Упражнение 5 Нормално разпределение I. Кратки теоретични сведения

и
ма плътност на разпределение

Функция на разпределение на стандартната нормална величина :

Стойностите й определят лицето на защрихованата част на фиг.1 и за се вземат от таблица. За се използва формулата .

(Забележка: Практически при x>5 функцията на разпределение на нормално разпределена величина има стойност 1).

За отрицателни стойности имаме . Следователно,

Процентът на елементите, имащи дължини в границите между 24 и 25 см е . Тогава процентът на тези, които имат дължини извън границите, зададени от техническите пресмятания

100%-77,45%.=22,55%.

т.е. трябва да намерим квантила от ред 0,02 на стандартното нормално разпределение. Тъй като 0,02<0,5, то този квантил е отрицателно число (в таблицата всички стойности на са не-помалки от 0,5). Затова използваме, че . От таблицата намираме , Следователно, .

Аналогично, .

От таблицата . По този начин за неизвестните а и  получаваме системата , решението на която е .

1. 
   Дадена е величината . Да се пресметне: a) , ; б) .
   
2. 
   За нормално разпределената величина е известно, че и . Да се намери .
   
3. 
   При производство на цимент се следи за издържливостта му на натиск, която е нормално разпределена велична с математическо очакване и средно квадратично отклонение . Да се пресметне произволно взето кубче цимент да издържи на налягане: а) по-голямо от ; б) по-малко от . Какъв процент от продукцията е първо качество, ако за това е необходимо циментът да издържа на налягане, по-високо от .
   

1. 
   Дадена е величината . Да се пресметне: a) , ; б) .
   
2. 
   За нормално разпределената величина е известно, че и . Да се намери .
   
3. 
   Машина разпределя течност в кутии като по проект количеството течност в кутия е 266 мл. Точността на машната гарантира отклонение 20мл. Кутии, съдържащи по-малко от 260 мл, се връщат за рециклиране. Какъв процент от кутиите се рециклират? Кутии, съдържащи повече от 300 мл не носят печалба. Какъв е процентът на такива кутии.
   

1. 
   Дадена е величината . Да се пресметне a) , ; б) .
   
2. 
   За нормално разпределената величина е известно, че и . Да се намери .
   
3. 
   Пакетира се брашно по 1 кг. Ако пакетът тежи по-малко от 990 гр или повече от 1050 гр, се разпакетира. Теглото на напълнените пакети е разпределено нормално със средно квадратично отклонение 20 гр. Да се определи дали да се закупи нова техника за пакетиране, ако е известно, че това е рентабилно, когато се разпакетира повече от 20% от продукцията
   

1. 
   Дадена е величината . Да се пресметне a) , ; б) .
   
2. 
   За нормално разпределената величина е известно, че и . Да се намери .
   
3. 
   Статистически изследвания са установили, че вероятността да чакаш при зъболекаря повече от 20 минути е 0,0239. Ако времето за чакане е нормално разпределено със средно квадратично отклонение 3,78 мин, каква е средната продължителност на чакане?
   

1. 
   Дадена е величината . Да се пресметне a) , ; б) .
   
2. 
   За нормално разпределената величина е известно, че и . Да се намери .
   
3. 
   Фабрика произвежда манометри. Проверява се точността на всеки произведен манометър като с него се премерва налягане, което е точно 3,5 атмосфери. Ако манометърът показва различие повече от 0,35 атмосфери, то манометътът се бракува. Предполагайки, че точността на произвежданите манометри е нормално разпределена случайна величина с математическо очакване 0 и средно квадратично отклонение 0,3, да се намери: а) какъв е процентът на стандартните манометри; б) каква е вероятността произволно взет за проверка манометър да отчете по-малко от 3,2 атмосфери.
   

1. 
   Дадена е величината . Да се пресметне a) , ; б) .
   
2. 
   За нормално разпределената величина е известно, че и . Да се намери .
   

3. 
   Батерии имат средна продължителност на работа 160 часа и средно отклонение 30 часа. Предполагайки, че продължителността на работа е нормално разпределена случайна велична, да се пресметне: а) процентът батерии, които работят между 150 и 180 часа; б) симетричният около средната продължителност интервал в който попада продължителността на работа на 75% от батериите.
   

1. 
   Дадена е величината . Да се пресметне a) , ; б) .
   
2. 
   За нормално разпределената величина е известно, че и . Да се намерят и .
   
3. 
   Детайл, произвеждан от автомат, се счита за годен, ако отклонението на дължината му от проектната не е повече от 10 мм. Случайните отклонения са подчинени на нормален закон . а) колко процента стандартни детайла произвежда автоматът. б) Колко детайла трябва да се изработят, че с вероятност 0,95 сред тях да има поне един нестадартен.
   

1. 
   Дадена е величината . Да се пресметне a) , ; б) .
   
2. 
   За нормално разпределената величина е дадено, и . Да се намерят и .
   
3. 
   Бракуването на сачми за лагери се извършва по следния начин: ако сачмата минава през отверстие с диаметър 1,9 мм, но не минава през диаметър 2,1 милиметра, то сачмата се счита за стандартна. Ако считаме, че диаметърът на сачмата е нормално разпределена случайна величина , да се определи: а) вероятността за това, произволно взета сачма да бъде стандартна; б) каква точност на изработка е гарантирана за 98% от производството?
   

1. 
   Дадена е величината . Да се пресметне: a) , ; б) .
   
2. 
   За нормално разпределената величина е известно, че и . Да се намери .
   
3. 
   При производство на цимент се следи за издържливостта му на натиск, която е нормално разпределена велична с математическо очакване и средно квадратично отклонение . Да се пресметне произволно взето кубче цимент да издържи на налягане: а) по-голямо от ; б) по-малко от . Какъв процент от продукцията е първо качество, ако за това е необходимо циментът да издържа на налягане, по-високо от
   

1. 
   Дадена е величината . Да се пресметне: a) , ; б) .
   
2. 
   За нормално разпределената величина е известно, че и . Да се намери .
   
3. 
   Машина разпределя течност в кутии като по проект количеството течност в кутия е 266 мл. Точността на машната гарантира отклонение 20мл. Кутии, съдържащи по-малко от 260 мл, се връщат за рециклиране. Какъв процент от кутиите се рециклират? Кутии, съдържащи повече от 300 мл не носят печалба. Какъв е процентът на такива кутии.
   

1. 
   Дадена е величината . Да се пресметне a) , ; б) .
   
2. 
   За нормално разпределената величина е известно, че и . Да се намери .
   
3. 
   Пакетира се брашно по 1 кг. Ако пакетът тежи по-малко от 990 гр или повече от 1050 гр, се разпакетира. Теглото на напълнените пакети е разпределено нормално със средно квадратично отклонение 20 гр. Да се определи дали да се закупи нова техника за пакетиране, ако е известно, че това е рентабилно, когато се разпакетира повече от 20% от продукцията
   

1. 
   Дадена е величината . Да се пресметне a) , ; б) .
   
2. 
   За нормално разпределената величина е известно, че и . Да се намери .
   
3. 
   Статистически изследвания са установили, че вероятността да чакаш при зъболекаря повече от 20 минути е 0,0239. Ако времето за чакане е нормално разпределено със средно квадратично отклонение 3,78 мин, каква е средната продължителност на чакане
   

1. 
   Дадена е величината . Да се пресметне a) , ; б) .
   
2. 
   За нормално разпределената величина е известно, че и . Да се намери .
   
3. 
   Фабрика произвежда манометри. Проверява се точността на всеки произведен манометър като с него се премерва налягане, което е точно 3,5 атмосфери. Ако манометърът показва различие повече от 0,35 атмосфери, то манометътът се бракува. Предполагайки, точността на произвежданите манометри е нормално разпределена случайна величина с математическо очакване 0 и средно квадратично отклонение 0,3, да се намери: а) какъв е процентът на стандартните манометри; б) каква е вероятността произволно взет за проверка манометър да отчете по-малко от 3,2 атмосфери.
   

1. 
   Дадена е величината . Да се пресметне a) , ; б) .
   
2. 
   За нормално разпределената величина е известно, че и . Да се намери .
   
3. 
   Батерии имат средна продължителност на работа 160 часа и средно отклонение 30 часа. Предполагайки, че продължителността на работа е нормално разпределена случайна велична, да се пресметне: а) процентът батерии, които работят между 150 и 180 часа; б) симетричният около средната продължителност интервал в който попада продължителността на работа на 75% от батериите.
   

1. 
   Дадена е величината . Да се пресметне a) , ; б) .
   
2. 
   За нормално разпределената величина е известно, че и . Да се намерят и .
   
3. 
   Детайл, произвеждан от автомат, се счита за годен, ако отклонението на дължината му от проектната не е повече от 10 мм. Случайните отклонения са подчинени на нормален закон . а) колко процента стандартни детайла произвежда автоматът. б) Колко детайла трябва да се изработят, че с вероятност 0,95 сред тях да има поне един нестадартен.
   

1. 
   Дадена е величината . Да се пресметне a) , ; б) .
   
2. 
   За нормално разпределената величина е дадено, и . Да се намерят и .
   
3. 
   Бракуването на сачми за лагери се извършва по следния начин: ако сачмата минава през отверстие с диаметър 1,9 мм, но не минава през диаметър 2,1 милиметра, то сачмата се счита за стандартна. Ако считаме, че диаметърът на сачмата е нормално разпределена случайна величина , да се определи: а) вероятността за това, произволно взета сачма да бъде стандартна; б) каква точност на изработка е гарантирана за 98% от производството?