Упражнение 1 Теореми за вероятностите, формула за пълната вероятност, формула на БеЙс I. Кратки теоретични постановки и формули



Дата21.08.2018
Размер86.7 Kb.
Упражнение 1
Теореми за вероятностите,

формула за пълната вероятност, формула на БеЙс
I. Кратки теоретични постановки и формули.

Формули за пресмятане на вероятност на случайно събитие:



  1. Вероятност на произведение (съвместна поява на събития):

.

  • За n събития: .

  • За независими събития: .




  1. Вероятност на сума (поява на поне едно от събитията)



  • За n събития е по-удобна формулата .

  • За несъвместими събития: .

  1. Ако образуват пълна група несъвместими събития и А е призволно събитие, то:

  • (формула за пълната вероятност)

  • , (формули на Бейс).

II. Задачи
1. От 52 карти се изтегля една карта. Разглеждат се събитията. А={изтеглената карта е червена} и В={изтеглената карта е петица}. Да се намерят вероятностите , , , , . Зависими ли са събитията и ?

Решение:
; ; ; ;

; ;

; ; .

Тъй като и , то събитията A и B са независими.

Вероятността може да се получи и с прилагането на една от формулите на де Морган така
2. Известно е, че винаги настъпва поне едно от събитията , или и че и са независими събития. Освен това , , . Да се намерят: а) ; б) .

Решение:

Понеже винаги се сбъдва поне едно от събитията A, B и C, то и .

Тъй като събитията A и B са независими, то изпълнени са равенствата ; .

а) ;

б)

събитията и C са несъвместими. Но тогава несъвместими са също двойките събития (A и C) и (B и C). Тогава .
3. Имам 3 монети по 2 стотинки и 2 по 10 стотинки. Взимам две монети. Да се намерят вероятностите на събитията:

а) Двете монети са по 10 стотинки (събитие)

Б) Двете имат една и съща стойност (събитие).

В) Ако първата е 2 стотинки, каква е вероятността двете да са с еднаква стойност.

Г) Ако двете са с еднаква стойност, каква е вероятността първата да е две стотинки?

Решение:

Означаваме събитията: A1={Първата изтеглена монета е от 10 ст.}, A2={Втората изтеглена монета е от 10 ст.},



Първа монета: Втора монета
















а) ;

б) ;

в) Търсим , за която от диаграмата имаме (ако първият път сме взели монета от 2 ст., то са останали 2 монети по 2 ст. и 2 монети от 10 ст., откъдето от четирите възможни случаи благоприятните са 2). Друг начин, ако приложим формулата за условна вероятност: .

г) Търсим ;

Това условие на задачата може да се реши и така: Щом знаем, че двете избрани монети имат една и съща стойност, разглеждаме всички такива възможни съчетания. Ако номерираме монетите от 2 стотинки с числата 1, 2, 3, то съчетанията за монетите от 2 стотинки са (1; 2), (1; 3), (2; 3), а за тези от 10 стотинки имаме (10; 10), т.е. всичко на брой 4 съчетания. От тях 3 са благоприятни, т.е. .


4. Работник отива на работа или с кола, или с велосипед. Ако в 7:30 часа вали, той отива с кола с вероятност 0,8; ако не вали, отива с кола с вероятност 0,4. Вероятността да вали в 7:30 часа е 0,1.

А) Да се намери вероятността в случайно избран ден работникът да отиде с кола.

Б) Да се намери вероятността в случайно избран ден работникът да отиде с велосипед.

В) Работникът е отишъл на работа с велосипед. Каква е вероятността в 7:30 часа да е валяло?

Г) От седмица, в която нито един ден не е валяло, избираме случайно два дни. Каква е вероятността и в двата дни да е бил на работа с кола?

Д) Каква е вероятността в седмица (5 работни дни), в която нито един ден не е валяло, само един път да е ходил на работа с кола.

Решение:

Означаваме събитията: A={Работникът отива на работа с кола}; C={Вали}. Тогава и по условие ; ; Събитията и образуват пълна група от събития, при това ,



а) По формулата за пълната вероятност

;

б) Очевидно, събитието В={Работникът отива на работа с велосипед} е противоположно на събитието А, Тогава .

Същият резултат се получава, ако приложим формулата за пълната вероятност:



.

в) По формулата на Бейс имаме ;

г) P({Първият от избраните дни да е отишъл на работа с кола}{ Вторият от избраните дни да е отишъл на работа с кола})=0,4.0,4=0,16;

д) Всички възможни съчетания в петте дни, в които не е валяло, работникът да е отишъл на работа един път с кола и четири пъти с велосипед можем да опишем по следния начин:

1-ви ден

2-ри ден

3-ти ден

4-ти ден

5-ти ден

кола

велосипед

Велосипед

велосипед

велосипед

велосипед

кола

Велосипед

велосипед

велосипед

велосипед

велосипед

Кола

велосипед

велосипед











При първото съчетание вероятността е

P({кола}{ велосипед }{велосипед}{велосипед}{велосипед})=0,4.0,64=0,05184. При всички останали съчетания вероятността е същата. Следователно .

III. Задачи за Самостоятелна работа:
.


  1. В цех на завод се произвежда определен тип изделия. Всяко изделие има дефект с вероятност 0,1. Изделията се проверяват от контрольор, който открива дефект с вероятност 0,9, а стандартно изделие обявява за дефектно с вероятност 0,05.

А) Каква е вероятността едно изделие да бъде обявено за дефектно?

Б) Изделието е квалифицирано като дефектно. Каква е вероятността действително да е дефектно?

В) Каква е вероятността изделието да бъде квалифицирано неправилно?

Г) На ден контрольорът проверява 5 изделия. Каква е вероятността поне едно от тях да бъде квалифицирано неправилно?




  1. В наблюдателна станция са монтирани 4 радиолокатора с различни конструкции. Вероятността за откриване на обект с помощта на първия локатор е 0,86, на втория – 0,89, на третия – 0,90, на четвъртия – 0,95.

А) Наблюдател включва един от локаторите. Каква е вероятността да бъде открит обект.

Б) След включването на един от радиолокаторите е регистриран обект. Каква е вероятността да е бил включен третият локатор.

В) С първия локатор е извършено трикратно наблюдение. Каква е вероятността да е регистриран само един обект; 2) да са регистрирани 2 обекта.

Г) Колко наблюдения трябва да се направят с първия локатор, че да се гарантира откриването на обект с вероятност 0,99.




  1. Брояч регистрира частици от три типа А, В и С. Вероятността за поява на тези частици е , , , а вероятността броячът да регистрира наличието на частици от тези три типa е съответно , и .

А) Каква е вероятността броячът да регистрира частица.

Б) Броячът е регистрирал частица. Каква е вероятността тя да е от тип В.

В) Направени са 3 опита. Каква е вероятността само в един от опитите да бъде регистрирана частица; 2) в два от опитите да бъде регистрирана частица.

Г) Колко опита трябва да се направят, за да се твърди с вероятност 0,95, че поне ведъж ще бъде регистрирана частица.




  1. За упражняване на севриса си тенисист използва кошница с 30 топки, от които само 10 са нови. Вероятността за точен удар с нова топка е 1/3, а със стара топка – 1/4.

А) .Да се намери вероятността за точен удар при случаен избор на топка.

Б) .Да се намери вероятността взетата топка да е стара, ако е известно че ударът е сполучлив.

В) Направени са три опита. Каква е вероятността тенисистът да има 1) точно две попадения; 2) три попадения.

Г) Колко опита трябва да направи тенисистът, че с вероятност 0,9 да има поне едно попадение.




  1. Служител отива на работа пеша, с велосипед или с кола съответно с вероятности 0,1, 0,6 и 0,3. Ако отива пеша или с велосипед, вероятността да закъснее е 0,1, а ако отиде с кола – 0,35.

А) Да се намери вероятността служителят да закъснее в който и да е работен ден.

Б) Известно е, че един ден служителят е закъснял. Каква е вероятността този ден той да е дошъл на работа с велосипед.

В) Каква е вероятността в три последователни дни служителят да закъснее два пъти.

Г) Известно е, че ако през работната седмица (5 дни) има поне едно закъснение, служителят бива глобен. Каква е вероятността в продължение на една седмица служителят да бъде глобен?




  1. Да предположим, че вероятността да бъде открито туберколозно заболяване с рентгеново изследване е 0,9, а вероятността при изследването здрав човек да бъде неправилно обявен за болен от туберколоза е 0,01. Средният процент на заболяванията от туберколоза в дадена област е 0,6%.

А) Каква е вероятността произволен жител от областта да бъде обявен за болен.

Б) Каква е вероятността жител, обявен за болен, действително да е носител на туберколоза?

В) Каква е вероятността от 5 изследвани пациенти поне един да е обявен за болен от туберколоза.

Г) Каква е вероятността от 3 изследвани пациенти точно един да е обявен за болен от туберколоза.




  1. Имаме две урни. В първата има 3 бели и 6 черни топки, а във втората – 2 бели и 3 черни топки. От първата урна изтегляме по случаен начин три топки и топките, които преобладават по цвят, прехвърляме във втората урна. След това от втората урна изтегляме една топка.

А) Намерете вероятността изтеглената топка да е бяла.

Б) Изтеглената топка е бяла. Каква е вроятността от първата урна да са били прехвърлени две бели топки.

В) Изтеглената топка е черна. Каква е вероятността от първата урна да са били прехвърлена повече от една черна топка.

Г) Опитът е повторен 3 пъти. Каква е вероятността поне веднъж да бъде изтеглена бяла топка.




  1. Имаме две урни. В първата има 3 бели и 6 черни топки, а във втората – 2 бели и 3 черни топки. От първата урна изтегляме по случаен начин две топки и ги прехвърляме във втората урна. След това от втората урна изтегляме една топка.

А) Намерете вероятността изтеглената топка да е бяла.

Б) Изтеглената топка е бяла. Каква е вроятността от първата урна да са били прехвърлени две бели топки.

В) Изтеглената топка е черна. Каква е вероятността от първата урна да са били прехвърлена повече от една черна топка.

Г) Опитът е повторен 3 пъти. Каква е вероятността поне веднъж да бъде изтеглена бяла топка


Вариант 9. При търсене на нефт на дадена територия са сформирани 3 геоложки групи, които независимо един от друг откриват наличието на залеж с вероятност 0,8. В резултат на предварителни сеизмографски изследвания областта е разделена на два района, като за първия е установено, че нефт може да има с вероятност 0,3, а във втория - с вероятност 0,5. Нека в първия район са пратени 2 геоложки групи, а във втория район - 1 група. Да се намерят вероятностите: :

А) нито една от групите, изследващи първия район, да не открие съществуващ залеж.

Б) нито една от групите да не открие залеж.

В) поне една от групите, да открие залеж.



Г) в двата района са открити залежи.






База данных защищена авторским правом ©obuch.info 2016
отнасят до администрацията

    Начална страница