Задача 1: За функцията y = f ( x ) са дадени следните възли и стойности в тях

	0	2	4	6	8	10
	0	0.9	-0.76	-0.28	0.99	-0.54

При зададените данни да се построят интерполационните полиноми при линейна и кубична интерполация, както и кубичният сплайн. Да се намери приближената стойност на функцията за x = 1.3 при всяка от тези три интерполации. Коя измежду получените три стойности е с най-ниска точност?

Първо да въведем данните:

>> y=[0,0.9,-0.76,-0.28,0.99,-0.54];

>> hold on

>> plot(xx,yy2,'b')

>> plot(xx,yy3,'g')

Можем да поставим надпис на фигурата, както и легенда:

>> legend('initial data','linear','cubic','spline')

Може да се постави и мрежа (grid on!) за по-лесно разчитане на графичните резултати.

	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
	0.1	0.25	1.2	2.41	2.39	1.5	0.45	0.3	0.15

При зададените данни да се построи кубична сплайн-интерполация. Да се намери приближената стойност на функцията за x = -0.4 и х =3.8.

(Първо clear all предвид това, че вече сме работили по Задача 1). Въвеждаме данните:

>> y=[0.1,0.25,1.2,2.41,2.39,1.5,0.45,0.3,0.15];

Когато стъпката при равноотдалечени възли е 1, то можем да не задаваме

x = -4:1:4, a x = -4:4.
Кубичната сплайн-интерполация е реализирана в Matlab посредством функцията spline.
Разликата на spline с interp1, използвана при зададен метод 'spline' е тази, че докато interp1 пресмятаме при предварително въведени начални данни x и y върху отнапред фиксирано множество xx от стойности на променливата (хх е число или последователност от числа, т.е. вектор) – например interp1(x,y,1.3,'spline'), interp1(x,y,[0.2,1.3,3.6],'spline'), interp1(x,y,xx,'spline')

и т.н., то при функцията spline въвеждаме само начални данни x и y, без предварително да определяме върху какво множество от стойности на променливата ще получаваме резултат:

>> cs=spline(x,y);
Можем евентуално да зададем наклона (slope) на сплайн-функцията в крайните точки да бъде 0 (допирателната в тях е хоризонтална!):

>> cs0=spline(x,[0,y,0]);

>> ppval(cs,[-0.4,3.8])

За да изчертаем двете получени разновидности на кубичен сплайн, дефинираме вектор от точки, достатъчно гъсто разположени. По-долният ред е еквивалентен на xx=-4:0.04:4 – тук задаваме крайните точки на интервала -4 и 4 и стъпката 0.04, докато по-долу се задават крайните точки на интервала и броят на равноотдалечените точки (вкл. крайните):

>> xx=linspace(-4,4,201);

>> plot(x,y,'dk',xx,ppval(cs,xx),'b',xx,ppval(cs0,xx),'m')

Продължаваме работата от предходната задача в средата на Matlab.

>> ppval(ph,[-0.4,3.8])

>> clf

>> legend('initial data','cubic spline','cubic interpolation')

, KW	2	2.3	2.5	3	3.3	3.5	4	4.5	5
,W	40	42	60	68	100	90	100	106	120

а) Намерете полином от първа степен, който най-добре приближава тези експериментални данни. Единствен ли е полиномът?

б) Намерете полином от втора степен за същите данни.

в) А какво всъщност представлява полиномът от осма степен за тези данни?

г) Сравнете графично резултатите от а) и б).

д) Прогнозирайте каква мощност може да очакваме при х=3.8 и х=5.5?

Въвеждаме данните (възлите не са равноотдалечени, въвеждаме ги чрез изброяване!):

>> x=[2,2.3,2.5,3,3.3,3.5,4,4.5,5];

>> y=[40,42,60,68,100,90,100,106,120];
Да получим полинома от І степен, приближаващ зададените експериментални данни по метод на най-малките квадрати – последната опция във функцията polyfit е естествено число, задаващо степента на търсения полином (в случая 1):
>> p1=polyfit(x,y,1)
p1 =
27.1759 -10.2216
Изведените числа са коефициентите на търсения полином, т.е. той е


Аналогично получаваме полинома от ІІ степен, който приближава експерименталните данни по метод на най-малките квадрати:
>> p2=polyfit(x,y,2)
p2 =
-6.3737 71.4699 -81.2179
Съответно, полиномът от ІІ степен е


Да сравним графично двата получени полинома. Избираме множество от точки в интервала [2,5] със стъпка 0.1. Функцията polyval в Matlab служи за извличане на стойности на вече намерени апроксимиращи полиноми (в случая сме ги именували като p1 и p2 върху предварително зададено множество от стойности за променливата (в случая върху xx, защото ще изчертаваме!). По този начин pp1 и pp2 са вектори с размерност, съвпадаща с размерността на xx и съдържат стойностите на полиномите и , когато х пробягва множеството от стойности на вектора хх.
>> xx=2:0.1:5;

>> pp1=polyval(p1,xx);

>> pp2=polyval(p2,xx);
>> plot(x,y,'dr',xx,pp1,'k',xx,pp2,'c')

>> legend('data','linear','quadratic')

>> title('Least Squares Method')

Остава да пресметнем приближените стойности при х=3.8 и х=5.5:

>> polyval(p1,[3.8,5.5])

>> polyval(p2,[3.8,5.5])

>> polyval(p2,3.8)

1. 
   Коя квадратурна формула е от затворен тип? А от отворен?
   
2. 
   Какви са видовете параметри в математическите модели?
   
3. 
   Какво наричаме математически софтуер? Примери за математически софтуер?
   
4. 
   Каква е принципната разлика между интерполация/сплайн-интерполация и метод на най-малките квадрати?
   

Каб. 1227 по всяко време 9.00 – 17.00

Тел. 066 827374

0885073355