Упражнение 4 биномно разпределение, разпределение на поасон

.( ), ако възможните й стойности са

, .

1)  - брой на поява на събитие в п опита, ако във всеки опит вероятността на което е и остава неизменна;

2. Казваме, че дискретната случайна величина е разпределена по закона на Поасон с параметър (), когато приема изброимо много стойности и ,

1) като параметърът е п много голям, а параметърът р – много малък (редки явления), тогава като л

а) Има серия от n=3 независими единични опита;

б) Разглежда се при всеки единичен опит събитието A=“Изделието е стандартно”;

в) Вероятността на А остава една и съща при всеки единичен опит,

Следователно опитите се подчиняват на схема на Бернули.

Тогава случайната величина =”Брой на стандартните изделия сред изтеглените три” е биномно разпределена. Параметри на разпределението: т.е. p=0,9, q=0,1. и

Законът за разпределение на  е с графика



Задача 2. В едно предприятие с ежедневен режим на работа, вероятността за авария в един ден е равна на 0,1. На колко е равна вероятността в продължение на 5 дни:

а) да няма нито една авария; б) да има точно една авария; в) да има поне една авария;

г) всеки ден да има авария (в тези 5 дни).

Решение. Опитите се подчиняват на схемата на Бернули, защото:

1) Има серия от n=5 независими единични опита;

2) За всеки ден се разглежда събитието A=“В деня има авария”;

3) За кой да е ден P(A)=0,1=p т.е. р=0,1, q=0,9.

Тогава =”Брой на дните с аварии, измежду 5-те дни” е биномно разпределена. Следователно:

а) Р(“Да няма нито една авария”)=P(=0)=P_5,0(A)=;

б) Р(“Да има точно една авария”)=P(=1)=P_5,0(A)=;

в) Р(“Да има поне една авария”)=P₅(k1)=P(1)=1-P(1)=1-P(=0)=1-0,9⁵=0,40951;

а) Има серия от n=500 независими единични опити;

б) Разглежда се едно и също събитие A=“Изделието се поврежда”;

в) Вероятността на А остава една и съща при всяко изделие P(A) = 0,002 = p, q=0,998.

Следователно случайната величина =”Брой на повредените изделия” е биномно разпределена. Тъй като n е голямо число може да заменим биномно разпределената случайна величина  с поасоново разпределена с параметър  =np= 500.0,002 = 1, т.е. вместо формулата на Бернули може да се използува формулата на Поасон:

Тогава:

б) P(“Да има само едно повредено изделие”) =

1. 
   Вероятността за попадение в целта при всеки изстрел е 0,25. Стрелец произвел 5 изстрела. Каква е вероятността: а) за поне едно попадение; б) точно едно попадение; в) точно две попадения; г) не по-малко от 3 попадения.
   
2. 
   Текстилна фабрика произвежда платове като на един квадратен метър се срещат средно по 2,5 случайни дребни дефекта. Да се намери вероятността : а) на 1,5 кв. метра да няма нито един дефект; б) на 4 кв. метра да има по-малко от 5 дефекта.
   

1. 
   Двойка зарчета се подхвърлят 7 пъти и се отчита сумата S на падналите точки. Каква е вероятността а) S =7 само един път; б) поне ведъж S=7; в) всеки път се пада сума, по-голяма от 7;
   
2. 
   Броят на инцидентите за една седмица на определен участък от пътя се моделира с разпределение на Поасон със математическо очакване 1,25. Да се намери вероятността за две седмици: а) да няма нито един инцидент; б) да има най-малко 2 инцидента.
   

1. 
   Вероятността за повреда на всеки от елементите за период от време Т на даден уред е 0,2 и не зависи от останалите. Уредът съдържа 9 елемента. Да се намери най-вероятният брой елементи, които се повреждат за време Т . Да се намери вероятността броят на повредените елементи да е: а) по-малък от 3, б) не по-малък от 6, поне един.
   
2. 
   Техник отговаря за голям брой машини като средно 7 пъти на час той трябва да възстановява случайно възникнали нарушения на режима им на работа. Да се намери вероятността: а) за 1 час техникът да извърши 4 или по-малко настройки; б) по време на половин часовата му почивка да не се налага вмешателство на техника.
   

1. 
   Контролира се качеството на производството в даден цех. Известно е, че 5% от продукцията е некачествена. За приемане на цялата партида са предложени 2 метода. По първия метод се взимат 5 изделия. Ако от тях има поне едно некачествено изделие, то цялата партида се бракува. В противен случай се избират други 5 изделия. Партидата се бракува, ако сред тях има поне едно некачествено. По втория метод от партидата се избират 10 изделия и ако сред тях има поне едно некачествено, то цялата партида се бракува. Кой от двата модела е по-изгоден за предприятието?
   
2. 
   Речна вода съдържа средно 500 бактерии на литър. От водата е взет 1 куб.см вода. Каква е вероятността: да няма нито една бактерия; б) да има поне 4 бактерии.
   

1. 
   Търговец на балони твърди, че 95% от балоните му са качествени. За детско парти са купени десет балона. а) Какъв е най-вероятният брой балони, които няма да се спукат. Каква е вероятността: б) 2 от балоните да се спукат; в) не повече от 2 балона да се спукат.
   
2. 
   Апаратура се състои от 1000 елемента, всеки от които, независимо от другите се разваля с вероятност 0,0005. Да се намери вероятността да са повредени не повече от 3 елемента.
   

1. 
   Отборът А печели с вероятност 2/3 която и да е играна среща. Ако отбрът трябва да изиграе 4 срещи, да се състави законът на величината - брой на спечелените срещи. Каква е вероятността: а) да спечели повече от половината срещи; б) да загуби всички срещи; в) да спечели само една.
   
2. 
   Във факултета има 500 студента. Каква е вероятността, че 3 март е рожденната дата на: а) на нито един студент; б) на 1 студент; в) на двама или трима.
   

1. 
   Монета е направена така, че ези се пада два пъти по-често от тура. Да се намери вероятността: а) от три хвърляния 2 пъти да се падне тура; б) от 5 хвърляния 2 пъти да се падне тура; в) Колко пъти трябва да се хвърли монетата, че с вероятност 0,95 поне веднъж да се падне тура.
   
2. 
   В определено производство 2% от изделията са дефектни. Да се намери вероятността в партида от 300 изделия: а) да има по-малко от 2 дефектни изделия; б) да има точно 4 дефектни изделия
   

1. 
   Вероятността амбулантен търговец да продаде стока на случаен минувач е 0,5. а) Каква печалба средно той ще реализира на ден, ако от една продажба печели 1 лв и средно на ден посещава 50 души? б) Каква е вероятността от 10 клиента поне двама да закупят стока?
   
2. 
   Установено е, вероятността да те свържат неправилно в голяма телефонна централа е 0,002. Да се намерят вероятностите: а) от първите 5 телефонни разговора точно 1 да бъде свързан неправилно; б) Каква е вероятността в ден, в който са проведени 1000 разговора, поне 3 да са свързани неправилно.