University of architecture, civil engineering and geodesy sofia jubilee scientific conference



Дата22.12.2018
Размер127.64 Kb.



65 ГОДИНИ

УНИВЕРСИТЕТ ПО АРХИТЕКТУРА, СТРОИТЕЛСТВО И ГЕОДЕЗИЯ – СОФИЯ

ЮБИЛЕЙНА НАУЧНА КОНФЕРЕНЦИЯ
65 YEARS

UNIVERSITY OF ARCHITECTURE, CIVIL ENGINEERING AND GEODESY – SOFIA

JUBILEE SCIENTIFIC CONFERENCE

Двойно централно (бицентрално) проектиране

Венцислав Даков Радулов1

1. Проекционен апарат


Двойното централно (бицентрално) проектиране е модел на тримерното пространство, изграден на основата на централно проектиране от център S1 върху проекционнa равнинa и от център S2 върху проекционнa равнинa . Двата проекционни центъра са крайни точки. Правата p = S1S2 се нарича база (кернова права). Точките се наричат кернови точки. Това са централните проекции на S2 върху от S1 и на S1 върху от S2. Нека . Всяка от равнините и може да се приеме за отделна чертожна равнина и върху всяка от тях да се изобрази даден обект.

Ако А е произволна точка, различна от S1 и S2, то нека Точка А се изобразява чрез наредената двойка (А1, А2). Очевидно правите А1К1 и А2К2 се пресичат в точка A* от правата t. Тази точка всъщност е пробода на правата t с равнината (S1S2A).



Права g се изобразява чрез двойката (g1, g2). От черт. 1 се вижда, че ако точките от g1 проектираме от К1 върху t (проектиращите лъчи са елементи на сноп К1 с център К1) и точките от g2 проектираме от К2 върху t (проектиращите лъчи са елементи на сноп К2 с център К2), то двата снопа са осево перспективни с ос t

2. Аналитично изграждане на модела

2.1. Аналитично намиране на бицентрална проекция на обект


Пример: Да се намери бицен­тралната проекция на триъгълник ABC [A(1; 3; -4), B(3; 1; -6), C(4; 4; 0)] върху равнината Z = 0 при центрове на проек­тиране S1(3; 2; 4) и S2(5; 1; 2).

Решение: В случая двете проекц­ионни равнини съвпадат и тяхната пресеч­ница, правата t от чертежа, е безкрайна права. Съвпадащите проекционни равнини приемаме за чертожната равнина. Керно­вата права има уравнение Керновата точка, която е само една, е Точките и са двата образа на точка А. Правите KA1 и KA2, според теорията се пресичат в точка от правата t. В случая това означава, че се пресичат в безкрайна точка, но те имат и обща крайна точка, следователно точките K, A1, A2 лежат на една права. Лесно се получава, че това е правата с уравнение X + 2Y – 7 = 0. Аналогично намираме B1(3; 8/5; 0) и B2(4.5; 1; 0), които заедно с керновата точка лежат на права 2X + 5Y –14 = 0. Точка С лежи в проекционната равнина, следователно На черт.2 са изобразени осите x и y от проекционната равнина и са начертани получените проекции на триъгълника.

2.2. Проективни координати в равнината и пространството


Нека в равнина α са фиксирани четири точки (базисни) (черт.3), никои три от които не лежат на една права, U, V – изключени точки, О – нулева точка и Е – единична точка. Да означим с и . Ако А е прои­зволна точка, нележаща на правата UV, то нека и тогава числата се наричат не­хомогенни проективни координати на точката А.

Хомогенни проективни координати на точката А се нарича наредената тройка където:

ако А е точка, нележаща на правата UV, то , , където е произволно число;

– ако А е точка от правата UV, то , са произволни числа.

В [6] е доказано, че хомогенните координати на дадена точка А са про­порционални на отношенията на разстоя­нията на точките А и Е до страните на координатния триъгълник OUV (черт.3), или:

Нека в пространството са фиксирани пет точки (черт. 4) (базисни), никои четири от които не лежат в една равнина, U, V, W – изключени точки, О – нулева точка и Е – единична точка. Да означим с и и нека Ако А е произволна точка, нележаща в равнината (UVW), то аналогично получаваме AU, AV, AW. Tогава числата се наричат нехомогенни проективни координати на точката А.

Хомогенни проективни координати на точката А се нарича наредената четворка числа където:

– ако А е точка, неинцидентна с (UVW), то къдетое произволно число;

– ако А е точка от равнината (UVW), то , са произволни числа.

Ако означим с а1 и е1 , а2 и е2 , а3 и е3 а4 и е4 разстоянията от А и Е съответно до (VWО), (ОUW) (ОUV) (UVW), от [6] имаме,че хомогенните координати на дадена точка А са пропорционални на отношенията на разстоянията на точките А и Е до стeните на координатния триедър OUVW.

Тогава

2.3. Основен закон при централно проектиране


Ако означим с първите три хомогенни проективни координати на точка А (спрямо проективна координатна система К(U, V, W, O, E)), а с хомогенните проективни координати на централната ù проекция А’ (спрямо проективна координатна система К’(U’, V’, W’, E’)), като проектирането е в произволна проекционна равнина с център на проектиране – точка О, то в сила е:

или , където

3. Аналитична реконструкция на обект от
бицентралната му проекция


Нека фиксираме четири некомпланарни точки като координатите са спрямо произволна ортонормирана пространствена координатна система . Нека преминем към афинна (може и да не е ортонормирана) координатна система К(М4, M1, M2, M3) с координатно начало М4, оси x = M4M1, y = M4M2, z = M4M3 и единични отсечки съответно Преминаването от координатната система К към и обратно се изразява чрез:

Спрямо новата система М1(1; 0; 0), М2(0; 1; 0), М3(0; 0; 1), М4(0; 0; 0). Нека имаме две точки Sj (Xj, Yj, Zj), j = 1,2. В [6] e доказано,че проективните координати на произволна точка A(XA, YA, ZA) са:



От правилата за пресмятане на детерминанти от четвърти ред, получаваме:



(4)

Ако положим



то горните равенства и основният закон на централната проекция ни дават:

или, след полагане

,

където равнинните проективни координати на точка А(xA, yA) се пресмятат по формулите:



От въведените означения непосредствено се получават:




3. Основни задачи при реконструкция


Нека с означим проекцията на точка А от Sj. За краткост проекциите от Sj на точка Мi да означим с като координатите са спрямо произволни координатни системи във всяка една от проекционните равнини.

3.1. Намиране координатите на точка от обекта по
двойка нейни проекции






М1

М2

М3

М4



2

5

0

0



1

0

1

0



1

0

4

0
ПРИМЕР: Нека спрямо произволна ортонормирана пространствена коорди­натна система са дадени 4 точки Мi i =1,2,3,4. Те са проектирани от S1(4; 1; 3) и от S2(2; 2; 1). От снимките са измерени съответните координатите на техните образи mji (i е номера на точката, j – номера на проекцията) спрямо произволни координатни системи във всяка снимка. Да се намерят координатите на точка M5 за която са измерени m15 и m25.

Прехода към координатна система К(М4123) става чрез



ОбратноТака имаме от (2)





М1

М2

М3

М4



1

0

0

0



0

1

0

0



0

0

1

0
Пресметнато по (7), получаваме


ω1

ω2

ω3

ω4

0

0

0

-1







m11

m12

M13

m14

m15

x

1

-7

3

0

3

y

0

-4

2

0

0
Координати на образите, измерени от първа снимка (ляво) и от втора снимка (дясно)





m21

m22

m23

m24

m25

x

1

25

11

0

3/2

y

0

30

16

0

3




m11

M12

m13

m14

M15



4

0

0

1

10



0

4

0

1

-2



0

0

2

1

-2




m21

m22

m23

m24

m25



1.2

0

0

1

0.7



0

-5.25

0

1

1.375



0

0

2.8

1

1.9
Нехомогенните проективни координати са пресметнати по (9).

За първия център на проектиране S1(4; 1; 3) спрямо К(М4123) имаме S1(1/3; 2/3; 2/3). От (12) получаваме ω1 = 2/3, а (5) имаме α1 = 2, β1 = 1, γ1 = 1.

Аналогично за втория център на проектиране S2(2; 2; 1) спрямо К(М4123) имаме S2(35/15; -8/15; -5/15). От (12) получаваме ω2 = 7/15, а от (5) имаме α2 = 1/5, β2 = -7/8, γ2 = -7/5.

Написваме системата (8) за точкa M5.

Тя има единствено решение . От (1) пресмятаме М5(6; 0; 6) спрямо изходната коорд. система.


3.2. Намиране координатите на керновите точки


Нека центровете на проектиране са S и T, а проекционните равнини съответно χ и π. Нека – образът на Т върху χ, е едната кернова точка. Първото уравнение от (8) ни дава като От (10) имаме, че и нека положим Тогава последователно намираме или Аналогично преработваме и другите равенства в (8). Получаваме Чрез почленно разделяне намираме нехомогенните проективни координати на едната кернова точка, а именно

ПРИМЕР: При данните от примера в 3.1 да се намерят керновите точки (За удобство S1 e означена с S, a S2 – с T).

Решение: Спрямо изходната координатна система имаме S(4; 1; 3), T(2; 2; 1), а спрямо (М4 М1 М2 М3) получихме S(1/3; 2/3; 2/3), T(7/3; -8/15; -1/3) и съответно

Нехомогенните проективни координати на К, едната кернова точка, са Аналогично може да се намери и другата кернова точка.

Керновите точки могат да се намерят и по следния начин: Керновата права е . Можем да получим, че и тогава като координатите са спрямо изходната координатна система. Спрямо (М4 М1 М2 М3) получаваме K(80/15; -35/15; -27.5/15), а спрямо координатната система в снимката K(4; ½; 0). По формули (9) пресмятаме хомогенните проективни координати което потвърж­дава получените вече нехомогенните проективни координати.


4. Стереоскопно и анаглифно изобразяване


Важен и интересен частен случай на бицентрално проектиране се получава, когато двете проекционни равнини се слеят в една, керновата права S1S2 е успоредна на проекционната равнина и разстоянието е между 65 и 70 мм. По правилата на перспективата при тези условия построяваме перспективите на един и същи обект. Ако се поставят двете перспективи, така че с лявото око се гледа само лявата проекция, а с дясното око – само дясната проекция се получава впечатление за пространственост, като при естествено наблюдение с две очи. Този ефект се нарича стереоскопичен ефект, а изобразяването на обекти по този начин – стереоскопно изобразяване. В геометрията такива образи се наричат анаглифи (издигнати образи). За да се прояви стереоскопичния ефект може двете перспективи да се оцветят с различни цветове – червен и син – и след това се наблюдава с очила с едно червено и едно синьо стъкло. Това е реализирано в книгата на Р. Петров [2].

ЛИТЕРАТУРА

  1. Петров Р. – Дескриптивна геометрия с анаглифни илюстрации, София, Наука и изкуство, 1970 г.

  2. Станилов Гр. – Аналитична геометрия, София, Наука и изкуство 1979 г.

  3. Чорбаджиев Др. – Дескриптивна геометрия, София, Наука и изкуство 1992 г.

  4. Узунов Н., Петров Г., Димитров С. – Дескриптивна геометрия част I, София, Техника 1963 г.

  5. Узунов Н., Петров Г., Димитров С. – Дескриптивна геометрия част II, София, Техника 1965 г.

  6. Смирнов С. А. – Стереоперспектива в фотограмметрии, Москва, “Недра” 1982 г.



1


1 Радулов Венцислав Даков, УАСГ, кат. Дескриптивна геометрия

1






База данных защищена авторским правом ©obuch.info 2016
отнасят до администрацията

    Начална страница