизация, електрификация и автоматизация на мините, София, 2002, стр. 105-108
ВЪРХУ j-ЛИПШИЦОВИТЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ В ПСЕВДОМЕТРИЧНО ИЗПЪКНАЛИ РАВНОМЕРНИ ПРОСТРАНСТВА

  1. Васил Ангелов

Минно-геоложки университет

“Св. Иван Рилски”

София 1700. България


РЕЗЮМЕ

Получени са условия гарантиращи глобална j-липшицовост на изображения в пълни псевдометрично изпъкнали равномерни пространства. Такива изображения възникват в много приложения изброени в цитираната литература.




Нека е едно -отделимо равномерно пространство, чиято равномерност е породена от една достатъчна фамилия от псевдометрики
,
където е индексно множество. Основните понятия отнасящи се до равномерните пространства може да се намерят в (Weil, 1938; Page, 1978). Едно равномерно пространство се нарича псевдометрично изпъкнало ако за всеки съществува така, че

за всяко стига само cf. (Angelov, Georgiev, 1997). Метричният сегмент между и относно псевдометриката ще означаваме с , и .
Нека е изображение на индексното множество в себе си, чиито итерации са дефинирани индуктивно както следва
.
По-нататък и ще означаваме равномерни пространства, чиито индексни множества за фамилиите от псевдометрики съвпадат, т.е.
.
Нека е фамилия от положителни константи със същото индексно множество . Едно изображение се нарича j – липшицово ако за всеки е удовлетворено неравенството
при .
Основната цел на настоящата статия е да формулира локални условия, от които следва j – липшицовост на изображения, дефинирани в пълни псевдометрично изпъкнали равномерни пространства. Такива изображения възникват при операторни формулировки на задачи за функционално-диференциални уравнения, разглеждани в (Angelov, 1987; Angelov, 2000).
Преди да формулираме основните резултати ние ще представим един пример на псевдометрично изпъкнало равномерно пространство. Наистина, нека разгледаме множеството , състоящо се от всички непрекъснати функции . Нека фиксираме една произволна функция . Ще предполагаме, че е неограничена и положителна върху . Дефинираме множеството . Лесно се вижда, че сумата от две функции от не принадлежи на в общия случай. Това означава, че не е нито Банахово пространство нито линейно топологично пространство. Означаваме с фамилията от всички компактни интервали и въвеждаме фамилията от псевдометрики върху където


.
За всеки , за които , можем да дефинираме еднопараметрично семейство от функции , където . За всяко фиксирано имаме

.
Очевидно . С означаваме затворения метричен сегмент
,
докато с . Лесно се проверява, че от следва и при и обратно.
Изображението се нарича почти дирекционно j-липшицово върху , ако за всички с следното неравенство е в сила:
(1)
при и при .
Горната дефиниция обобщава съответната дефиниция в метрични пространства cf. (Kirk, Ray, 1977). Когато няма метричен сегмент между и относно .
Напомняме, че едно изображение се нарича затворено, ако за всяка редица от условията и следва и .
ТЕОРЕМА. Нека и са пълни -отделими равномерни пространства като е псевдометрично изпъкнало. Нека е почти дирекционно j-липшицово изображение относно фамилията . Ако е затворено, тогава е j-липшицово върху цялото пространство .
Доказателство: Нека и са два различни елемента от , т.е. . Избираме нова фамилия от положителни константи , такива, че за всяко . С ще означаваме съвкупността от изброимите ординални числа. Нека фиксираме cf. Ch.XV, (Angelov, 1989). За всяко по-малко от  дефинираме множеството така, че

(1) ако за някое  and , тогава ; (3) ако и , тогава за онези , за които ; (4) ако и , тогава ; (5) е j-липшицово изображение относно фамилията върху множеството .


Ако има предшественик , т.е. , тогава полагаме .
Ако и , то предвид (1) можем да изберем така, че

(напомняме, че дава ).
В следващите редове ще покажем, че условията (1)- (3) са в сила при . Наистина, ако , тогава от (4) следва

т.е., или . Ако , тогава (3) следва

т.е. което означава . Така доказахме, че (3) е валидно за .
За всяко имаме
.
Следователно (4) е изпълнено при .
Допускаме, че . Както вече показахме
и


с което (5) е доказано.
Ако е ординално число от втори тип, то можем да изберем една растяща редица от ординални числа , така, че . Предвид (1) и (3) имаме откъдето следва , т.е. редицата е монотонно растяща. Понеже (4) дава
,
или , от което следва сходимостта на редицата . Ако положим тогава , откъдето следва
.
Това означава, че е редица на Коши в . От пълнотата на следва съществуване на елемент така, че . Тогава можем да положим .
Ако за произволно имаме , тогава редицата е евентуално постоянна, т.е. всичките й елементи от известно място нататък са равни на . В този случай (2) - (5) са изпълнени за .
Понеже , то от (5) следва

за всеки и . Без ограничение на общността можем да предположим, че , защото винаги можем да отстраним елементите на редицата , за които и останалите да преномерираме. Така получаваме, че е една редица на Коши в . Но е пълно равномерно пространство и има затворена графика. Тогава . Нека и нека е избрано достатъчно голямо така, че . Предвид (3) имаме
.
След извършване на граничен преход в горното равенство получаваме
,
т.е. . Също така от (4) следва

и след получаваме .
Следователно (3) и (4) са удовлетворени при . Условие (5) ни дава

(при ) и оттук при имаме
.
Така получихме едно множество в така, че (1) - (5) да са изпълнени. Ако за всяко , тогава (3) ни дава, че множеството е едно дискретно множество от реални числа. Предвид Теорема 2, Глава XV, (Sierpinski, 1965), множеството е неизброимо. Полученото противоречие показва, че за някое имаме и тогава от (5) следва
.
Последното неравенство е валидно за всяко и следователно
.
С това теоремата е доказана.

ЛИТЕРАТУРА


Weil A. 1938. Sur les espaces a structure uniforme et sur la topologie generale. Hermann, Paris.

Kelley J. L. 1959. General Topology. D. Van Nostrand Company, New York.

Isbell J. R. 1964. Uniform Spaces. AMS, Providence, RI.

Page W. 1978. Topological Uniform Structures. J. Wiley &Son, New York.

Angelov V. G. L. Georgiev. 1997. An extension of Kirk-Schöneberg theorem to uniform spaces. Discussiones Mathematicae,Differential Includeusions, v.17, 89-96.

Angelov V. G. 1987. Fixed point theorems in uniform spaces and applications. Czechoslovak Math. J., v.37, 19-33.

Angelov V. G. 1989. Fixed points of densifying mappings in locally convex spaces and applications. J. Institute of Mathematics and Computer Sci. (Calcutta), v.2, N2, 22-39.

Angelov V. G. 2000. Escape trajectories of J.L. Synge equations. J. Nonlinear Analysis. Real World Applications. V.1, 189-204.

Kirk W. A., W. O. Ray. 1977. A note on Lipschitzian mappings in convex metric spaces. Canad. Math. Bull. v.20(4), 463-466.

Sierpinski W. 1965. Cardinal and Ordinal Numbers. Warszawa.





  1. Препоръчана за публикуване от
  2. катедра “Математика” на МЕМФ



Каталог: annual -> public html -> 2002
2002 -> Марин Цветков
2002 -> Annual of the University of Mining and Geology "St. Ivan Rilski"
2002 -> The mineralogical education in bulgaria as exposed in textbooks from the XIX and first half of the XX century
2002 -> Том 44-45, свитък III, Механизация, електрификация и автоматизация на мините, София, 2002, стр. 71-72
2002 -> Технология на обработка на гранитни материали за единични дебелостенни изделия
2002 -> Юлиян Димитров
2002 -> Пластична зона на срязване и разломи на крехко разрушаване в югозападния склон на златишко-тетевенска планина
2002 -> Том 44-45, свитък III, Механизация, електрификация и автоматизация на мините, София, 2002, стр. 73-75
2002 -> Том 45, свитък I, Геология, София, 2002, стр. 69-74 ценни съпътстващи компоненти в състава на българските медно-порфирни находища
2002 -> Задача за две тела (Synge, 1940; Synge, 1960) и е показана тяхната еквивалентност


Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©obuch.info 2019
отнасят до администрацията

    Начална страница