Висше строително училище "любен каравелов" инж. Борислав Тотев Даалов

Носеща способност на опън на пояса на стоманеното

сечение µ §

Носеща способност на опън на стеблото на

стоманеното сечение, µ §

Носеща способност на опън на стеблото

без закръгленията µ §

Носеща способност на опън на стройно стебло µ §

Носеща способност на опън на стройно

стоманено сечение µ §

Носеща способност на натиск на

стоманобетонното сечение, µ §

В горните формулировки са използвани следните означения:

µ § е площта на стоманеното сечение;

µ § - широчина на пояса на стоманеното сечение;

µ § - съдействаща широчина на стоманобетонното сечение;

µ § - височина на стоманения профил;

µ § - дебелина на панелите (включително настилката, ако има такава);

µ § - височина на стеблото на стоманения профил без закръгленията;

µ § - характеристична якост на натиск на монолитния бетон;

µ § - носеща способност на огъване в пластичен стадий на стоманения

профил;

µ § - изчислителна граница на провлачане на конструкционната стомана;

µ § - дебелина на стеблото на стоманеното сечение;

µ §.

Носещата способност на огъване в пластичен стадий за комбинираната греда се изчислява в зависимост от положението на нулевата линия по височина на напречното сечение на гредата. Нулевата линия може да попада в :

горния пояс на стоманеното сечение;

стеблото на стоманеното сечение.

Положението на нулевата линия зависи от съотношението между носещата способност на опън на стоманеното сечение и носеща способност на натиск на стоманобетонното сечение. При пълна връзка на взаимодействие различните случаи за положение на нулевата линия са показани на фиг. 18 :

µ § а) нулева линия b) нулева линия c) нулева линия

в панелите; в горния пояс; в стеблото;

Фиг. 18. Положение на нулевата линия при работа на комбинираната греда

в пластичен стадий (според ”Design of Composite Beams Using Precast Concrete Slabs” [39]).
4.4.1 Носеща способност на огъване, когато нулевата линия попада в панелите (фиг. 18 а).
При този случай µ §и µ §. Носещата способност се дава с израза:

µ § . (3)

ГЛАВА II
ТЕОРЕТИЧНО ОПРЕДЕЛЯНЕ НА СЪДЕЙСТВАЩАТА ШИРОЧИНА НА НАТИСКОВАТА ЗОНА ПРИ РАЗЛИЧНИ ВАРИАНТИ ЗА ИЗПЪЛНЕНИЕ НА КОМБИНИРАНИТЕ ГРЕДИ

комбинирани стомано-стоманобетонни греди с натискова зона от монолитна стоманобетонна плоча;

комбинирани стомано-стоманобетонни греди с натискова зона от сглобяеми елементи с кухини;

комбинирани стомано-стоманобетонни греди с натискова зона от сглобяеми елементи с кухини и армирана бетонна настилка.

комбинираната греда работи в еластичен стадий;

налице е пълна връзка на взаимодействие между стоманения профил и стоманобетонната плоча;

статическа схема ЁC проста греда ;

натоварването на гредата е симетрично спрямо средата на отвора;

нормалните напрежения в стоманобетонната плоча действат в средната равнина на плочата;

широчината на плочата е приета неограничена;

съвместната работа на огъване на стоманения профил и стоманобетонната плоча се осъществява посредством корави дюбели, поемащи хлъзгащите усилия между двата елемента.

За всяка комбинирана греда, имайки разположението на дюбелите и Q диаграмата, може да бъде определена хлъзгащата сила, която поема всеки дюбел. Хлъзгащите сили за единица дължина от гредата се определят по формулата:

µ §, (14)

където:

µ § е напречната сила в разглежданото i-то сечение;

µ §- инерционен момент на приведеното комбинирано i-то сечение.

Хлъзгащата сила за дюбела в i-то сечение се определя по формулата:

µ § , (15)

където µ § е дължина на участъка от гредата, за който дюбелът в i-то сечение поема хлъзгащите сили за единица дължина от гредата µ §. При равни разстояния между дюбелите µ § е разстоянието между тях.

Тъй като геометричните характеристики на приведеното сечение зависят от стойността наµ § (съдействуващата широчина на съответното сечение), то и хлъзгащата сила µ § ще зависи от същия фактор .

Ще бъде разгледан половината отвор на комбинираната греда.

Прието е нормалните напрежения в плочата и силите µ §, предавани от дюбелите на стоманобетонната плоча, да действат в средната и равнина (фиг.20).

Фиг. 20 Комбинирана стомано-стоманобетонна греда с натискова зона от монолитна стоманобетонна плоча
Средната равнина в плочата е разгледана като сума от краен брой еластични полуравнини.

Свободният край на всяка полуравнина се намира в сечението , където е разположен отделен дюбел и е натоварен с концентрирана сила , равна на хлъзгащата сила, поемана от дюбела. Броят на полуравнините е равен на броя дюбели в половината отвор на гредата (фиг.21).

За всяка полуравнина е построена диаграмата на нормалните напрежения µ § в средното сечение на гредата от съответната сила µ §.

С µ § е означена площта на диаграмата на нормалните напрежения в средното сечение на гредата на i-тата полуравнина.

Сумарната диаграма на нормалните напрежения µ § в плочата за средното сечение от всички полуравнини (фиг.21,e) ще има площ равна на µ §.µ §

Фиг. 21. Представяне на средната равнина в плочата като съставена от краен брой еластични полуравнини

µ § = µ §, (16)

тогава е изпълнено:

µ § = µ §. (17)

Формула (17) показва, че сумата от всички сили µ § в половината от отвора на гредата ще бъде равна на площта на сумарната диаграма на нормалните напрежения в средното сечение. От тази площ може да бъде определена съдействащата широчина за средното сечение:

µ §µ § . (18)

Като се има предвид формула (17), формула (18) може да бъде представена по следния начин:

µ §. (19)

Формула (19) дава възможност съдействащата широчина в средното сечение на гредата да бъде изразена чрез отношението между сумата от хлъзгащите сили, поемани от дюбелите, и сумата от максималните стойности от диаграмите на нормалните напрежения.

За определяне на µ § е необходимо да бъдат изчислени стойностите на µ §.

Това може да бъде извършено чрез прилагане на решението от задачата за еластична полуравнина, натоварена в свободния си край с концентрирана сила (фиг.22), известна в теория на еластичността като задача на µ §Flamant [11].

Фиг. 22 Еластична полуравнина, натоварена в свободния си край с концентрирана сила

µ § . (20)

Когато точка М лежи на оста Х , т.е. µ §, формула (20) добива вида

µ §, (21)

къдетоµ § и µ §са координатите на точка М в координатната система ОХY, чието начало О съвпада с приложната точка на концентрираната сила Р в свободния край на еластичната полуравнина (фиг. 22).

Използвайки формула (21), може да бъде определено µ § с израза

µ §= µ §, (22)

къдетоµ §е разстоянието от средното сечение до i-тия дюбел (фиг.21).

За определянето на µ § и µ § е необходимо да бъдат изчислени стойностите на µ §, които от своя страна зависят от µ §- съдействащата широчина при i-тия дюбел. Това означава, че за да бъде определена µ §, е необходимо да бъдат изчислени всички µ § . При дюбел 1 (при опората) е прието µ § да бъде равна на широчината на контактната повърхност между дюбела и стоманобетонната плоча.

Съдействащата широчина в i-тия дюбел (µ §) се определя при следната последователност на изчисления.

Фиг. 23 Съдействащата широчина в i-тия дюбел (µ §)
µ §

µ § µ §

ЎKЎKЎKЎKЎKЎK (23)

µ §

µ §. (25)

Така се определят всички µ § и µ § до средното сечение.

Следва да бъдат определени максималните нормални напрежения µ § по формула (22).

Изчислява се и сумата от максималните нормални напрежения в средното сечение от силите µ §: µ §.

Определя се сумата от всички сили µ §: µ §, тогава може да бъде определена съдействащата широчина в средното сечение:

µ §. (26)

Тъй като µ § зависи от µ §, а µ § зависи от вида на диаграмата на срязващите усилия, следователно µ §зависи от вида и разположението на товара по дължина на гредата.
2. Определяне съдействащата широчина на комбинирани стомано- стоманобетонни греди с натискова зона от сглобяеми елементи с кухини
Разгледани са два вида сечения. При едното натисковата зона се състои от сглобяеми елементи тип „спирол” и замонолитващ бетон, навлизащ между челата на панелите и на определена дълбочина в кухините (фиг. 24).

Фиг. 24 Сечение на комбинирана стомано-стоманобетонна греда с натискова зона от сглобяеми елементи с кухини

Фиг. 25 Сечение на комбинирана стомано-стоманобетонна греда с натискова зона от сглобяеми елементи с кухини и настилка от армиран бетон

Комбинираната греда работи в еластичен стадий.

2. Налице е пълна връзка на взаимодействие между стоманения профил и съставната плоча.

Статическа схема ЁC проста греда.

Натоварването на гредата е симетрично спрямо средата на отвора.

Съвместната работа на огъване на стоманения профил и съставната плоча се осъществява посредством корави дюбели, поемащи хлъзгащите усилия между двата елемента.

Натисковата зона е съставена от три или четири слоя в зависимост от вида на сечението:

- слой 1 ЁC състои се от долния пояс на панелите;

- слой 2 ЁC състои се от ребрата на панелите и замонолитващия бетон навлизащ в кухините;

- слой 3 ЁC състои се от горния пояс на панелите;

- слой 4 ЁC настилка от армиран бетон.

Нормалните напрежения във всеки слой и хлъзгащите сили, които дюбелите предават на слоевете, действат в средните им равнини.

Хлъзгащите сили в слоевете са пропорционални на статичните им моменти.

Широчините на слоеве №№ 1,3 и 4 са приети за неограничени.

Слой № 2 е с ограничена широчина.

Имайки разположението на дюбелите по дължина на гредата и нейната Q диаграмата може да бъде определена хлъзгащата сила, която поема отделния дюбел от всеки един от слоевете. Хлъзгащите сили за единица дължина във всеки слой се определят по формулата:

µ §, (27)

където:

µ § е напречната сила в разглежданото i-то сечение;

µ §- статичния момент на сечението на j-тия слой спрямо центъра на тежестта на приведеното комбинирано i-то сечение;

µ §- инерционен момент на приведеното комбинирано i-то сечение.

Хлъзгащите сили за дюбела в i-то сечение от отделните слоеве се определят по формулата:

µ § (28)

µ §- дължината от гредата, на която дюбелът в i-то сечение поема хлъзгащите сили за единица дължина - µ §,µ §,µ §иµ §. При равни разстояния между дюбелите, µ § е разстоянието между тях.

Тъй като геометричните характеристики на приведеното i-то сечение зависят от µ § (съдействуващите широчини на отделните слоеве за i-тото сечение), то и хлъзгащите сили µ § ще зависят от µ § .

Ще бъде разгледан половината отвор на комбинираната греда.

Прието е, нормалните напрежения в отделните слоеве и силите µ §, предавани от дюбелите на слоевете да действат в средните им равнини (фиг.26)

Фиг. 26 Представяне на хлъзгащите сили µ §, предавани от дюбелите на слоевете, като концентрирани сили в средните равнини на слоевете

Свободният край на всяка полуравнина започва от отделен дюбел и е натоварен с хлъзгащата сила, поемана от дюбела при съответния слой. Броят на полуравнините във всеки слой е равен на броя дюбели в половината отвор на гредата.

Фиг. 27 Представяне на слой j, като съставен от краен брой полуравнини лежащи в средната равнина на слоя
На фиг.27 е показана средната равнина на слой j и напреженията в него при средното сечение на гредата предизвикани от хлъзгащите сили, с които отделните дюбели натоварват слой j, (j=1µ §4).

При слой 2 еластичната полуравнина има ограничена широчина.

За всяка полуравнина от j-тия слой е построена диаграмата на нормалните напрежения µ § в средното сечение на гредата от съответната сила µ §.

С µ § е означена площта на диаграмата на нормалните напрежения в средното сечение на гредата за i-тата полуравнина на слой j.

Сумарната диаграма (фиг.27.e) на нормалните напрежения µ § в слой j за средното сечение на гредата от всички полуравнини на слоя ще има площ равна на µ §.µ §

За всяка полуравнина от j-тия слой е вярно равенството:

µ § = µ §, (29)

тогава е изпълнено:

µ § = µ §. (30)

Формула (30) означава, че сумата от всички сили µ § в половината от отвора на гредата за j-тия слой ще бъде равна на площта на сумарната диаграма на нормалните напрежения в средното сечение на гредата за слой j. От тази площ може да бъде определена съдействащата широчина на слой j при средното сечение:

µ §µ §. (31)

Като се има предвид формула (30), формула (31) може да бъде представена по следния начин:

µ §µ §. (32)

Формула (32) означава, че съдействащата широчина за слой j, в средното сечение на гредата, е равна на отношението между сумата от хлъзгащите сили в слоя, поемани от дюбелите, и сумата от максималните стойности от диаграмите на нормалните напрежения за този слой в средното сечение.

За определяне на µ §е необходимо да бъдат изчислени стойностите на µ §.

При слоевете с неограничена широчина (j=1,3 и 4)това може да бъде извършено чрез прилагане на решението от задачата за еластична полуравнина, натоварена в свободния си край с концентрирана сила (фиг.22), известна в теория на еластичността като задача на µ §Flamant [11].

Чрез формули (20) и (21) може да бъде изразено µ § :

µ §=µ §, (33)

където:

µ §е разстоянието от средното сечение до i-тия дюбел (фиг.21).

Съдействащата широчина при i-тия дюбел за слой j (µ §) се определя при следната последователност на изчисления:

Фиг. 28 Съдействащата широчина при i-тия дюбел за слой j

µ § ; µ §

µ § ;

ЎKЎKЎKЎKЎKЎK (34)

µ § .

µ § (36)
След като е определено µ § се изчисляват геометричните характеристики на приведеното сечение при i-тия дюбел, отчита се стойността Qi от диаграмата на срязващите усилия и по формула (27) се определят µ §, а след това по формула (28) се изчисляват µ §.

Така се определят всички µ § и µ § до средното сечение в j-тия слой.

Следва да бъдат определени максималните нормални напрежения µ § в средното сечение на гредата за слой j, от отделните сили µ §, по формула (33).

При слой 2 не е приложима задачата на Flamant [11] за определяне на µ §, тъй като слоят е с ограничена широчина. Ще бъде използван следният подход:
µ § . (37)
Съгласно формула (37) максималното напрежение за слой 2 при средното сечение на гредата породено от сила µ § ще бъде равно на произведението от максималното напрежение за слой 2 при средното сечение на гредата породено от сила µ § и действителната стойност на силата µ §.

За определяне на напреженията µ § са изготвени изчислителни модели на отделните еластични полуравнини с ограничена широчина, от които е съставен слой 2. Всеки от тях представлява тънка еластична плоча с широчина равна на широчината на слой 2 и дължина равна на удвоеното разстояние от дюбела , от който започва съответната полуравнина , до средното сечение на гредата (фиг.29). Дебелината на плочата е приета 1 сm.

Фиг. 29 Модел на еластичната полуравнина започваща от дюбел i.
В единия край плочата е запъната в точка, лежаща по оста и, а в другия е натоварена със сила µ §. В средното сечение на модела е получена диаграмата на нормалните напрежения от µ § и от нея е отчетена стойността на µ §. За съставянето на моделите и определянето на µ § е използван програмен продукт ”АNSIS”.

Диаграма 1. µ § за полуравнина започваща от дюбел n

(на 30 сm от средното сечение).

Диаграма 4. µ § за полуравнина започваща от дюбел n-3

(на 120 сm от средното сечение).

На диаграми от 1 до 4 е показан видът на диаграмаµ §за четири различни полуравнини с широчина 100 сm. По абсцисата е нанесена широчината на полуравнината, а по ординатата са показани стойностите на напреженията. При сравнение между тези диаграми става видно, че с отдалечаване на свободния край на полуравнината, в който е приложена сила 1, границите в които варират стойностите на напреженията се доближават. На диаграма 4 тези граници почти съвпадат. За тази диаграма може да бъде приета постоянна стойност на напреженията по цялата широчина на средното сечение. Диаграмите µ § за полуравнини със свободен край още по-отдалечен от 120 сm от средното сечение практически съвпадат с диаграма 4. Това от своя страна показва че съдействащата широчина в средното сечение за слой 2 може да бъде приета равна на широчината на слоя при външен товар върху гредата отстоящ на 120 сm и повече от средното сечение на гредата и при широчина на слой 2 равна на 100 сm.

При изчисляване на µ § по формула (37) е необходимо да бъде намерена стойността на µ §, която от своя страна зависи от геометричните характеристики на приведеното сечение при i-тия дюбел (формули (27) и (28)), а те пък зависят от µ § (съдействащата широчина за слой 2 при i-тия дюбел). Това означава, че за да бъдат определени всички µ § е необходимо изчисляването на съдействащата широчина за слой 2, (µ §) при всеки дюбел. В посока на сигурността при дюбел 1 съдействащата широчина е приета равна на широчината на контактната повърхност между дюбела и слой 2.

За определяне на съдействащите широчини при останалите дюбели е използван подход подобен на този при изчисляването на µ §

За определяне на µ § слой 2 е натоварен със силите µ § действащи в дюбели от 1 до i-1 (фиг.30 а). Съдействащата широчина на слой 2 за сечението при i- тия дюбел ще бъде равна на отношението на площта на сумарната диаграма на нормалните напрежения в слой 2 за сечението при i- тия дюбел от действието на силите µ § в дюбели от 1 до i-1 към максималното напрежение от тази диаграма. Тъй като площта на сумарната диаграма е равна на сумата от стойностите на силите µ § в дюбели от 1 до i-1, израза за µ § добива вида :

µ §. (38)

Фиг. 30 Определяне на съдействащата широчина за слой 2 при дюбел i

Максималното нормално напрежение µ § в сечението при i- тия дюбел на слой 2, предизвикано от действието на силите µ §, е изчислено по формулата:

µ § . (39)

На диаграми от 5 до 8 е показан вида на диаграма µ §за четири различни полуравнини с широчина 100 сm.

След определяне на отделните µ §се изчислява сумата от тях: µ § и по формула (40) се получава µ §.

По формула (27) се определя µ §, а след това по формула (15) се изчислява µ §.

Така се получават силите µ § за всички дюбели на слой 2. По формула (37) се определят µ § (максималните нормални напрежения в средното сечение на гредата при слой 2 от отделните хлъзгащи сили µ §).

Диаграма 5. µ § за полуравнина започваща от дюбел i -1

(на 30 сm от сечение при дюбел i).

Диаграма 8. µ § за полуравнина започваща от дюбел i - 4

(на 120 сm от сечение при дюбел i).

След като са изчислени µ § (максималните нормални напрежения в средното сечение на гредата при всеки слой от отделните хлъзгащи сили µ §), по формула (32) се определят съдействащите широчини µ § за всичките j слоя.

3. Резултати от теоретичните изследвания
В таблица 12 са дадени съдействащите широчини изчислени по горе показаната методика за разгледаните видове комбинирани греди при отвор 9.0 метра. Слоевете, от които е съставена натисковата зона, са показани на фиг.24 за комбинирана греда с натискова зона от панели тип ”спирол” и на фиг.25 за комбинирана греда с натискова зона от панели тип ”спирол” и замонолитваща настилка. Съдействащите широчини са определени за две товарни състояния:

- концентрирана сила в средата на отвора;

- равномерно разпределен товар по цялата дължина на гредите.

Фиг. 31. Товарни състояния, а. равномерно разпределен товар,

b. концентрирана сила
Огъващите моменти в средата на отвора от двете товарни състояния, са равни. В таблицата е показана и съдействащата широчина за плочогредово сечение, при същия отвор и натоварване с равномерно разпределен товар, получена по Timoshenko [29]. Освен това е показана съдействащата широчина за комбинирана греда, при този отвор определена, по Еврокод 4 [4].

На фиг.32 са показани диаграмите на хлъзгащите сили за единица дължина в плочата и съдействащата и широчина при комбинирана греда с монолитна стоманобетонна плоча натоварена с разгледаните товарни състояния.