Резонанс в магнитно свързани електрически вериги

В комуникационната техника често се използва явлението резонанс в магнитно свързани вериги (контури) с голям качествен фактор .За опростяване на изчисленията се пренебрегва активното съпротивление на втория контур, като се приема .

Да определим резонансните честоти и честотните характеристики на веригата дадена на фиг.2.12.

Фиг.2.12
Собствените резонансни честоти на контурите при които настъпва в тях резонанс при отсъствие на магнитна връзка, т.е. са:

(2.16) и

Уравненията на контурите записани по втория закон на Кирхоф при наличие на магнитна връзка между тях, т.е. имат вида:

-за първия контур

(2.17)

-за втория контур

(2.18)

От уравнение (2.18) определяме тока :

,

,

Заместваме стойността на тока в уравнение (2.17) и получаваме:

(2.19)

Условието за резонанс на напреженията (елементите в контурите са съединени последователно) е, че еквивалентното реактивно съпротивление трябва да бъде равно на нула, т.е. .От уравнение(2.19) намираме:

(2.20)

Умножавайки двете страни на уравнение (2.20) с израза получаваме: или

(2.21)

Разделяйки двете страни на уравнение (2.21) на израза получаваме:

(2.22)

Повдигайки двете страни на уравнения (2.16) в квадрат получаваме следните изрази:

(2.23) и

Известно е, че коефициентът на магнитната връзка между двете магнитно свързани вериги се представя с израза , като .Във всички реални случаи откъдето следва, че .

Замествайки изразите (2.23) и стойността на в уравнението (2.22) получаваме:

След преработване на последния израз достигаме до уравнението:

,

или

(2.24)

От четирите корена на биквадратното уравнение (2.24) физически смисъл имат тези които са положителни, тъй като отрицателни честоти не се дефинират.

Следователно магнитно свързаната верига дадена на фиг.2.12 има две разонансни честоти:

(2.25)

Ако двата магнитно свързани контура са били настроени предварително на една и съща резонансна честота , то честотите и се определят от израза:

(2.26)

От уравнение (2.26) определяме поотделно честотите и , т.е.

(2.27) ,

(2.28)

От изразите (2.27) и (2.28) се вижда, че и разликата между честотите и нараства при увеличаване на коефициента на магнитната връзка . Освен това при увеличаване на се увеличава разликата между собствените резонансни честоти на контурите ( и ) и честотите и .

При честотите и съпротивлението на веригата дадена на фиг.2 се оказва минимално и равно на съгласно уравнения (2.19) и (2.20), а тока достига максимални стойности равни на . Съпротивлението за тези честоти е равно на нула, т.е. .

За честота съпротивлението получава стойността:

При честоти се получава ,а за честоти се получава

От уравнение (2.19) при честота определяме стойността на тока в първия контур, т.е. и имайки в предвид, че получаваме:

Този резултат може да се обясни по следния начин. При честота има място резонанса във втория контур, където и при условие, че се получава .

Както се вижда от уравнението (2.18) за втория контур при стойност на тока , то е.д.н. на взаимната индукция трябва да бъде равно на нула и при и , следва, че .Токът се установява такъв, че е.д.н. на взаимната индукция което се прехвърля от страна на втория контур в първия трябва да уравновесява приложеното на входа на веригата напрежение което се вижда от уравнение (2.17) при условие, че .

На фиг.2.13 са представени графично честотните характеристики и при на верига с два магнитно свързани контура. Полюси на функцията се явяват честотите , и . Полюси на функцията са тези стойности на при които тя получава значения . Нули на функцията се явяват честотите и , т.е. за тези честоти функцията има стойност нула.

С пунктирана линия са нанесени честотните характеристики и при активно съпротивление във втория контур различно от нула, т.е. при .

Оказва се, че резонансната крива на тока в първия контур на верига състояща се от два магнитно свързани контура с малко затихване , съответно с голям качествен фактор (понеже ) има два максимума и един минимум.

Фиг.2.13

1. 
   Практическо значение на явлението резонанс в електрическите вериги
   

Явлението резонанс в електрическите вериги широко се използва в съвременната електротехника и особено в техниката на високите честоти.

Генераторите за висока честота които се използват в радиотехниката, съдържат в себе си в качеството на основен елемент колебателен контур, колебанията на тока и напрежението в който се извършват с резонансна честота или с честота много близка да резонансната.

Антените на предавателните и приемните радиостанции заедно с включените в техните вериги бобини или кондензатори представляват също колебателни контури, настройвани в резонанс с честотата на колебанията на тока в генератора на сигнали в случай на радиопредавател и с честотата на колебанията на интензитета на полето в електромагнитната вълна в случай на радиоприемник. Радиоприемниците съдържат в себе си настроени в резонанс колебателни контури. Настройване в резонанс на една от честотите на радиопредавателите на колебателните контури в радиоприемниците в това число и контура на антената, осигурява възможността да се отдели в радиоприемника тази предаваща радиостанция от многото работещи едновременно радиостанции. Използването на тази идея в проводниковата междуградска телефонна свръзка позволява да се осъществи така наречената многоканална телефония, т.е. да се провеждат по един чифт проводници едновременно по няколко разговора. При това едните или другите честотни колебания се отделят в крайните пунктове на различните приемни устройства с помощна на резонансни вериги.

В такива случаи тези устройства се усложняват в сравнение с разгледаните по-напред прости вериги, тъй като тук се поставя по-сложна задача – да се отдели цяла полоса от честоти, отговарящи на диапазона от честоти на звуковите колебания.

В радиотехническите устройства се осъществява пропускане и усилване в еднаква степен на цялата полоса от честоти, съответстващи на диапазона от звуковите честоти, за да няма изкривяване на предаването на сигналите. Подбирайки коефициента на магнитната връзка и затихването на дадена верига в резонанс, може да се получи крива с малко изменение на тока в границите на изменение на честотата от до .

Явлението резонанс се използва в радиотехниката и за измерване честотата на колебанията на електромагнитните вълни с помощта на измервателни уреди наречени вълномери. Вълномерът съдържа колебателен контур с градуирани индуктивност и капацитет и електроизмервателен уред показващ тока в контура.

Явлението резонанс широко се използва и в други електро и радиотехнически устройства, а също в устройствата на автоматиката и телемеханиката.

Компенсирането на изоставащата реактивна съставяща на тока в консуматорите в електроенергийните системи с помощта на включените паралелно на тези консуматори кондензатори, по своята същност представлява мероприятие при което се достига до резонанс. В този случай явлението на рязко намаляване на общия ток на входа на консуматора в сравнение с тока в отделните клонове характерно за резонанса в радиотехническите вериги няма място, тъй като еквивалентната активна проводимост на такива консуматори е голяма в сравнение с тяхната еквивалентна индуктивна проводимост.

Всички изброени по-гори примери се отнасят за случаите когато явлението резонанс в електрическите вериги се използва преднамерено за практически цели. В случаите когато явлението резонанс в електрическите вериги възниква без да е предвидено специално, то може да доведе до нежелателни последствия. Особено опасен в това отношение се явява резонанса при последователно съединение на индуктивни и капацитивни елементи във веригата при малко активно съпротивление на същата, тъй като при това върху индуктивните и капацитивните елементи могат да се появят напрежения с доста високи стойности. Подобни явления могат да възникнат например при включване към изводите на генератор или трансформатор на дълъг електропровод или кабел, които са отворени от към страната на консуматора. Генераторът и трансформаторът притежават индуктивност, а електропровода и кабела притежават капацитет и индуктивност. При липса на активен товар в края на линията затихването на такава верига е малко и лесно може да се появи пренапрежение, ако честотата е близка до резонансната. Следва да се отбележи, че резонанс в такива вериги може да възникне не само за основния хармоник на напрежението или тока, но и за висшите хармоници, ако те се съдържат в кривата на е.д.н. на генератора или трансформатора.