Упражнение 4 биномно разпределение, разпределение на поасон



Дата04.08.2017
Размер58.05 Kb.
Упражнение 4
БИНОМНО РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ, РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ НА ПОАСОН
I. Кратки теоретични сведения.

1. Случайната величина има биномно разпределение с параметри р и п.( ), ако възможните й стойности са и , където

, .

Случаи на биномно разпределение:

1) - брой на поява на събитие в п опита, ако във всеки опит вероятността на което е и остава неизменна;



2) - брой на субектите, притежаващи дадено качество, ако общия брой на предметите е и вероятността който и субект да притежава качеството е равна на р.

2. Казваме, че дискретната случайна величина е разпределена по закона на Поасон с параметър (), когато приема изброимо много стойности и ,

Математическото очакване и дисперсията на величина със разпределение по закона (10.4) са .

Случаи на разпределение на Поасон:

1) като параметърът е п много голям, а параметърът р – много малък (редки явления), тогава като л



2)  - брой на настъпващите за даден интервал от време елементарни събития при прост поток от събития интензивност .
II. ЗАДАЧИ
Задача 1. В партида от 10 изделия 1 е нестандартно. Изтеглят се 3 изделия по схемата с връщане. Да се намери закона (таблицата) на разпределение на случайната величина =”Брой на стандартните изделия сред изтеглените 3”, като данните се представят и графично. Да се пресметнат числовите характеристики на .

Решение. Изпълнени са условията:

а) Има серия от n=3 независими единични опита;

б) Разглежда се при всеки единичен опит събитието A=“Изделието е стандартно”;

в) Вероятността на А остава една и съща при всеки единичен опит,

Следователно опитите се подчиняват на схема на Бернули.

Тогава случайната величина =”Брой на стандартните изделия сред изтеглените три” е биномно разпределена. Параметри на разпределението: т.е. p=0,9, q=0,1. и

Законът за разпределение на  е с графика



Задача 2. В едно предприятие с ежедневен режим на работа, вероятността за авария в един ден е равна на 0,1. На колко е равна вероятността в продължение на 5 дни:

а) да няма нито една авария; б) да има точно една авария; в) да има поне една авария;

г) всеки ден да има авария (в тези 5 дни).

Решение. Опитите се подчиняват на схемата на Бернули, защото:

1) Има серия от n=5 независими единични опита;

2) За всеки ден се разглежда събитието A=“В деня има авария”;

3) За кой да е ден P(A)=0,1=p т.е. р=0,1, q=0,9.

Тогава =”Брой на дните с аварии, измежду 5-те дни” е биномно разпределена. Следователно:

а) Р(“Да няма нито една авария”)=P(=0)=P5,0(A)=;

б) Р(“Да има точно една авария”)=P(=1)=P5,0(A)=;

в) Р(“Да има поне една авария”)=P5(k1)=P(1)=1-P(1)=1-P(=0)=1-0,95=0,40951;



г) Р(“Всеки ден да има една авария”)=P5,5(A)=P(=5)=.

Задача 3. При транспортиране на изделия вероятността за повреда на едно изделие е 0,002. На колко е равна вероятността в пратка от 500 изделия: а) да няма, б) да има само едно в) да има поне едно повредено изделие.

Решение. Налице е схема на Бернули, защото са изпълнени следните свойства:

а) Има серия от n=500 независими единични опити;

б) Разглежда се едно и също събитие A=“Изделието се поврежда”;

в) Вероятността на А остава една и съща при всяко изделие P(A) = 0,002 = p, q=0,998.

Следователно случайната величина =”Брой на повредените изделия” е биномно разпределена. Тъй като n е голямо число може да заменим биномно разпределената случайна величина с поасоново разпределена с параметър =np= 500.0,002 = 1, т.е. вместо формулата на Бернули може да се използува формулата на Поасон:

Тогава:


а) P(“Да няма повредено изделие”) = .

б) P(“Да има само едно повредено изделие”) =



в) P(“Да има поне едно повредено изделие”) =

III. Задачи за самостояTелна работа:

Вариант 1

  1. Вероятността за попадение в целта при всеки изстрел е 0,25. Стрелец произвел 5 изстрела. Каква е вероятността: а) за поне едно попадение; б) точно едно попадение; в) точно две попадения; г) не по-малко от 3 попадения.

  2. Текстилна фабрика произвежда платове като на един квадратен метър се срещат средно по 2,5 случайни дребни дефекта. Да се намери вероятността : а) на 1,5 кв. метра да няма нито един дефект; б) на 4 кв. метра да има по-малко от 5 дефекта.


Вариант 2

  1. Двойка зарчета се подхвърлят 7 пъти и се отчита сумата S на падналите точки. Каква е вероятността а) S =7 само един път; б) поне ведъж S=7; в) всеки път се пада сума, по-голяма от 7;

  2. Броят на инцидентите за една седмица на определен участък от пътя се моделира с разпределение на Поасон със математическо очакване 1,25. Да се намери вероятността за две седмици: а) да няма нито един инцидент; б) да има най-малко 2 инцидента.



Вариант 3

  1. Вероятността за повреда на всеки от елементите за период от време Т на даден уред е 0,2 и не зависи от останалите. Уредът съдържа 9 елемента. Да се намери най-вероятният брой елементи, които се повреждат за време Т . Да се намери вероятността броят на повредените елементи да е: а) по-малък от 3, б) не по-малък от 6, поне един.

  2. Техник отговаря за голям брой машини като средно 7 пъти на час той трябва да възстановява случайно възникнали нарушения на режима им на работа. Да се намери вероятността: а) за 1 час техникът да извърши 4 или по-малко настройки; б) по време на половин часовата му почивка да не се налага вмешателство на техника.



Вариант 4

  1. Контролира се качеството на производството в даден цех. Известно е, че 5% от продукцията е некачествена. За приемане на цялата партида са предложени 2 метода. По първия метод се взимат 5 изделия. Ако от тях има поне едно некачествено изделие, то цялата партида се бракува. В противен случай се избират други 5 изделия. Партидата се бракува, ако сред тях има поне едно некачествено. По втория метод от партидата се избират 10 изделия и ако сред тях има поне едно некачествено, то цялата партида се бракува. Кой от двата модела е по-изгоден за предприятието?

  2. Речна вода съдържа средно 500 бактерии на литър. От водата е взет 1 куб.см вода. Каква е вероятността: да няма нито една бактерия; б) да има поне 4 бактерии.



Вариант 5

  1. Търговец на балони твърди, че 95% от балоните му са качествени. За детско парти са купени десет балона. а) Какъв е най-вероятният брой балони, които няма да се спукат. Каква е вероятността: б) 2 от балоните да се спукат; в) не повече от 2 балона да се спукат.

  2. Апаратура се състои от 1000 елемента, всеки от които, независимо от другите се разваля с вероятност 0,0005. Да се намери вероятността да са повредени не повече от 3 елемента.



Вариант 6

  1. Отборът А печели с вероятност 2/3 която и да е играна среща. Ако отбрът трябва да изиграе 4 срещи, да се състави законът на величината - брой на спечелените срещи. Каква е вероятността: а) да спечели повече от половината срещи; б) да загуби всички срещи; в) да спечели само една.

  2. Във факултета има 500 студента. Каква е вероятността, че 3 март е рожденната дата на: а) на нито един студент; б) на 1 студент; в) на двама или трима.


Вариант 7

  1. Монета е направена така, че ези се пада два пъти по-често от тура. Да се намери вероятността: а) от три хвърляния 2 пъти да се падне тура; б) от 5 хвърляния 2 пъти да се падне тура; в) Колко пъти трябва да се хвърли монетата, че с вероятност 0,95 поне веднъж да се падне тура.

  2. В определено производство 2% от изделията са дефектни. Да се намери вероятността в партида от 300 изделия: а) да има по-малко от 2 дефектни изделия; б) да има точно 4 дефектни изделия


Вариант 8

  1. Вероятността амбулантен търговец да продаде стока на случаен минувач е 0,5. а) Каква печалба средно той ще реализира на ден, ако от една продажба печели 1 лв и средно на ден посещава 50 души? б) Каква е вероятността от 10 клиента поне двама да закупят стока?

  2. Установено е, вероятността да те свържат неправилно в голяма телефонна централа е 0,002. Да се намерят вероятностите: а) от първите 5 телефонни разговора точно 1 да бъде свързан неправилно; б) Каква е вероятността в ден, в който са проведени 1000 разговора, поне 3 да са свързани неправилно.


База данных защищена авторским правом ©obuch.info 2016
отнасят до администрацията

    Начална страница